Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Том 2.


------------ page 1 --------------
  Н. В. БУТЕНИН, Я. Л. ЛУНЦ, Д. Р. МЕРКИН
  КУРС
  ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
  МЕХАНИКИ
  Том 2
  ДИНАМИКА
  Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
  в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
  ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
  ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
  ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  МОСКВА 1971
------------ page 2 --------------
  631 Б 93
  УДК 531/534
  24* 106-71
------------ page 3 --------------
  ОГЛАВЛЕНИЕ
  Предисловие 8
  ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
  Глава I. Введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения 9
  § 1.1. Предмет и задачи динамики 9
  § 1.2. Инерцпальные системы отсчета. Основное уравнение динамики
  точки 10
  § 1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки 15
  § 1.4. Первая задача динамики 16
  § 1.5. Вторая задача динамики 17
  § 1.6. Прямолинейное движение материальной точки 23
  § 1.7. Задачи . 26
  Глава II. Прямолинейные колебания материальной точки 32
  § 2.1. Вводные замечания 32
  § 2.2. Свободные колебания 34
  § 2.3. Свободные колебания при вязком сопротивлении 40
  § 2.4. Свободные колебания при сухом трении 45
  § 2.5. Вынужденные колебания 48
  § 2.6. Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления 53
  Глава III Общие теоремы динамики точки . 58
  § 3.1. Теорема об изменении количества движения материальной
  точки 58
  § 3.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки 61
  § 3.3. Работа силы. Мощность 65
  § 3.4. Теорема об изменении кинетической энергии . 70
  § 3.5. Силовое поле. Потенциальная энергия 71
  § 3.6. Интеграл энергии. Понятие о рассеивании полной механической энергии 79
  § 3.7. Задачи 81
  Глава IV. Движение материальной точки в центральном силовом поле
  Земли . ... .84
  § 4.1. Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся
  в центральном поле сил ... 84 § 4.2. Виды траектории. Круговая и параболическая скорости . . . 86 § 1.3. Определение параметров околоземной траектории по начальным ycicni'iM .... 89
  § 4.4. Траектории ткуесгвенных спутников Земли 91
  § 4.5. Тр.и ктормл, пересекающие поверхность Земли 95
  § 4.6. За.мчи 97
  1* 3
------------ page 4 --------------
  лава V. Несвободное движение 99
  § 5.1. Определение несвободного движения. Связи. Принцип осво-
  бождаемости 99
  § 5.2. Уравнения связей; классификация связей ... .... 101
  § 5.3. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности . . 103
  § 5.4. Движение точки по гладкой неподвижной кривой 106
  § 5.5. Естественные уравнения движения. Математический маятник 109 § 5.6. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения 117
  § 5.7. Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера) . . .118
  § 5.8. Задачи на применение метода кинетостатики 119
  § 5.9. Явление невесомости 121
  лава VI. Динамика относительного движения материальной точки . . 127
  § 6.1. Переносная и кориолисова силы инерции 127
  § 6.2. Условия относительного покоя 130
  § 6.3. Применение уравнений относительного движения и покоя . .132 § 6.4. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном
  движении 140
  ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  лава VII. Материальная система 143
  § 7.1. Центр масс 143
  § 7.2. Внешние и внутренние силы 144
  § 7.3. Свойства внутренних сил 146
  § 7.4. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек 147
  § 7.5. Задача двух тел 148
  § 7.6. Общие замечания 151
  лава VIII. Теорема об изменении количества движения материальной
  системы 153
  § 8.1. Количество движения материальной системы 153
  § 8.2. Теорема об изменении количества движения материальной
  системы (дифференциальная форма) 155
  § 8.3. Задачи 156
  § 8.4. Теорема о движении центра масс 161
  § 8.5. Теорема Эйлера 164
  § 8.6. Интегральная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы (теорема импульсов) .... 167
  лава IX. Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы 169
  § 9.1. Момент количеств движения материальной системы .... 169
  § 9.2. Краткие сведения о моментах инерции 171
  § 9.3. Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы 172
  § 9.4. Примеры и задачи .174
  § 9.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси 178
  § 9.6. Момент количеств движения системы, участвующей в сложном движении 180
  § 9.7. Теорема об изменении момента количеств относительного
  движения материальной системы 184
  § 9.8. Примеры 188
------------ page 5 --------------
  Глава X. Теорема об изменении кинетической энергии материальной
  системы 191
  § 10.1. Кинетическая энергия материальной системы и способы ее
  вычисления 191
  § 10.2. Кинетическая энергия твердого тела 193
  § 10.3. Работа сил, приложенных к материальной системе .... 199 § 10.4. Теорема об изменении кинетической энергии материальной
  системы 204
  § 10.5. Задачи 206
  § 10.6. Закон сохранения полной механической энергии материальной системы 211
  § 10.7. Теорема об изменении кинетической энергии относительного
  движения 214
  Глава XI. Динамика тела переменной массы 217
  § 11.1. Понятие тела переменной массы 217
  § 11.2. Количество движения тела переменной массы 219
  § 11.3. Теорема об изменении количества движения тела переменной массы 220
  §.11.4. Уравнение Мещерского 222
  § 11.5. Задача Циолковского 223
  § 11.6. Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты . . . 226 § 11.7. Задачи .228
  ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
  Глава XII. Геометрия масс 233
  § 12.1. Введение 233
  § 12.2. Основные определения 233
  § 12.3. Примеры вычисления моментов инерции 238
  § 12.4. Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса — Штейнера) 242
  § 12.5. Момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через данную точку 243
  § 12.6. Эллипсоид инерции 246
  § 12.7. Свойства главных осей инерции 247
  § 12.8. Вычисление моментов инерции относительно произвольных
  осей 249
  § 12.9. Вычисление тензора инерции 251
  § 12.10. Задачи па вычисление моментов инерции 253
  Глава XIII. Динамика простейших движений твердого тела 258
  § 13.1. Основные задачи динамики твердого тела 258
  § 13.2. Выражения для количества движения, момента количеств
  движения и кинетической энергии твердого тела 259
  § 13.3. Поступательное движение твердого тела 263
  § 13.4. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и уравнения для определения реакций подшипников 264
  § 13.5. Добавочные динамические реакции. Статическая и динамическая уравновешенность тела 267
  § 13.6. Задачи . 269
  § 13.7. Физический маятник 273
  § 13.8. Экспериментальное определение моментов инерции .... 275
  § 13.9. Плоское движение абсолютно твердого тела 277
  § 13.10. Задачи 279
  5
------------ page 6 --------------
  Глава XIV. Динамика твердого тела, имеющего одну неподвижную
  точку .... 284
  § 14.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела,
  имеющего одну неподвижную точку 284
  § 14.2. Движение твердого симметричного тела, имеющего одну
  неподвижную точку, по инерции (случай Эйлера) .... 287
  § 143. Геометрическая интерпретация Пуансо для движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, по инерции 290
  § 14.4. Устойчивость вращения твердого тела вокруг главных осей
  инерции 292
  § 14.5. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку, под
  действием силы тяжести (случай Лагранжа) .294
  Глава XV. Теория гироскопов 298
  § 15.1. Элементарная теория гироскопов 298
  § 15.2. Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе . . . 306 § 15.3. Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе 310
  Глава XVI. Метод кинетостатики 314
  § 16.1. Метод кинетостатики 314
  § 16.2. Главный вектор и главный момент сил инерции для твердого тела 317
  § 16.3. Определение динамических реакций опор движущегося тела 318 § 16.4. Задачи на определение динамических реакций 319
  Глава XVII. Теория удара 325
  § 17.1. Основные определения 325
  § 17.2. Коэффициент восстановления 328
  § 17.3. Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность 330
  § 17.4. Потеря кинетической энергии при ударе материальной точки
  о неподвижную поверхность 331
  § 17.5. Теорема об изменении количества движения и теорема об изменении момента количеств движения материальной системы при ударе 332
  § 17.6. Удар, действующий на тело, закрепленное в двух точках . 335 § 17.7. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара . . . 336
  § 17.8. Удар двух "тел . ." " 338
  § 17.9. Частные случаи удара двух тел 340
  § 17.10. Задачи ... " 341
  ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
  Глава XVIII. Аналитическая статика 348
  § 18.1. Введение . 348
  § 18.2. Связи . 349
  § 18.3. Возможные перемещения для голоиомных систем .... 350
  § 18.4. Идеальные связи 355
  § 18.5. Принцип возможных перемещений 357
  § 18.6. Обобщенные координаты и обобщенные силы 361
  § 18.7. Условия равновесия в обобщенных координатах 368
  Глава XIX. Аналитическая динамика 371
  § 19.1. Общее уравнение динамики 371
  § 19.2. Уравнения Лагранжа второго рода 373
  § 19.3. Задачи на составление уравнений Лагранжа второго рода . 376 § 19.4. Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода
  к системам с неидеальными и иеудерживающими связями . 385
  6
------------ page 7 --------------
  § 19.5. Выражение кинетической энергии через обобщенные скорости
  и координаты 389
  § 19.6. Обобщенный интеграл энергии 391
  Глава XX. Малые колебания механических систем с одной и двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия 395
  § 20.1. Определение положений равновесия 395
  § 20.2. Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа —
  Дирихле. Критерий Сильвестра 398
  § 20.3. Малые колебания консервативной системы с одеюй степенью свободы около положения устойчивого равновесия . 403 § 20.4. Вынужденные колебания под действием произвольной возмущающей силы 407
  § 20.5. Определение периодических решений 413
  § 20.6. Понятие об автоколебаниях 417
  § 20.7. Малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия . 421
  § 20.8. Задачи .... 425
  § 20.9. Нормальные координаты 434
  § 20.10. Функция рассеивания Релея 436
  § 20.11. Влияние сил сопротивления на движение потенциальной
  системы около положения устойчивого равновесия .... 439
  § 20.12. Вынужденные колебания .... 444
  § 20.13. Электродинамические аналогии. Понятие об исследовании колебаний материальных систем с помощью электронных
  аналоговых машин 447
  § 20.14. Общие замечания 451
  ДОБАВЛЕНИЕ
  Краткий очерк развития механики 454
  Предметный указатель 459
------------ page 8 --------------
  ПРЕДИСЛОВИЕ
  Второй том настоящего курса рассчитан на студентов технических вузов с полной программой по теоретической механике.
  В книге более подробно, чем в традиционных курсах, рассматриваются вопросы движения материальной точки в центральном силовом поле, общие теоремы динамики, динамика тела переменной массы, теория гироскопов, а также некоторые вопросы аналитической механики и теории колебаний.
  Работа авторов была распределена следующим образом: Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц —гл. I—VI, XI, Д. Р. Меркин — гл. VII—X, XII, XVI, XIX, XX, Н. В. Бутенин —гл. XIII—XV, Я. Л. Лунц — гл. XVII, XVIII. В написании I—III глав принимал участие Я. Г. Пановко.
  Авторы глубоко благодарны В. К. Прокопову и С. М. Таргу, а также В. Г. Демину за полезные советы, позволившие улучшить содержание книги.
  Авторы
------------ page 9 --------------
  ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
  ГЛАВА I
  ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
  § 1.1. Предмет и задачи динамики
  Два .предыдущих раздела курса механики — статика и кинематика— в сущности, мало связаны можду собой. Каждому из них соответствует свой особый круг .понятий, задач и методов их решения. В статике рассматриваются задачи о равновесии, а также задачи об эквивалентных преобразованиях систем сил; при таких преобразованиях даже не ставится вопрос о том, какое движение тела вызывают приложенные силы. В кинематике изучается движение «само по себе», вне связи с теми силами, под действием которых оно происходит.
  Изолированное рассмотрение двух указанных проблем вызывается чисто методическими соображениями построения курса механики и, строго говоря, не вытекает из существа задач механики. Дело в том, чго между действующими силами и движением существует глубокая внутренняя связь, которая отмечается уже в самом определении понятия силы. Эта связь принимается во внимание в динамике, предметом которой является изучение движения с учетом действующих сил.
  Среди практических задач механики лишь небольшое число допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследование; в большинстве случаев необходимо полное, т. е. динамическое изучение тех или иных механических явлений. При этом используются установленные в статике способы приведения сил, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения; поэтому статику и кинематику можно рассматривать как введение в динамику, хотя они имеют и самостоятельное значение.
  При всем разнообразии динамических задач выделяют две их категории. К первой категории относятся задачи, в которых движение тела (или механической системы) является
  9
------------ page 10 --------------
  заданным, и требуется найти силы, под действием которых это движение происходит (первая задача). В другую категорию входят задачи противоположного характера: в них силы являются заданными, а движение — искомым (вторая задача). Эти задачи называются основными задачами динамики.
  § 1.2. Инерциальные системы отсчета. Основное уравнение динамики точки
  При формулировании основных законов динамики пользуются понятием материальной точки, понимая под этим тело конечной массы, размеры которого так малы, что различием в движении его частиц можно пренебречь. В дальнейшем будет показано, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.
  Три с половиной столетия назад Галилеем был открыт принцип инерции, который можно сформулировать следующим образом:
  изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.
  Это утверждение было затем включено в качестве одного из фундаментальных положений в данную Ньютоном систему механики («первый закон Ньютона»). Ньютон исходил из представления об абсолютном пространстве и предполагал возможность существования абсолютной, неподвижной системы отсчета (системы координат); для этой системы отсчета он и считал справедливым принцип инерции. Последующее развитие представлений о пространстве привело к полному отрицанию понятия абсолютного пространства. Поэтому понятия «покой», «постоянная скорость» и т. п. лишены объективного смысла: пользуясь этим термином, необходимо указать, в какой системе отсчета рассматривается движение. Но движение, происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета, может представляться ускоренным в другой системе отсчета; поэтому принцип инерции не обладает универсальностью, хотя, как показывают наблюдения, в некоторых системах отсчета принцип инерции оказывается справедливым.
  Введем определение: системы отсчета, в которых справедлив принцип инерции, называются инерциальными системами отсчета (инерциальными системами координат). Подчеркнем, что- об инерциальности или неинерциальности той или иной системы отсчета можно судить только на основе опыта. В частности, установлено, что гелиоцентрическая система координат (т. е. система координат с началом в центре Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды) весьма близка к инер- циальной системе.
  10
------------ page 11 --------------
  Легко понять, что система отсчета Аи которая движется поступательно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета Ло, также является инерциальной. Это вытекает из того, что ускорение точки в системе At не отличается от ускорения точки в системе Л0, т. е. должно равняться нулю. В этом утверждении состоит принцип относительности Галилея.
  Наоборот, в системах отсчета, движущихся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно или не равномерно, принцип инерции не имеет места; такие системы называются неинерциальными. Если движение некоторой системы отсчета происходит с относительно малыми ускорениями относительно инерциальной системы отсчета, то при решении практических задач иногда можно пренебречь малой неинерциаль- ностыо (например, неинерциальностыо геоцентрической системы, связанной с Землей); при этом приближенно принимают, что принцип инерции выполняется и в такой системе отсчета.
  Фундаментальное значение для всей динамики имеет следующий основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы. В аналитической форме этот закон представляется в виде основного уравнения динамики
  mw = F, (1.1)
  где F — сила, действующая на материальную точку, w—ее ускорение, m — масса материальной точки, являющаяся мерой ее инертных свойств.
  Из формулировки основного закона динамики вовсе не вытекает, что в динамике исследуются движения, происходящие только в инерциальных системах. В главе VI мы будем рассматривать движение в неинерциальных системах, однако таких, движение которых относительно инерциальной системы задано; на языке кинематики задача сведется к выражению относительных ускорений через абсолютные ускорения.
  Перед изложением курса динамики необходимо оговорить •еще два фундаментальных положения, о которых уже шла речь в начале курса статики.
  Во-первых, нужно подчеркнуть, что равенство действия и противодействия двух материальных точек является общим законом всей механики и справедливо не только в задачах статики, но и в задачах динамики.
  Во-вторых, столь же универсальным является приведение сходящихся сил, приложенных к одной материальной точке, к равнодействующей.
  Следствием этого приведения является утверждение о независимости действия сил.
  11
------------ page 12 --------------
  Пусть силы F\, F2, ..., Fn, поочередно приложенные к точке, сообщают ей соответственно ускорения W\, w2j .,., wn\ тогда можно записать
  mWi = F{,
  mw2 = F2i
  mwn = Fn\ складывая эти выражения, получим
  п
  m(wl-\-w2+ ... Н- wn) = 2 Fk>
  л
  но ^jFk = F есть равнодействующая сил I7!, F9, ..., Fn.
  Следовательно, в соответствии с (1.1) можно утверждать, что точка получит ускорение, равное сумме ускорений, которые бы имели место при действии каждой силы в отдельности*), т. е. w = w\ + w2 + ... + wn.
  В принципе, основные законы динамики играют роль постулатов, из которых как следствие вытекают все результаты, полученные ранее в статике и даже некоторые из аксиом статики.
  В сжатом виде законы динамики можно сформулировать следующим образом:
  1. Существует такая система отсчета, в которой материальная точка находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Такая система отсчета называется инерциальной (иногда ее условно называют неподвижной).
  2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения материальной точки пропорционален вектору силы, действующей на эту точку.
  3. Две материальные точки взаимодействуют друг с другом так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.
  4. Систему сил, действующих на материальную точку, можно заменить одной равнодействующей, следуя правилу сложения векторов.
  Ускорение точки при этом равно ускорению, которое приобрела бы точка под действием только одной силы — равнодействующей.
  Из основного уравнения динамики следует линейная зависимость между модулем силы и модулем ускорения " F = mw. (1.2)
  *) Иногда в динамике этот результат постулируется, а из него получают правило приведения сил к равнодействующей; однако это. пожалуй, меное очевидно, чем правило параллелограмма сил, из которого вытекает возможность приведения сходящихся сил к равнодействующей.
  12
------------ page 13 --------------
  Эта зависимость дает возможность опытного определения массы материальной точки. Здесь имеются два подхода.
  Массу некоторой материальной точки можно принять за единичную массу т0. Тогда, измеряя ускорения, приобретаемые под действием одной и той же силы, двумя различными материальными точками (одна из них единичной массы), получим из (1.2)
  F = mw, F^tn^Wj. (1.3)
  Следовательно, т = m0Wo : w. Масса т0 установлена. Величина отношения ускорений w0: w определяет количество эталонных единиц массы, содержащихся в т.
  При таком способе измерения массы сила выражается через единицы массы и единицы ускорения по формуле (1.2).
  В международной системе единиц СИ эталоном массы служит 1 кг. Единицы длины и времени — 1 м и 1 сек.
  Единица силы называется ньютоном. Из (1.2) следует
  1 н = 1 кг м/сек2.
  Заметим, что часто применяется и более мелкая единица силы — дина
  1 дина = Ю-5 н = 0,001 кг -0,01 м/сек2 = 1 г см/сек2.
  Аналогично вводится один килоньютон (/сн), который равен 1000 ньютонов.
  Рассмотрим теперь другую возможность использования основного закона динамики. Можно, как и в статике, назначить эталон силы. Для измерения сил могут, например, служить пружинные весы. За эталон силы часто принимают силу тяжести на поверхности Земли одного килограмма массы. Такую единицу называют килограммом, но, в отличие от килограмма-массы, записывают при помощи символа кГ. Здесь масса измеряется в производных единицах, имеющих размерность
  [ш] = №']"'.
  Если оставить без изменения масштабы длин и времени, то получим техническую систему единиц. Единица массы называется в ней т.е.м. (техническая единица массы)
  1 т. е. м: = 1 кГ секУм.
  Ниже при решении задач мы будем пользоваться как международной (СИ), так и технической системой единиц. Разумеется, масштабы всех единиц в пределах той или другой системы будут выбираться, исходя из соображений удобства решения той или иной задачи.
  Масса, определяемая из основного уравнения динамики (1.2), называется инертной массой.
  Однако существует и другой путь измерения массы.
  13
------------ page 14 --------------
  Из закона всемирного тяготения следует, что между двумя материальными точками массы т\ и т2, отстоящими друг от друга на расстоянии г, возникают силы взаимодействия, определяемые формулой
  F = f-^p-, (1.4)
  где / — гравитационная постоянная.
  Закон всемирного тяготения открывает новую возможность измерения массы. Пусть, например, /Пг = М — масса Земли, Ш\ = т0 — эталонная единичная масса, т — измеряемая масса. Тогда из (1.4) можно получить два соотношения:
  *,-/-*?-, /W^. (1.6)
  Предполагается, что обе массы т0 и т помешены в одной и той же точке пространства.
  Поделив одно из уравнений (1.5) на другое, получим
  —«-т;> ™~1гщ- (1.6)
  Если г —радиус Земли, то очевидно, что F\ и Fo —силы притяжения на поверхности Земли. Как будет выяснено в главе VI, эти силы мало отличаются от сил тяжести. Масса, вычисляемая по формуле (1.6), называется «тяжелой» массой.
  Таким образом, отношение масс равно отношению сил притяжения.
  Итак, масса одной и той же материальной точки может быть вычислена из двух совершенно различных опытов по формулам
  т __ w0 т __ Fx /и о ~~ w * /л о ~~" ^о
  Точные эксперименты, проведенные для проверки равенства инертной и тяжелой масс, показали совпадение этих величин. Они послужили отправной точкой для создания Эйнштейном теории тяготения.
  В специальной теории относительности показывается, что масса т тела зависит от его скорости
  ш0
  т = ¦
  /-¦?
  где то — так называемая масса покоя, v — скорость тела, с — скорость света. В классической механике рассматриваются движения тел, скорости которых значительно меньше скорости света. Поэтому, пренебрегая отношением v2/c2 по сравнению с единицей*), считают массу тела постоянной.
  *) Так, например, для второй космической скорости (см. § 4.2) v 11,2 км/сек и v2/c2 «1,4- 1Q-10.
  14
------------ page 15 --------------
  Заметим, что если записать в обозначениях дифференциального исчисления второй закон Ньютона в том виде, кяк он его сформулировал, то основное уравнение динамики (1.1) примет вид
  d(mv) —It F
  Эта форма основного уравнения динамики точки, в отличие от уравнения (1.1), применима не только для тела постоянной массы, но и тел, масса которых зависит от скорости.
  § 1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  Положение материальной точки М в инерциальной системе отсчета будем определять ее радиусом-вектором г. Сила F, действующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е. от
  радиуса-вектора г (например, сила тяготения), скорости у=-тг
  точки (например, сила сопротивления) и времени /*). Следовательно, в общем случае F = F(r} z>, /), и основное уравнение динамики точки (1.1) можно записать в следующей форме:
  m-jjr^Fir, v, t).
  Это равенство, представляющее физический закон, устанавливающий связь между массой точки, ее ускорением и действующей на точку силой, можно рассматривать одновременно как дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор г является функцией, а время /—аргументом. Это уравнение на- зывается дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.
  Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно, эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется основное уравнение динамики (1.1), можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.
  Так, например, если спроектировать обе части уравнения (1.1) на неподвижные оси декартовых координат, то будем иметь
  tnx = Fx, my = Fy9 mz = F29 (1.7)
  где x, ij, z — проекции ускорения точки на координатные оси Fx% Fy, Fz — проекции силы, действующей на точку, на те же оси. Если пользоваться описанием движения в естественной форме, то нужно спроектировать основное уравнение динамики (1.1)
  *) Подробнее см. в § 1.5.
  15
------------ page 16 --------------
  на оси естественного трехгранника; в результате получим соотношения
  mwx = Fx, mwn = Fn, mwb^Fb, (1.8)
  где FT, Fn и Ff, — проекции силы на касательную, нормаль и бинормаль. Вспоминая известные из'кинематики выражения для проекций ускорения wx, wn и хюь на те же направления, получим
  m~dF = Fv 7~W = Л,, 0 = F„ (1.9)
  где р — радиус кривизны в текущей точке траектории.
  Из последнего уравнения вытекает, что сила (как и ускорение точки) лежит в соприкасающейся плоскости.
  В случае плоского движения точки, рассматриваемого в полярных координатах /*, ср, имеем
  т(г — гу°) = Fry
  где Fr и FK{— проекции силы на направление радиуса-вектора и перпендикулярное к нему направление (в сторону увеличения полярного угла ф).
  Мы ограничились наиболее употребительными случаями; аналогично можно получить записи дифференциальных уравнений движения материальной точки в других системах криволинейных координат (цилиндрической, сферической и т. д.).
  § 1.4. Первая задача динамики
  Как было сказано в § 1.1, в практике возникают различные постановки динамических задач. Прежде всего остановимся на первой задаче, когда движение задано и необходимо найти силу, под действием которой происходит это движение.
  Эта задача решается следующим образом: закон движения подставляется в дифференциальное уравнение (1.7), (1.9) или (1.10) (в зависимости от способа задания движения) и с помощью дифференцирования соответствующих функций определяются проекции силы. Проследим за ходом решения на примерах.
  Задача 1. Материальная точка массы т движется в плоскости ху, причем уравнения движения заданы в виде
  х = at, у r=bt — ct2.
  Найти силу, под действием которой происходит это движение.
  В данном случае движение задано в декартовых координатах. Поэтому выражение координат из уравнений движения нужно подставить в дифференциальное уравнение (1.7). При этом находим
  Fx = 0, Fv = —2/лс,
  (1.10)
  16
------------ page 17 --------------
  т. е. устанавливаем, что на точку действует постоянная сила, параллельная оси у и противоположная ей по направлению.
  Задача 2. Материальная точка массы т движется по окружности радиуса г с постоянной скоростью v. Найти силу, под действием которой происходит такое движение.
  Здесь движение задано в естественной форме; поэтому согласно (1.9) находим
  Таким образом, заданное движение материальной точки происходит под действием силы, имеющей постоянную величину и направленной по радиусу окружности к ее центру.
  'Задача 3. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости. Ее полярные координаты г и ср изменяются по закону (рис. 1.1):
  г = at, ф = со/,
  где а и ю — положительные постоянные. Определить силу, под действием которой происходит это движение.
  Прежде всего находим
  г = а, г = 0. ф = со, ф = 0.
  Теперь согласно первому уравнению (1.10) получаем " Рис. 1.1. Fr = — ma(u2t,
  т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку вдоль радиуса, направлена к полюсу, и ее модуль увеличивается пропорционально времени. Согласно второму уравнению (1.10) имеем
  Fq, = 2ma2co.
  т. е. составляющая силы, действующая на точку по перпендикуляру к радиусу, ¦постоянна. Модуль силы, действующей на точку, определяется равенством
  F = VF2r + Fl = шасо |ЛА2 + 4а2.
  § 1.5. Вторая задача динамики
  Х!ля определенности изложения будем рассматривать движение в декартовой системе координат, опираясь на уравнения (1.7). Как уже отмечалось ранее, сила (и ее проекции), действующая на материальную точку, в общем случае может зависеть от положения точки, ее скорости и времени.
  Приведем несколько примеров переменных сил. На упругой балке установлен (рис. 1.2, а) не вполне уравновешенный двигатель. При заданном режиме работы двигателя сила давления на конструкцию, обусловленная неуравновешенностью, является функцией времени; заметим, что эта сила совершенно не зависит от того, как под ее воздействием колеблется конструкция. В этих условиях на конструкцию действует сила, заданная как явная функция времени t (здесь мы не касаемся вопроса о том, каким
  17
------------ page 18 --------------
  Wff77
  Pit)
  M
  a)
  образом указанная конструкция схематизируется в виде материальной точки). Обратимся к другому примеру.
  С Земли произведен пуск космического корабля. После некоторого, сравнительно короткого промежутка времени двигатели выключаются, и корабль продолжает движение под действием практически единственной силы — силы притяжения Земли (рис. 1.2,6); притяжение других небесных тел в начале движения пренебрежимо мало. Согласно закону всемирного тяготения эта сила не постоянна и постепенно убывает с увеличением расстояния г корабля от Земли. Здесь сила притяжения зависит от положения корабля, т. е. определяется его координата*ми.
  В качестве третьего примера рассмотрим силы, под действием которых происходит падение материальной точки в вязкой жидкости (рис. 1.2,0). На материальную точку действует сила тяжести G и сила сопротивления жидкости R. Как показывает опыт, сила R зависит только от скорости падения. В начале процесса, когда скорость мала, эта сила также невелика, но с возрастанием скорости растет и сила сопротивления.
  Таким образом, зависимости, определяющие изменение переменных сил, весьма разнообразны по своей природе; можно указать три простейших типа переменных сил:
  а) силы, заданные как явные функции времени и не зависящие от движения материальной точки;
  б) силы, зависящие от координат материальной точки;
  в) силы, зависящие от скорости материальной точки.
  Но возможны случаи, когда сила, действующая на точку, может быть одновременно функцией от нескольких аргументов. Например, действующая на космический корабль сила аэродинамического сопротивления, при его движении в атмосфере (при взлете или снижении) зависит и от положения корабля, и от его скорости, так как плотность атмосферы убывает с высотой над поверхностью Земли.
  Чаще всего на материальную точку одновременно действуют несколько сил различных типов.
  На рис. 1.3,с представлен пример, иллюстрирующий одновременное действие сил различной природы. Неуравновешенный
  18
------------ page 19 --------------
  двигатель А установлен на массивном фундаменте В, который в свою очередь установлен на пружинных амортизаторах (на рисунке они схематично изображены одной пружиной С и амортизаторами D).
  В такой конструкции фундамент может иметь малые вертикальные поступательные перемещения (за счет деформации пружин), а при работе двигателя возникают колебания системы.
  
  *|
  о ;
  F U
  а)
  б)
  Рис.
  На фундамент действуют силы четырех типов. Во-первых, сила тяжести самого фундамента, обозначенная на рис. 1.3,6 через G,
  G = const. (1.11)
  Во-вторых, сила действия двигателя на фундамент, обозначенная на рисунке через Р. Эта сила, меняющаяся во времени заданным образом, представляет переменное динамическое давление на фундамент, зависящее от величины неуравновешенных масс двигателя и угловой скорости вращения его ротора
  P = P(t).
  (1-12)
  В-третьих, на фундамент действует реакция пружины, которая в любой момент времени определяется деформацией пружины (т. е. перемещением фундамента):
  F = F(y) (1.13)
  (у—вертикальное перемещение фундамента в данный момент). Наконец, в-четвертых, на фундамент действуют реакции гидравлических амортизаторов D. Опыт показывает, что их реакции полностью определяются скоростью движения поршня в цилин' дре амортизатора, т. е. скоростью самого фундамента:
  R = R(y).
  (1.14)
  При поступательном движении фундамента его можно рассматривать как материальную точку; дифференциальное уравнение движения этой точки (в проекции на ось у, которую будем
  19
------------ page 20 --------------
  считать направленной вниз) имеет вид
  ту =Gy + Py (t) + Fy (у) + Ry (у). (1.15)
  Для того чтобы найти движение фундамента, необходимо решить это дифференциальное уравнение.
  Подобным же образом дело обстоит и в других задачах. Следовательно, в общем случае вторая задача динамики приводит к необходимости решения системы трех дифференциальных уравнений:
  тх = Fx (.v, //, z, х, у, ?, /), j
  my = Fy{xy у, z, х, уу г, t), \ (1.16)
  mz = Fz(x, у, 2, х, уу z, t), )
  в которые искомые функции х, yf z входят вместе со своими первыми и вторыми производными по времени. Уравнения (1.16) представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций х, у и z и, как уже отмечалось, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки.
  Предположим, что нам удалось проинтегрировать систему уравнений (1.16) и получить общее решение:
  х — х (t, Gj, ..., Сб), y = y{t, Сь ..., С6), *-*(*, С„ ..., Сб),
  (1.17)
  где Сь ..., Сб — произвольные постоянные интегрирования. В каждую из функций (1.17) могут входить все шесть постоянных, так как в общем случае уравнения (1.16) не являются независимыми друг от друга.
  Если теперь в соотношениях (1.17) постоянным интегрирования давать различные числовые значения, то можно получить совокупность различных решений. Это значит, что под действием одних и тех же сил, действующих на материальную точку, она может совершать различные движения.
  Например, тело, отпущенное без начальной скорости, будет падать под действием силы тяжести вертикально вниз по прямой линии. Это же тело, брошенное под углом к горизонту, будет двигаться под действием той же силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем) по некоторой кривой.
  Таким образом, задания одних сил, действующих на материальную точку, еще недостаточно для определения конкретного закона ее движения. Для того чтобы выбрать из многообразия решений (1.17) то, которое соответствует решаемой нами конкретной задаче, нужно задать еще начальные условия движения. Начальное состояние движения точки определяется ее положе-
  20
------------ page 21 --------------
  нием и ее скоростью в начальный момент времени, т. е. радиусом-вектором г0 = г(0) и скоростью Vq = г>(0) при t = 0.
  В декартовой системе координат нужно задать соответствующие проекции:
  при / = 0
  х = *о> х = *о>
  У = Уо, У = Уо>
  Z == Zq> Z = Zq.
  (1.18)
  Совокупность этих данных называется начальными условиями движения.
  Для выбора значений шести постоянных интегрирования, входящих в общее решение (1.17) и соответствующих решаемой конкретной задаче, используются начальные условия движения (1.18). Это делается следующим образом: во-первых, требуем, чтобы при / =^ 0 значения х, у и г, определяемые выражениями (1Л7), равнялись бы соответственно аго, Уо и г0; во-вторых, продифференцировав по времени выражения (1.17):
  х = x(t, Cl9 ..., Сб),
  i~t(t9 с„ ..., с6),
  2 = Z\tt С], . . ., Cg),
  требуем, чтобы при t = 0 эти х, г/, г равнялись бы соответственно Хо, УО, Zq.
  Таким образом, мы получим шесть уравнений для определения постоянных интегрирования:
  *о = *(0, С\% ..., С6), х0 = х(0> СЬ ..., С6), 1
  0o«=i/(O, С„ ...,Сб), уо=-у(0, С„ ..., С6), } (1.19)
  z0 = z(0, С„ .... Сб), г0 = 4(0, Си .... С6). I
  Решая эти уравнения относительно постоянных С,, найдем *)
  Ci = fi(x0, yQ9 z09 x0i у0, z0) (/= 1, 2, ..., 6). (1.20)
  Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (1.17), получим решение задачи, соответствующее данным начальным условиям:
  лг = ф,(г, x0f //0, z0i х.и у„ ё0), г/ = Ф2(/, *0, //0, г„, л:,, //,ь *о)»
  ^ = Фзи> *0> Уо> zi)> *:>» #и> 20).
  (1.21)
  *) Так как Cj, ..., Сб—произвольные постоянные интегрирования, то они взаимно независимы, поэтому, как доказывается в курсе высшей математики, решение уравнений (1.19) всегда возможно.
  21
------------ page 22 --------------
  В курсах математики доказывается, что при определенных ¦условиях, накладываемых на правые части уравнений (1.16) (если задача механики поставлена правильно, то эти условия обычно выполняются), решение (1.21) единственное. Это значит, что при данных начальных условиях и данных силах движение точки полностью и единственным образом определено.
  Следует заметить, что наибольшие затруднения обычно представляет первый этап — получение общего решения (1.17); после этою постоянные интегрирования определяются без особых трудностей.
  Покажем на примере решение второй задачи динамики, причем ограничимся тем случаем, когда на материальную точку действует постоянная сила.
  Задача 4. Исследовать движение материальной точки Л1 массы т под действием силы тяжести; сопротивлением атмосферы пренебречь (рис. 1.4). Выберем систему координатных осей так, чтобы ее начало О совпадало с начальным положением точки Л/, ось у направим вертикально вверх, а оси х и г — горизонтально. Ось х направим так, чтобы начальная скорость v3 была расположена в плоскости ху. Из рассмотрения рис. 1.4 следует, что проекции действующей на точку силы тяжести на оси координат равны Fx = 0, Fy = — mg, Ft = 0. Следовательно, дифференциальные уравнения движения (1.16) в данном случае будут иметь вид
  т'х = 0, mii = — mg, mz = 0 (1.22) или, после сокращения на т, х = 0. //= — g, z = 0.
  Интегрируя эти уравнения, получим общее решение
  Рис. 1.4.
  х = Cxt + CA.
  (1.23)
  z = C3t + C6.
  Для определения постоянных интегрирования С* необходимо указать начальное состояние движения точки, т. е. ввести соответствующие начальные условия. Пусть начальная скорость Vo составляет с осью х угол а. Тогда в силу выбора координатной системы будем иметь следующие начальные условия:
  при t = 0
  *о = Уо — 2о — 0. *о — Aq cos °" */о ~ vo sin a, z0 — 0. В соответствии с (1.23) имеем
  х-С,. //--?/ + С2. ? = С3. (1.24)
  Используя теперь начальные условия, найдем постоянные интегрирования: С4 = 0. С5 = 0. Сб = 0, C, = y0cosa, C2 = v0 sin a, C3 = 0.
  Подставляя эти значения С,- в общее решение (1.23), получим уравнения движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту
  at2
  х — v0tcoba, у = v0t sin a——-, г = 0. (1.25)
  22
------------ page 23 --------------
  Из этих уравнений следует, что движение точки под действием силы тяжести происходит в вертикальной плоскости хОу (2 = 0). Траекторией точки будет парабола
  y-*tga-*» J . (1.26)
  2i>5 cos a
  Таким образом, задача решена. Дальнейшее исследование траектории (1.26) позволит определить дальность бросания и наибольшую высоту подъема. После этого можно поставить задачу об оптимальных условиях бросания, например, выяснить, при каком угле а достигается максимальная дальность (если считать значение v0 заданным).
  § 1.6. Прямолинейное движение материальной точки
  Выясним, при каких условиях материальная точка совершает прямолинейное движение.
  Пусть материальная точка движется по прямой линии, которую мы примем за ось х; тогда во все время движения будет у = z = 0. Следовательно, на основании уравнений (1.16) должны тождественно выполняться равенства
  Fy = 0, F2 = 0, (1.27)
  т. е. если точка совершает прямолинейное движение, то сила, под действием которой происходит это движение, должна иметь линию действия, совпадающую с прямой, вдоль которой движется точка.
  Однако необходимое условие (1.27) прямолинейного движения не является достаточным. Например, при движении точки под действием силы тяжести, проекции силы на координатные оси, лежащие в горизонтальной плоскости, равны нулю, а точка движется не по прямой, а по параболе.
  Необходимыми и достаточными условиями прямолинейности движения является параллельность силы начальной скорости точки. В самом деле, если направить координатные оси так, чтобы ось х была направлена по начальной скорости точки, а начало координат было совмещено с начальным положением точки,, то условия (1.27) будут соблюдены и, следовательно,
  ту = 0, tnz = 0, откуда
  у = Си ? = С2 и
  y = Cxt + С3, z = С4 + С4,
  Имеем начальные условия при / = 0 у = 0, z = 0, у = 0, 2 = 0; тогда
  // = 0, z = 0. (1.28)
  Из уравнений видно, что траектория движения точки — прямая линия —ось х. Таким образом показана и достаточность условий прямолинейности движения.
  23
------------ page 24 --------------
  Ниже рассматриваются некоторые задачи о прямолинейном движении материальной точки, причем во всех случаях координатную ось х мы будем совмещать с прямой, вдоль которой происходит движение. В таких задачах вектор действующей на точку силы полностью определяется его единственной проекцией Fx.
  Рассмотрим несколько случаев прямолинейного движения материальной точки, в которых можно заранее указать методы интегрирования дифференциальных уравнений движения; каждый из случаев относится к определенному характеру действующей силы.
  1. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от времени
  Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид
  mx = Fx(t), (1.29)
  откуда
  *L=±-F (t) dt m r*^*
  Интегрируя, получим
  * = ±JFx{t)dt + Cl9
  где под Г Fx(t)dt понимается первообразная функция. Интегрируя далее, будем иметь
  х = -L Г [ Г Fx (t) dt\ dt + C,f + C2. (1.30)
  2. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от положения точки
  В этом случае дифференциальное уравнение движения будет
  mx = Fx(x). (1.31)
  Вводя v = х, получим
  •• — dv __ dv dx __ dv X~~W"~dx1t~V~dx
  и, следовательно, дифференциальное уравнение примет вид
  v dv = — Fx (x) dx. После интегрирования найдем
  v2—^^ Fx(x)dx + Ci9 24
------------ page 25 --------------
  откуда
  ' /га J
  т J * 1
  или, переходя к проекции скорости,
  d* . т/2 f „ _, . „ *) ^ <**
  -*/ij
  -ЗГ - -*- у -?¦ J ^* <** + С, , Л = ±
  y±jFxdx+Cl
  Интегрируя это уравнение, будем иметь
  t=±\ / ** + с„
  V I?] FxWdx + Ct Вводя обозначение
  Ф(х, Си С2) = ± J d* _- + С2,
  У -|-j ^Wrfx + c,
  получим
  * = Ф(х, С„ С2).
  Решая это уравнение относительно х, найдем зависимость х от времени и постоянных интегрирования
  *-<р(*,С1э С2). (1.32)
  Таким образом, задача решается при помощи двух квадратур. 3. Прямолинейное движение точки под действием силы, зависящей только от скорости точки
  Дифференциальное уравнение движения
  mx = Fx{x) (1.33)
  с помощью замены v — х преобразуется к виду
  dv = 1 Fx (v) m
  Интегрируя это уравнение, получим
  dt.
  1
  ** +C-4-*.
  Fx(u) ' l m Если ввести обозначение
  Ф(0'с')=гт[/^Г+С']'
  *) Здесь и в дальнейшем знак перед корнем выбирается в зависимости от направления движения точки в рассматриваемом промежутке времени. Если хо > 0, то берется знак плюс, при противоположном неравенстве — минус. Знак может изменяться на противоположный в моменты, когда х = 0.
  25
------------ page 26 --------------
  то последнее равенство примет вид
  /=»Ф(о, С,) или
  * = Ф(*. С,).
  Разрешая это соотношение относительно х, будем иметь
  •§--/('. с,),
  откуда
  * = JfC C,)rf/ + C2. (1.34)
  Если уравнение / = Ф(.г, С4) нельзя разрешить относительно х, то поступим следующим образом: вводя преобразование
  dv dv
  перепишем дифференциальное уравнение (1.33) в виде
  mv dv
  откуда
  > dv
  — dx,
  :-mJ7J
  (о) ' ci"
  Из этого уравнения находим v — х:
  и после интегрирования будем иметь
  J <р(х, С,) откуда и определим х как функцию времени /.
  § 1.7. Задачи
  Задача 5. На покоящуюся материальную точку массы т в момент времени / = 0 начинает действовать сила, проекция которой на ось х выражается зависимостью Рх — Р' sin со/. Найти закон движения и сравнить решение со случаем, когда указанная проекция изменяется по закону Рх = Р cos со/.
  Совмещая начало оси х с начальным положением точки, получим диффе* ренциальмое уравнение движения в виде (1.29)
  тх = Р' sin (at.
  Согласно (1.30) записываем:
  :—J P'sino/d/ d/ + C,f + C,.
  26
------------ page 27 --------------
  Подчиняя решение начальным условиям
  v(0)-0. х(0) = 0 при /-0. находим
  Р'
  c,--f-^ с.-п.
  Следовательно, материальная точка движется вдоль оси х по закону
  Р' х = =• (со/ — sin (at).
  Из графика функции *(/), изображенного на рис. 1.5,а, где Р = Р'/ы, видно,, что точка постепенно удаляется от начального положения, совершая колебания около режима постоянной скорости. Если на материальную точку действует косинусоидальная сила, то дифференциальное уравнение движения (1.29) будет
  тх = Р cos со/
  и в соответствии с (1.30) общее решение имеет вид
  Р
  /71С0'
  ¦cosco/ + C{f+ C,.
  Из предыдущих начальных условий находим
  Р
  с' = о, с' -
  птг
  поэтому закон движения выражается при помощи соотношения
  /йог
  (1 —cos со/).
  На рис. 1.5,6 изображен график этой функции; движение носит колебательный характер, причем точка не удаляется от начального положения дальше чем на
  2Р
  Мы получили па первый взгляд неожиданный результат. В обоих случаях на точку действовала периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону; начальные условия также совпадали, однако отклонения точки от начального положения имеют различный характер. В первом случае наблюдается систематическое удаление точки от ее начального положения, во втором — удаления нет, движение име^т периодический характер.
  С формально математической точки зрения ничего удивительного здесь нет. Периодичность изменения ускорения (второй производной от координаты) вовсе не влечет за собой периодичности изменения скорости (первой производной) и тем более самой координаты. Применительно к разобранному примеру можно привести следующие физические соображения. В первом случае сила, а значит, и ускорение меняются по синусоидальному закону F = Р sin со/. Это значит, что в течение полупериода (О^/^лДо) ускорение было положительно и точка набирала скорость. Затем направление силы и, следовательно, ускорение изменялось и скорость начинала убывать, так что к концу периода / = 2л/о> она достигла нуля. Таким образом, проекция скорости х была псе время одного шака (л'Г^О). Отсюда ясно, что координата .v за это время могла только возрас«ать и к началу следующего цикла ;г?ме::епня силы
  27
------------ page 28 --------------
  она получила конечное приращение. Такое же приращение отклонения произойдет за второй и последующие периоды.
  Во втором же случае к концу первого полупериода проекция скорости окажется равной нулю, в течение последующего полуперкода она окажется отрицательной и, изменяясь по синусоидальному закону, в конце периода станет равной нулю. Такая знакопеременность скорости приводит к периодичности отклонения х.
  Задача 6. На материальную точку массы т действует сила отталкивания Fx, пропорциональная координате х и равная
  Fx — сх,
  где с — коэффициент пропорциональности. Найти движение точки, если в начальный момент t = О х = 0 и х = и0.
  Дифференциальное уравнение имеет вид
  тх = сх.
  Уравнение движения имеет ту же форму, как и (1.31), однако здесь целесообразнее воспользоваться не общим приемом, а учесть то обстоятельство, что дифференциальное уравнение является линейным. Перенесем все члены этого уравнения в левую часть и разделим его на массу т:
  х- — х = 0. т
  Согласно общей теории линейных однородных дифференциальных уравнений будем искать решение в форме
  л- = СеаК Отсюда
  Внесем эти значения для х и х в дифференциальное уравнение и сократим его на Сеа , в результате чего получим характеристическое уравнение
  а2 - k* = О, где
  Г т
  Реш.чя характеристическое уравнение, найдем
  Oi = — k, а2 — k.
  Так как оба корня оказались вещественными, то общее решение дифференциального уравнения будет
  x = Cie-kt + C2ekt,
  где С\ и С2— произвольные постоянные интегрирования, которые определяются из начальных усювий движения. Имеем
  х=- Cxke"kt + C2kekK
  Подставив в эти выражения для х (/) и х (/) значения / = 0, jc = 0 и x~vQt получим
  0= Ci + С2, у0= - Cxk + C2k. Отсюда
  г уо г - у°
  28
------------ page 29 --------------
  Подставим эти значения для Cj и С2 в выражение для х
  v0 ekt~e~kt
  ¦ sh /e/.
  где гиперболический синус sh kt определен равенством
  shfcf-
  ekt-e~kt
  Полученное решение удовлетворяет выбранным начальным условиям (при / — О х = О, * = v0). Если начальные условия будут при / = О
  х *= х0, х = 0,
  то точка будет двигаться по закону
  х0 ekt + e~kt
  *0
  chkt
  I ekt + e-kt \
  Ichkt — ~ гиперболический косинус!. На рис. 1.6 изображен график этой функции (сплошная линия).
  При относительно больших значениях времени второй член становится пренебрежимо малым и можно принять
  Хр J m
  2k
  Точное решение
  Приближенное решение
  Рис. 1.6.
  (см. штриховую кривую на рис. 1.6).
  Нужно заметить, что это приближенное решение не удовлетворяет начальным условиям.
  Задача 7. Точка массы т падает на землю из состояния покоя под действием постоянной силы тяжести. Найти скорость
  и закон движения точки, если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости {R = k2mv2, где k— постоянная).
  Дифференциальное уравнение движения имеет вид
  тх — mg — mk2x2,
  т. е. соответствует форме (1.33).
  Последуем указанному выше пути решения и обозначим х = v. Это позволит привести уравнение движения к уравнению первого порядка
  dv dt
  =*g-k2v2
  dv
  g-k2v2
  = dt.
  После интегрирования получим
  1
  ln!i±*!L_/ + C|
  2* VI Vz-kv
  Так как движение начинается из состояния покоя, то v = 0 при / = 0 и С, = Й.
  29
------------ page 30 --------------
  Следовательно, имеем
  откуда
  -Wm Ki+kv
  2k Vg Vg-ko
  k okt Vg
  + 1
  Из этой формулы следует, что v->Vg/k при f-*oo, т. е. скорость падения-
  стремится к определенному пределу.
  Перейдем теперь к нахождению закона dx движения. Так как v =-jt. to at
  dx = -^- e ... dt
  dx-
  1 d{ekiY^+e-ktVs) k2 ektVg+e-ktve
  отсюда
  Рис. 1.7.
  x—L\n{j«V* +*-»*') + €,
  При / = 0 x = 0, следовательно, С2 = —г^ 1п 2. Таким образом, имеем
  < , еы1Г*+ *-"** *=_1п _ .
  Даже при сравнительно небольших значениях времени е * ^ е~ я\ поэтому, пренебрегая слагаемым е~ н. получим приближенно
  -_Li *"V1 VI , In 2 * k2 ln 2 k k* '
  т. е. движение по истечении некоторого промежутка времени становится практически равномерным.
  Как и в предыдущем примере, это решение вследствие своей приближенности не удовлетворяет начальным условиям; это можно понять, рассматривая рис. 1.7, где графически представлены точное и приближенное решения.
  Задача 8. Материальная точка начинает движение в сосуде с вязкой жидкостью с горизонтальной начальной скоростью, равной по модулю v0 Дви- Р"С 1-8- жепие начинается из точки с координатами дг = О,
  у = И. г— О (рис. 1.8). На точку действует сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости точки (/^ = kmv, где к — коэффициент пропорциональности). Найти закон движения точки. В качестве координатной плоскости ху примем вертикальною плоскость, проходящую через направление начальной скорости точки. Начало координат расположим па дне сосуда, ось у направим вертикально вверх.
  3d
------------ page 31 --------------
  Силы действующие на точку, равны
  Р — mg, R = — kmv. Дифференциальные уравнения движения имеют вид
  тх = — kmx,
  ту = — kmy — mg,
  mz = — kmz или
  x H- kx = О,
  # + ky = - ?,
  z + kz = 0.
  Система уравнений движения распадается на три линейных уравнения, общие решения которых будут:
  х « С, + С2е~~ы,
  y = C3 + CAe-kt--g-t.
  z = C6 + C6e-kt. Так как
  i=- C2ke~kt.
  y=-C<ke-kt--%-, к
  z=-C6ke-kt. то при начальных условиях при t = О
  *овО. Уо^Л, г0«0, jc0=*t>o. Уо = 0, ?0e0 получим
  Ci—5-. с«--т-' Сз=А+"&"- c*=-~ik- С8~а с»*"0
  и тосда
  x=v0-
  y~h + g
  \-e-M-kt
  k2 2-0.
  Отсюда следует, что движение точки будет происходить в вертикальной плоскости.
  Для получения закона движения при отсутствии сопротивления среды следует k устремить к нулю; тогда получим
  *=* V0I.
  г = 0.
------------ page 32 --------------
  ГЛАВА II
  ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ
  ТОЧКИ
  § 2.1. Вводные замечания
  Среди различных сил, которые могут действовать на материальную точку, особое место занимают восстанавливающие силы, т. е. силы, стремящиеся вернуть точку в положение равновесия. Такие силы зависят от отклонения точки от положения равновесия и направлены в сторону, противоположную отклонению. Как мы увидим ниже, восстанавливающие силы придают движению материальной точки колебательный характер. Природа этих сил весьма разнообразна. Три случая показаны на рис. 2.1.
  В первом случае (рис. 2.1, а) восстанавливающая сила обусловлена упругими свойствами пружины и возникает вследствие деформации пружины. Во втором случае (рис. 2.1,6) при вертикальных отклонениях плавающего понтона от положения равновесия возникает дополнительная (архимедова) сила, также направленная против отклонения и играющая роль восстанавливающей силы. В третьем случае (рис. 2.1, в) имеется в виду материальная точка, находящаяся в прямолинейном сквозном канале, который проходит внутри Земли. Если тело отклонено от положения равновесия, возникает составляющая силы притяжения, направленная к положению равновесия.
  Однако, кроме восстанавливающих сил, в подобных случаях одновременно действуют, как правило, также силы сопротивления /?(i), зависящие от скорости движения; таково в схеме рис. 2.1, а трение между телом и горизонтальной поверхностью, в схеме рис. 2.1,6 — зависящее от скорости сопротивление воды, в схеме рис. 2.1, в — сопротивление воздуха и трение скольжения. Наконец, возможно, что к материальной точке приложена возмущающая сила, т. е. сила, являющаяся заданной функцией времени.
  32
------------ page 33 --------------
  1ллллллРТ
  ш&
  I
  
  4«
  а)
  Настоящая глава посвящена систематическому исследованию всех вариантов сочетания указанных сил в случае прямолинейного движения материальной точки. Хотя эта задача представляет практический интерес и сама по себе, но еще более важно, что ее решение можно почти без всяких изменений использовать для многих других случаев колебаний.
  Дело в том, что различные по своему физическому содержанию колебательные явления описываются одинаковыми
  дифференциальными уравнениями, поэтому выводы, полученные при изучении колебательного движения в какой- либо одной области, могут быть использованы и в других областях.
  Наиболее просты для исследования те случаи колебательных движений, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению точки от положения равновесия, а сила сопротивления пропорциональна отклонению точки. Соответственно проекции восстанавливающей силы и силы сопротивления на ось х имеют вид
  Fx = - сху Rx = - Ьх.
  т
  Рис. 2.1.
  В этих случаях дифференциальные уравнения движения
  линейны; соответственно такие колебания также называются линейными *).
  В зависимости от того, какая комбинация сил действует на материальную точку, колебательное движение приобретает те или иные типичные особенности. В следующей таблице дана сводка различных изучаемых в дальнейшем типов линейных колебаний.
  *) Термин «линейные колебания» никак не связан с прямолинейностью траектории точки и определяется исключительно линейностью дифференциальных уравнений.
  2 Н. В. Бутенин и др., т. 2 33
------------ page 34 --------------
  Действующие силы
  Восстанавливающая сила F{x):
  Fx = — сх
  Восстанавливающая сила F (х) + сила сопротивления R (х):
  Fx = —сх, #г = — Ьх
  Восстанавливающая сила F (х) + возмущающая сила Q (/):
  Fx=-cx. Qx=Qx(t)
  Восстанавливающая сила F (х) + сила сопротивления R (х) + возмущающая сила Q (/):
  Fx=-cx, Rx(x)=-bx,''
  Qx = Qx (/)
  Дифференциальное уравнение
  тх + сх = 0
  тх + Ьх + сх = 0
  тх + сх — Q* (/)
  /их + Ьх + сх = Qx (/)
  Наименование вида 1 колебаний
  Свободные колебания
  Свободные колебания при наличии вязкого трения
  Вынужденные колебания
  Вынужденные колебания при наличии вязкого трения
  Возможны и более сложные случаи, когда сила зависит одновременно от координаты х и времени t и не может быть представлена в виде суммы Fx(x) и Qx(t), а также когда сила зависит от координаты х и скорости я, причем силу нельзя представить как сумму F(x) и R(x). Эти случаи здесь не рассматриваются.
  § 2.2. Свободные колебания
  Рассматриваемая задача характеризуется тем, что на материальную точку действует только восстанавливающая сила\ в линейных задачах ее модуль пропорционален отклонению точки от положения равновесия. Проекция восстанавливающей силы на ось х равна
  Fx=-cx, (2.1)
  где с — коэффициент пропорциональности, а дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
  тх = — сх. Положив с/т = ft2, получим
  x + k2x = 0. (2.2)
  34
------------ page 35 --------------
  Таким образом, движение материальной точки под действием восстанавливающей силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
  Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид
  <х2 + й2 = 0.
  Так как его корни — чисто мнимые числа
  а, = ki, а2 = — ki9
  то общим решением дифференциального уравнения (2.2) будет
  х = Сх sin kt 4- С2 cos kt, (2.3)
  где Ci и С2 — постоянные интегрирования.
  Для большего удобства анализа этого решения введем новые постоянные интегрирования а и е, положив
  Сх = a cos е, С% = a sin e; тогда
  х = a cos e sin kt + a sin e cos kt или
  л: = a sin (Atf + e). (2.4)
  Постоянные а и е (или постоянные Ci и C2) определяются заданными начальными условиями — начальным положением и начальной скоростью движущейся точки.
  Таким образом, под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т. е. гармоническое колебательное движение. Такие колебания называются свободными колебаниями.
  Из уравнения (2.4) видно, что наибольшее отклонение материальной точки от положения равновесия (амплитуда колебаний) равно а.
  Аргумент (kt -f- e) называется фазой колебаний, а величина е — начальной фазой.
  Величина k является круговой (или угловой) частотой колебаний и определяет число колебаний, совершаемых точкой за 2л секунд. В дальнейшем величину k для краткости будем называть просто частотой. Частота колебаний k не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы (величинами cum). По этому признаку частоту свободных колебаний называют также собственной частотой.
  Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями, которые должны быть заданы (в противном случае колебательный процесс не полностью определен). Пусть в начальный момент / = 0 известно
  2* 35
------------ page 36 --------------
  начальное положение материальной точки х = х0 и начальная скорость х = хо. Тогда, подставив в уравнение движения (2.4) и в выражение для скорости
  x = akcos(kt + e) (2.5)
  t = О, х = х0 и х = хо, получим для определения а и е два уравнения:
  х0 = a sin е, х0 = а& cos е.
  Отсюда находим
  Л0^ fe2
  
  *0
  (2.6)
  и поэтому закон движения точки определяется следующим уравнением:
  х = у xl + 4 sin (&/ + arctg -^). (2.7)
  График свободных колебаний материальной точки представлен на рис. 2.2; здесь отмечено начальное отклонение *о, амплитуда колебаний а, а также промежуток времени 7\ в течение которого происходит одно полное колебание. Этот наименьший промежуток времени, по истечении которого движение точки полностью повторяется, называется периодом колебаний. Зависимость между периодом колебаний и частотой определится из условия периодичности движения:
  k{t + Г) + е=:« + е + 2я, откуда
  Т
  х0=а$те
  0
  \~\ J
  \а \
  
  г /\
  
  а/
  
  а
  t
  Рис. 2.2.
  г =
  2я
  ИЛИ
  Г = 2я
  /т
  (2.8)
  Таким образом, период колебаний, так же как и частота, не зависит от начальных условий. Это свойство колебаний называется изохронностью. Как видно из (2.8), период и частота ко-
  *) Если дг0>0, то при *o/jc0>0 0<e<y, а при х0/х0<0 -уО^я. Если х0<0, то при х0/х0>0 л<е< —, а при x0/xQ<0 -^~<е<2я. 36
------------ page 37 --------------
  лебаний определяются величиной колеблющейся массы т и коэффициентом пропорциональности с, причем с увеличением массы и уменьшением коэффициента с период колебаний увеличивается.
  Задача 9. Груз массы т подвешен на пружине, массой которой можно пренебречь (рис. 2.3). На колеблющийся груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила упругости F, создаваемая пружиной. Составить дифференциальное уравнение движения.
  Отметим на рис. 2.3 три положения: 0\ — положение нижнего конца пружины в ее недеформированном состоянии, О — положение равновесия груза, висящего на пружине, М — текущее положение груза при его движении. Обозначим расстояние 0\0 через оСт (статическая деформация пружины) и направим ось х вертикально вниз, выбрав начало отсчета в положении равновесия груза (точка О).
  По закону Гука при относительно небольших перемещениях модуль силы упругости пропорционален деформации пружины. В нашем случае деформация пружины равна 1 бет + х |, поэтому F ¦= с | бет + х |, где с — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины. Очевидно, что коэффициент жесткости численно равен силе, которую нужно приложить к концу пружины, чтобы деформировать ее на единицу длины. Проекция силы F па ось х равна —с(6Ст+*). Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
  [А
  О,.
  О
  
  Ггг
  г г
  mx*=mg~c (dCT + х).
  Рис. 2.3.
  Если тело находится в равновесии, то сила тяжести mg уравновешивается силой упругости, которая в положении равновесия равна сбст (так как в этот случае х = 0). Следовательно,
  mg = сЬст. (2.9)
  Принимая это во внимание, приведем дифференциальное уравнение движения груза к виду
  тх = — сх яли
  х + k2x - 0, где
  т
  Полученное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением (2.2). Поэтому груз, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания с частотой k.
  Если начало координат взять в точке 0{ или в верхнем неподвижном конце А пружины, то дифференциальное уравнение движения усложнится. Так, если начало координат выбрано в точке О,, то Fx — —сх и уравнение движения груза примет вид
  тх = mg — сх «ли
  х + k2x - g.
  Если начало координат выбрать в неподвижном конце А пружины, то Fx *= с(х — 1о), где /о —длина пружины в недеформированном состоянии. Дифференциальное уравнение движения груза
  mx — mg — c{x — lQ)
  37
------------ page 38 --------------
  после упрощения приводится к форме
  x + k2x = g+k*t0.
  Таким образом, рациональным выбором начала отсчета можно упростить форму дифференциального уравнения движения и, следовательно, его решение.
  Задача 10. На понтон (рис. 2.1,6) действует его вес G и архимедова выталкивательная сила F. Исследовать вертикальную качку понтона.
  В состоянии равновесия вес понтона G уравновешивается архимедовой силой F. Если это состояние по какой-либо причине нарушается и понтон дополнительно погрузится в воду, то согласно закону Архимеда выталкивательная сила возрастет, т. е. получит приращение, направленное вверх. Понятно, что при любых отклонениях понтона от положения равновесия приращение силы F будет направлено против отклонения. Если понтон прямо- стенный (в первом приближении это можно принять), то приращение архимедовой силы пропорционально отклонению х и определяется соотношением
  AF=- ySxi,
  где у — удельный вес воды, S — площадь, ограниченная ватерлинией (площадь сечения понтона горизонтальной плоскостью на уровне поверхности воды). Действительно, произведение Sx определяет дополнительно вытесненный объем воды, так что произведение ySx равно «потере веса» по закону Архимеда, т. е. приращению модуля силы F.
  Допустим, что после нарушения состояния равновесия понтон будет предоставлен самому себе. В любой момент последующего движения на понтон действуют две силы: сила тяжести G = mg (направленная вниз) и архимедова сила F + &F (направленная вверх). Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х имеет вид
  тх ~ mg — F — ySx.
  Учитывая, что mg = F, найдем
  тх + ySx = 0, т. е.
  т
  Полученное дифференциальное уравнение совпадает с подробно исследованным уравнением (2.2). Поэтому, независимо от начальных условий,, можно сразу найти период (2.8) вертикальной качки понтона:
  Пусть, например, площадь ватерлинии понтона равна равна 20 м2 и его вес составляет 30 т. Тогда находим [у =* I т/м3, m — -jr^r т • сек2Ум2\
  '-¦««•/^ЖГ-«"«
  Приведенное решение грубо приближенное, так как выталкивательная сила определялась по закону Архимеда, справедливому лишь для условий покоя. В данном случае следовало бы рассмотреть более сложные явления гидродинамического характера, связанные с движением воды при качке. Как показывают более подробные исследования, эти дополнительные обстоятельства можно учесть, условно добавляя некоторую массу воды («присоединен* ную массу») к массе понтона.
  В заключение рассмотрим еще одну задачу.
  38
------------ page 39 --------------
  Рис. 2.4.
  Задача 11. Для определения коэффициента сухого трения может быть использована установка, изображенная на рис. 2.4. Она состоит из двух валов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями в разные стороны, на которые кладется пластина. При совпадении центра тяжести пластины С с серединой (точка О) расстояния между осями пластина находится в равновесии под действием равных и противоположно направленных сил трения FA и Fb. Исследовать движение пластины, если в начальный момент N$ ее равновесие было нарушено. "л
  Если каким-либо способом нарушить состояние равновесия пластины, то она придет в движение в горизонтальной плоскости. Вследствие смещения центра тяжести С давления на диски окажутся неодинаковыми. Соответственно нарушится равенство сил трения, причем равнодействующая сил трения окажется направленной к точке О, т. е. в сторону положения равновесия, и будет восстанавливающей силой. Благодаря действию этой силы возникает процесс свободных колебаний, период которых зависит от свойств трения между пластиной и валами. Это позволяет по опытным значениям периода колебаний определить коэффициент трения /.
  Для вывода соответствующей формулы составим дифференциальное уравнение горизонтальных колебаний пластины. Вдоль оси х действуют сила трения, приложенная в точке А, равная fN A и направленная вправо, и сила трения, приложенная в точке В, равная jNB и направленная влево. Если центр тяжести пластины смещен от положения равновесия на величину х, то
  .где Q — вес пластины, 2/ — расстояние между осями валов *). Дифференциальное уравнение движения пластины имеет вид
  2/
  2/
  Положив fg/l = k2, получим
  х + k2x = 0;
  •отсюда сразу следует, что период колебаний равен
  ~1Г Ы
  :2Л]/ -у-,
  Разрешая последнее уравнение относительно /, получим окончательную формулу
  4я2/ / gT2 •
  Определив из опыта период колебаний Т и зная расстояние между осями колес 2/, найдем отсюда коэффициент трения скольжения.
  *) Здесь мы, в сущности, использовали уравнения статики. Уравновешенность сил, направленных перпендикулярно к оси Ох, следует из того, что ускорение пластины в этом направлении равно нулю.
  39
------------ page 40 --------------
  § 2.3. Свободные колебания при вязком сопротивлении
  Рассмотрим прямолинейное движение материальной точкиг под действием линейной восстанавливающей силы и линейной силы сопротивления. Совместим начало координат с положением равновесия точки. Проекция восстанавливающей силы F на ось
  х равна —сх. Так как сила сопротив-
  0 Р F t vr ^ ления R всегда направлена в сторону,
  х противоположную направлению ско- Рис 2.5. рости точки, то проекция силы сопро
  тивления на ось х равна —Ьх, где Ь — коэффициент пропорциональности, характеризующий сопротивление среды (см. рис. 2.5).
  Таким образом, дифференциальное уравнение движения точки запишется следующим образом:
  тх= — сх — Ьх. (2.10)
  Вводя обозначения с/т = №у b/m = 2й, получим
  x + 2hx + k*x = 0. (2.11)
  Это —линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид а2 + 2Аа + к2 = 0 и его корни равны:
  a,- -h + Vh2-k2, a2=-h~Vh2-k2.
  Характер движения точки существенно зависит от соотношения величин h и к.
  Если h<k (случай малого сопротивления), то корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Если h^k (случай большого сопротивления), то корни вещественные. Рассмотрим подробно каждый из этих случаев.
  1. Случай малого сопротивления (h<k).
  Корни характеристического уравнения будут
  а^-Л-Ь/^2-/*2, a2=-A-/|/A2-A2.
  Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
  х = е~м (С, sin кЧ + С2 cos k*t), (2.12)
  где k* = Yk2 — h2, C{ и C2 — постоянные интегрирования.
  Для большей наглядности введем новые постоянные a, e при помощи формул
  С{ — a sin e, C2 = acose. Тогда получим
  x = ae-hts'm(k't-\-e). (2.13)
  40
------------ page 41 --------------
  Из этого уравнения видно, что х->0 при f-*oo (так как e~ht —*0), т.е. движение является затухающим. Это затухающее движение носит колебательный характер, так как приближаясь (при /->оо) к состоянию равновесия, система будет проходить через это состояние бесконечное число раз в моменты времени, равные
  пп — е
  <«-¦
  k4
  где п = О, 1, 2, ... (рис. 2.6).
  Движение, описываемое формулой (2.13), не является периодическим, так как с течением времени последовательные максимальные отклонения точки от положения равно- %\ весия уменьшаются. Важно, что максимальные отклонения точки от положения равновесия хотя и уменьшаются с течением времени, но промежуток времени между двумя любыми последующими отклонениями (например, в сторону положительного направления оси х) есть постоянная
  величина, равная 2я/?*. Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний.
  Рассмотрим подробнее график движения (рис. 2.6). На этом
  Рис. 2.6.
  рисунке кривые х = ае
  -ht
  и х = —ае
  -ht
  являются границами об
  ласти, внутри которой располагается график движения.
  Вычислим моменты времени, соответствующие максимальным отклонениям точки от положения равновесия. С этой целью найдем скорость точки
  х = - hae~ht sin (k*t + е) + ak*e~ht cos (k*t + e) (2.14)
  л приравняем ее нулю. Будем иметь
  k*
  Иначе говоря, моменты времени, соответствующие максимальным отклонениям точки от положения равновесия, например, в положительном направлении оси х\ следуют друг за другом через промежутки времени, равные периоду Г = 2я/Л*, т. е.
  Г =
  _2л
  \'k2-h2
  (2.15)
  41
------------ page 42 --------------
  Из этой формулы видно, что при вязком трении период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний, равного 2я/?.
  Если обозначить через f первый момент времени достижения точкой максимального отклонения вдоль положительного направления оси х, то последующие моменты времени достижения точкой максимальных отклонений вдоль положительного направления оси х равны
  t'+T, t' + 2Tt ..., t' + nT, ...
  Максимальные отклонения а0, аи ... (их называют амплитудами затухающих колебаний), соответствующие указанным моментам времени, равны
  а0 = ae~ht' sin (*Т + е), а{ = ae-h{i'+T> sin (kmP + е), ..., ап =
  = ae-h^nT)s\n{k*tf + e);
  при этом учтено, что sin [k* (f + пТ) + е] = sin \k* It' + n -?г) + ?J =
  = sin (k*f -f e + 2яя) = sin (&*/' + e).
  Из формул для cto, au ... видно, что отношение последующей амплитуды затухающих колебаний и предыдущей постоянно и равно
  Л = -^2- = *-'1Г. (2.16)
  ат—\
  Таким образом, амплитуды затухающих колебаний при вязком сопротивлении убывают в геометрической прогрессии. Величина т] (знаменатель геометрической прогрессии) называется декрементом колебаний (или фактором затуханий), а модуль натурального логарифма этой величины
  Л = АГ (2.17)
  называется логарифмическим декрементом колебаний*).
  Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия: х = лг0, х — хо при t = 0.
  Подставляя эти условия в уравнения (2.13) и (2.14), получим уравнения для определения постоянных а и е:
  Xq =• a sin е, хх) = — ha sin е -Ь a cos e, откуда
  а— |/ x0-t- ^2 ,
  tg8= . , ? . & дг0 + hx0
  *) Иногда полагают к\ ¦« ? " и Л =* —-, т. е. рассматривают отклонение не в одну, а в разные стороны. 42
------------ page 43 --------------
  2. Граничный случай (h = k).
  В этом случае корни характеристического уравнения будут вещественными и кратными
  ai = а2==5 — Л- Общее решение уравнения имеет вид
  = 0-м
  х== е
  (C}+C2t),
  (2.18)
  где Ci и С2 — постоянные интегрирования.
  Пусть начальные условия будут х — х0у ± = хо при / = 0.
  Подставляя эти начальные условия в решение (2.18) и в выражение для скорости
  х = - he-ht (С, + СЛ) + C2e-ht,
  получим уравнения для определения С\ и С2:
  откуда
  Таким образом, для заданных начальных условий уравнение движения точки запишется в виде
  x = e-hi[x0 + {x0 + hx0)t]. (2.19)
  Из формулы (2.19) видно, что в рассматриваемом случае движение точки уже не носит колебательного характера, но остается затухающим движением, т. е. х—> () при /-*оо*).
  Такое движение называется апериодическим.
  На рис. 2.7 показаны три графика такого движения, соответствующие различным вариантам начальных условий:
  а) х0>0, *0>0 (рис. 2.7, а),
  б) .v0>0, х0<0, но|*о1>йх0 (рис.* 2.7, б),
  в) *о>0, *0<0, но |?0|<А*о (рис. 2.7, в).
  *) При *->оо первый множитель е-Л'->0, а второй, стоящий в квадратной скобке, стремится к бесконечности. Раскрывая неопределенность (например, по правилу Лопиталя), найдем, что х-+0 при *-^оо.
  43
------------ page 44 --------------
  Отметим, что при дг0 < 0 характер графиков движения не изменится и, например, для начальных условий
  а) х0<0, х0<0,
  б) лг0<0, х0>0, но х0>Н\х0\,
  в) х0<0, х0>0, но х0<л1*о1>
  графики будут зеркальным отображением графиков, представленных на рис. 2.7.
  3. Случай большого сопротивления (h>k).
  Общее решение имеет вид
  х *= С ^+ €&**, (2.20)
  где, как и выше, а, = — А + Vh2 — k2, а2 = — h — Yh2 — k2, причем оба корня отрицательны, а С\ и Сг — постоянные. Определив последние из начальных условий: х = х0, х = х0 при / = 0, найдем:
  х в «2*о-.*о ^ x0-alXo ^ (2 21)
  <х2 — а! а2 — а!
  Это уравнение описывает апериодическое затухающее движение (#->0 при /->оо, так как ai и а2 отрицательна). В зависимости от начальных условий график движения может иметь, любой из трех видов, представленных на рис. 2.7:
  а) *0>0, *0>0,
  б) *0>0, х0<0, но |х0|>|а2|л:0,
  в) лг0>0, л:0<0, но I л:01<I а21х0.
  Задача 12. При наблюдениях колебаний груза весом 3 кГ по виброграмме *) было установлено, что «огибающая» графика затухающих колебаний- имеет вид графика показательной функции (экспоненты), причем за один период амплитуда колебаний уменьшается вдвое. По той же виброграмме определено, что период колебаний равен 0,3 сек. Определить коэффициент- жесткости пружины и коэффициент h силы вязкого сопротивления.
  Для решения задачи служат следующие соотношения:
  ) k2 - h2 am * m
  Подставим в эти формулы числовые данные = 0,30,
  2я _ ,о,з^2> Л-1/^?.
  У k2 - И2
  В этих уравнениях содержатся три неизвестные величины с, k н И. Решая, находим
  с - 2,64 кг/см, h - 2,33 сек, k = 29,3 сект1.
  *) Виброграммой (или осциллограммой) называется полученный в эксперименте график колебаний.
  44
------------ page 45 --------------
  Задача 13. Пользуясь данными предыдущей задачи, определить, во сколько раз следует уменьшить массу груза, чтобы свободное движение системы стало апериодическим.
  Условия задачи будут удовлетворены, если h\ = ku т. е.
  2т
  ;-/*•
  тх
  :-~, M = VTk.
  Сравнивая это с результатом, найденным в предыдущем примере, определяем, что нужно уменьшить массу в
  MiMSr-'"»-
  § 2.4. Свободные колебания при сухом трении
  Для простоты рассуждений рассмотрим движение прикрепленного к пружине тела весом mg по шероховатой горизонтальной плоскости. Совместим начало координат с точкой, соответствующей положению тела при недеформи- рованном состоянии пружины (рис. 2.8).
  Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид
  mx = Fx+Tx
  Рис. 2.8.
  где Fx = — сх — проекция на ось х силы, действующей на точку со стороны пружины {с — коэффициент жесткости пружины), Тх — проекция на ось х силы сухого трения. Сила сухого трения направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела, и по модулю равна fN = fmg, где /
  коэффициент трения.
  Таким образом, окончательно дифференциальное уравнение движения тела распадается на два знакомых нам линейных уравнения:
  или
  mx=-cx + fmg (*<0),
  тх =*- ex- fmg (x>0),
  x + k*x = [g (x<0),
  x + k*x=-fg (*>0),
  (-'¦22) (2.23)
  где по-прежнему k2 — с/т.
  Допустим, что груз смещен от исходного положения вправо на расстояние х0 = а0 и затем свободно, без начальной скорости, отпущен. Тогда движение начнется при следующих условиях:
  * = я0>0, л: = 0 при / = 0.
  Предполагается, что в указанном смещенном положении восстанавливающая сила больше силы трения, т. е. са0> fmg или а0> fg/k2. При нарушении этого условия движение не начнется. Для интегрирования уравнения (2 22) введем новую переменную: '
  1-x-JjL
  Тогда
  k2 • 1 + ЛЧ-0.
  45
------------ page 46 --------------
  Общее решение этого уравнения имеет вид
  I = a sin (/?/ + е), т. е.
  * = asin(fc/ + e) +-j?, (2.24)
  где а и е — постоянные интегрирования. Для их определения воспользуемся приведенными начальными условиями, тогда получим
  fg я
  Следовательно, груз будет совершать гармонические колебания
  х = \а0 - -^f) cos ft + if-. (2.25)
  Однако это справедливо лишь до тех пор, пока скорость
  i=-(a0--j^)*sinfc/ (2.26)
  остается отрицательной, т. е. до момента t\ = n/k.
  При этом значение х, соответствующее крайнему левому положению, равно
  Амплитуда а{ = —Х\ первого отклонения влево определяется равенством
  01 = Яо "-
  2/g Л2
  В рассмотренном интервале времени тело совершит половину колебательного, цикла относительно среднего положения fg/k2.
  Дальнейшее (обратное) движение возможно, если
  Допустим, что это условие соблюдается: тогда начнется движение вправо при новых начальных условиях
  х = Х\ = — аь х = 0 при t = 0.
  Дифференциальное уравнение движения на этом участке имеет вид
  х + k2x = - fg. (2.27)
  Решение дифференциального уравнения (2.27) при указанных начальных условиях запишется следующим образом:
  x=-(ul ~"S")cos/?/-ft-' (2'28)
  i=Lj -^ksinkt (*>0).
  В конце второго участка движения х = 0, откуда следует, что промежуток времени, в течение которого происходит движение во втором этапе, равен t2 = n/k, т. е. t2 = t\.
  Подставляя значение / = /2 в уравнение (2.28), получим наибольшее отклонение в конце второго этапа:
  46
------------ page 47 --------------
  Если при этом а2>-Щ-* то вновь начнется движение влево. Здесь нужно
  снова обратиться к дифференциальному уравнению (2.22) и решать его при следующих начальных условиях:
  х*=а2, л=0 при / = 0.
  Понятно, что при этом вновь приходим к уравнениям (2.24) — (2.26), в которых а0 следует заменить на а2. Легко заметить, что за каждый полупериод максимальное отклонение тела от начала координат уменьшается на величину, равную 2fg/k2r причем длительность каждого полупериода равна n/k.
  Имея в виду сказанное, можно записать следующую последовательность максимальных отклонений через каждый полупериод:
  at « а0 -
  а2
  2fe
  2/g
  k2
  аъ~ а2-
  2fe k2
  2fe
  Складывая почленно все равенства, найдем
  an = До ~
  2fgn k2
  Таким образом, при сухом трении последовательные амплитуды колебаний убывают по закону арифметической прогрессии, разность которой равна 2fg/k2\ период затухающих колебаний при сухом трении равен периоду незатухающих колебаний 2n/k. Напомним, что при вязком трении амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии, а период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний.
  Колебания будут происходить до тех пор, пока сила упругости сап в одном из крайних положений не сделается меньше силы трения fmg:
  can<fmg или
  Ы
  ап<-
  к2'
  Пользуясь выражением для ап> лучим
  а0 = х0<(2п+\)
  k2 '
  Рис. 2.9.
  Это неравенство может служить для определения числа полуколебаний до остановки груза, или начального отклонения х0 по известному числу полуколебаний п.
  На рис. 2.9 построен график колебаний. Параллельно оси времени проведены две прямые х = fg/k2 = Ь и х = — fg/k2 = —Ь. Около верхней прямой располагаются косинусоиды, соответствующие движению влево (нечетные полупериоды), а около нижней прямой — косинусоиды, соответствующие дви* жению вправо (четные полупериоды). Если какой-либо полупериод заканчи* вается в полосе, расположенной между двумя прямыми, то движение прекращается; эта полоса называется зоной застоя. «Огибающие» графика движения имеют вид наклонных прямых.
  47
------------ page 48 --------------
  Задача 14. В системе, изображенной на рис. 2.8, коэффициент жесткости пружины с « 2 кг/см, вес груза 3 кГ и коэффициент сухого трения / = 0,1. Какому условию должно удовлетворять начальное отклонение х0 груза, чтобы до полной остановки он совершил не более 10 полных колебаний?
  По условию задачи должно выполняться неравенство
  *0< (2/t+l) if-,
  где п — число полупериодов. Подставляя сюда п = 20,
  kx « —- — • 981 -654 сек-2, т о
  получаем
  ^ 41/g 41-0,1.981 ft|K
  § 2.5. Вынужденные колебания
  Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и внешней возмущающей силы. Возмущающая сила может быть произвольной функцией времени, однако мы ограничимся простейшим, но практически весьма важным случаем, когда сила изменяется по гармоническому закону. Пусть проекция возмущающей силы на ось х равна Н sin (pt + 6), где Н — амплитуда и р — частота возмущающей силы, 6 — начальная фаза. Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль оси х имеет вид
  тх = — сх + Н sin (pt Н- 6) или
  х + k2x = #o sin (pt + 6), (2.29)
  где
  m u m
  Решив дифференциальное уравнение (2.29), мы определим закон движения материальной точки. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.29) равно сумме решений: частного решения уравнения (2.29) и общего решения однородного уравнения
  х + k2x = 0. Общее решение последнего уравнения мы уже знаем: хх = as\n(kt + е),
  где а и е — постоянные интегрирования. Если р ф kt то частное решение уравнения (2.29) будем искать в виде
  х2 = A* sin [pt + 6),
  48
------------ page 49 --------------
  где А* — неизвестная постоянная. Для ее определения подставим выражения х2 и х2 =—A*p2s\n(pt -f 6) в уравнение (2.29):
  - А*р2 sin (pt + 6) + A*k2 sin (pt + 6)« #0 sin (p/ + 6)
  или
  Л* (А2 - /72) sin {pt + 6) = Я 0 sin (/>/ + 6).
  Для тождественного выполнения этого равенства должно быть
  /Г =
  Но
  k2-p2'
  Частное решение имеет вид
  *2=*rr^sin(pH-6). (2.30)
  Следовательно, общее решение уравнения (2.29) запишется в форме
  х = a sin (kt + е) + -тт^Ч sin (p/ + 6). (2.31)
  Постоянные а и е зависят от начальных условий. Таким образом, искомое движение материальной точки является суммой гармонических колебаний, происходящих с собственной частотой ?, и гармонических колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы р. Подробно исследуем второе слагаемое в (2.31), описывающее чисто вынужденные колебания и не зависящее от начальных условий.
  Амплитуда чисто вынужденных колебаний равна
  "о
  (2.32)
  "" |Ла-р*| •
  Перепишем решение (2.30), используя формулу (2.32):
  х2 — A sin (pt + 6) (k > р),
  х2 = — A sin (pt + 6)= A sin(/?/ + 6 — я) (k<p).
  Из полученных соотношений следует, что при р < k фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы; при р > k вынужденные колебания отстают по фазе от возмущающей силы на л.
  Проследим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения частот p/k. Для этого преобразуем выражение амплитуды вынужденных колебаний
  А =
  Н хст
  Т k2\ k2
  (2.33)
  49
------------ page 50 --------------
  где jcct = И/с — величина статического отклонения точки от по* ложения равновесия при действии силы, равной максимальному значению возмущающей силы. Обозначим:
  ^":
  1—?г
  k2
  Величина ц представляет собой коэффициент динамичности; он показывает, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. Из графика (рис. 2.10) видно, что при
  p/k-+\ коэффициент динамичности резко возрастет.
  Вернемся теперь к общему решению (2.31). Записав его в виде
  х = С, cos kt -Ь С2 sin kt +
  + l^sin(p* + 6), (2.34)
  определим постоянные интегрирования, если х = хо, х = io при t = 0.
  Подставив начальные условия в уравнение (2.34) и в выражение для скорости движения
  Рис. 2.10.
  х = - kCx sin kt + kC2 cos kt + J"\ cos (pt + 6)
  k2-p2
  получим
  C\ — X(\ —
  #0
  sind, C2 = ^-^-
  #0
  •cos 6.
  Подставляя С| и С2 в соотношение (2.34), будем иметь х = xQcoskt + ^- sin kt - -tfZ-tf (sin 6 cos ?/ + -f-cos б sin &/) -f
  #o
  ?2-p5
  sin(/rt + 6). (2.35)
  Такая запись решения позволяет установить, что даже при нулевых начальных условиях (х0 = О, хо = 0) точка будет совершать колебания, происходящие с собственной частотой; они
  определяются членом — #0(?2 — р2)"1 (sin 6 cos kt + -^ cos6 sin kt)9
  причем амплитуда этих колебаний не зависит от начальных условий. При частоте р, близкой к собственной частоте ky благодаря наложению колебаний наступает своеобразное явление, называемое биением.
  50
------------ page 51 --------------
  Пусть p/k « 1, тогда выражение (2.35) при х0 ~ О и хо = О примет вид (приближенное полагаем /?/& = 1, но /г2 — р2Ф0)
  х ^ ^° 2 [sin (р/ + 6) - sin (kt + 6)] или
  а: ^ 2 р^-х sin -^~ t cos (р/ + 6). (2.36)
  График этого движения представлен на рис. 2.11.
  Показанные здесь биения представляют собой колебания, происходящие с частотой р возмущающей силы, причем амплитуда этих колебаний медленно меняется, следуя также периодическому закону.
  р-к
  Рис. 2.11.
  Рассмотрим теперь случай, когда собственная частота совладает с частотой возмущающей силы, ъ е. р = k. Частное решение уравнения (2.29) в этом случае нужно искать в виде
  х2 = At sin (pt + у). (2.37)
  Подставляя (2.37) в дифференциальное уравнение (2.29), приходим к соотношениям
  2Ар cos (у ~ 6) = 0, - 2Ар sin (у - 6) = Н0, откуда
  ЛИа с , Я
  = --#> v-e+T
  и, следовательно,
  ж= - ZjLsin(pt+b + f) = - ^-cos{pt + 6). Общее решение имеет вид
  х = a sin (pt + е) —~~ cos (P' + *)• При начальных условиях дс = Л'0, х = х0 имеем *)
  х = ,v0cos pt + -y sin p/ + -^2" [cos б sin pt — p/ cos (pt + 6)]. (2.38)
  *) Это решение можно получить из (2.35), раскрывая неопределенность, которая возникает при p-+k.
  51
------------ page 52 --------------
  На рис. 2.12 показан график этого движения (при х0 = О, хо = 0). Как видно, при k = /? происходит неограниченное возрастание амплитуды колебаний, причем рост амплитуды линеен во времени. Это явление носит название резонанса.
  Задача 15. Груз М веса Р прикреплен к нижнему концу В вертикально расположенной пружины, жесткость которой равна с, а длина в ненапряженном состоянии /0. Верхний конец пружины А перемещают по закону a sin pt в вертикальном направлении (рис. 2.13).
  Определить вынужденные колебания груза Af, приняв Р«0,4 кГ, с = 0,04 кГ/см, /0 = 30 см, j \asmpt р = 7 сек~1, о = 2 см. Выберем начало координат л \
  в точке О и проведем ось х вертикально вниз. Если /0 — длина пружины в ненапряженном состоянии, то удлинение пружины равно х — a sin pt — /0 и, следовательно, сила, действующая на груз со стороны пружины, равна
  Fx = — с (х — a sin pt — /0).
  Дифференциальное уравнение движения имеет вид
  — х = — с (х — a sin pt — /0) + Р
  или
  где
  х + k2x = g + #0 sin pt +
  dog
  k2 =
  P '
  #0
  cag P
  Введем новую переменную z согласно равенству z = x— (Plc + k);
  тогда дифференциальное уравнение движения преобразуется к следующей форме:
  z + k2z = H0 sin pt.
  Введение новой переменной z равносильно переносу начала координат в положение равновесия груза. Вынужденные колебания груза определяются формулой (2.30)
  52
------------ page 53 --------------
  Подставляя сюда числовые значения параметров, получим
  г = 4 sin 7/ см.
  Так как х = г + Р/с + /, то
  jc = (4 sin 7* + 40) см.
  В этом случае амплитуда колебаний груза (4 см) вдвое больше амплитуды колебаний точки подвеса пружины. Заметим, что груз колеблется около среднего положения, удаленного от верхнего конца пружины на 40 см\ этому положению соответствует состояние равновесия груза.
  § 2.6. Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления
  Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси х под действием линейной восстанавливающей силы, вязкой силы сопротивления и возмущающей силы, проекция которой на ось х равна Hs\n(pt + 6).
  Дифференциальное уравнение движения имеет вид
  тх = — сх — ЪхЛ- Нsin(pt + 6). Положив с/т = k2, b/m — 2ft, Hjm = #0, получим
  x + 2hx + ?2x = H0 sin (p* + 6). (2.39)
  Решение дифференциального уравнения (2.39) складывается из двух решений: общего решения Х\ соответствующего однородного уравнения и частного решения х2 уравнения (2.39).
  Как показано в § 2.3, при k > ft решение однородного уравнения записывается в виде
  х{ = e~hi (Сх sin k*t + С2 cos k*t),
  где Си С2— постоянные интегрирования, a k* = Yk2 — fi2. Частное решение уравнения (2.39) будем искать в виде
  *2 = A sin(p/ + v), (2.40)
  где А и у — неопределенные постоянные величины. Таким образом, мы предполагаем, что частное решение описывает колебания постоянной амплитуды, происходящие с частотой возмущающей силы. Находя х2 и х2
  х2 = рА cos (pt + y), x2 = — р2А sin (pt + у)
  и подставляя значения хъ хъ х2 в уравнение *(2.39), получим
  -р2А sin(pt + y)+2hpA cos(p/+y) + k2A s\n(pt+y) = H0sm (p/+d).
  Положив р/ + y = Ф и воспользовавшись соотношением
  sin (pt + 6) = sin (<p + 6 — y) = sin ф cos (6 — y) + cos qp sin (6 — y)>
  53
------------ page 54 --------------
  для определения А и у будем иметь следующие уравнения: A (k2 - р2) - Н0 cos (6 - y), 2рАЛ - Н0 sin (6 - y),
  откуда
  л =...
  V(k2-p2)2 + 4h2p2
  Л = ,,. Н° ... . > (2.41
  tg(6-Y) = ^. (2.42
  Подставив найденные значения А и у в частное решение получим
  х2=-7= Н° sin (р/+ 6 +у'),
  2 /(Л2 - р2)2 + 4Л2р2 ^
  где
  Y'-Y-6.
  Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.39) имеет следующий вид:
  х = в-« (С, sin « + С2 cos «) + у *; + 4жу sin {pt + 6 + y').
  (2.43)
  Для определения закона движения материальной точки нужно найти постоянные Сь С2. Пользуясь начальными условиями х = *о, * = *о при f = 0, получим значения постоянных
  ci = "F 1*о -г Лдг0 - АЛ sin (6 + y') - Ар cos (б + y')L
  С2 = xQ - Л sin (6 + y'),
  где Л — амплитуда вынужденных колебаний.
  Подставив значения С\ и С2 в уравнение (2.43), найдем закон движения материальной точки в рассматриваемом случае:
  хвв-м^оу0 sink4 + Xqcos^ j_
  e~w {-^ [h sin (6 + y') + P cos (6 + yO] sin k't +
  + A sin (6 + yO cos k*t | + Л sin (p/ + 6 + y').
  Следовательно, движение материальной точки складывается: из свободных затухающих колебаний (первое слагаемое), обусловленных начальными условиями; из затухающих колебаний (второе слагаемое), имеющих собственную частоту, но вызванных действием вынуждающей силы, и чисто вынужденных колебаний (третье слагаемое). Так как первые два движения с течением времени затухают, то основным колебанием, опре-
  54
  - й-м .
------------ page 55 --------------
  деляюшим характер движения материальной точки, являет< чисто вынужденное колебание с амплитудой А и частотой Следует заметить, что при наличии сопротивления вынужде; ные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающе силы на у\
  Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения частот свободных колебаний и возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний равна
  А « Н°
  V(k2 - р2)2 + 4Н2р2 *ст
  /'
  
  
  
  
  /
  .
  //г
  //1
  Лу/*^
  ^^^^^"у» ~^V.
  
  Линия максимумов
  К А
  v\ A
  VC А
  \Ч 4
  vN>CA
  ^Sgs^
  V \ k2)k2k2
  (2.44)
  Рис. 2.14.
  Где Хст = Ho/k2 = Н/с представляет собой статическое переме щение, вызываемое постоянной силой Н.
  Динамический эффект, вызываемый возмущающей силой можно охарактеризовать коэффициентом динамичности
  А
  V \ k2)+k2 k2
  (2.45
  На рис. 2.14 показаны кривые, определяющие зависимое™ коэффициента динамичности от отношения частот p/k = z. Каждой из кривых соответствует определенное значение отношения ft/ft = р.
  Исследуем более детально зависимость коэффициента динамичности ц от отношения частот z «= pjk и безразмерного коэффициента вязкости р
  I
  У(1-.г2)2 + 4р2г2
  Найдем экстремумы функции
  */ = (1-г2)2 + 4р2г2.
  Приравняем для этого нулю производную
  #' = 2(1 -г2)(-2г)+8р22 = 0 и найдем критические точки
  2,-0, г2 = |/1-2р2, Za--VT=W
  (2.46)
  (2.47) (2.48>
  55.
------------ page 56 --------------
  Ясно, что корень г3 должен быть отброшен, так как z ^ О, а г3 этому условию не удовлетворяет. Определим знак второй производной у" для Z\ = 0:
  0"(О)«4(2Р2~1).
  V*
  Если 2Р2>1 или Р>-Ч~» то #">0.
  Следовательно, при z\ = 0 имеем для «/(г) минимум, а для ц(г) —максимум. Второго экстремума при этих значениях р не существует, так как 1— 2р2 < 0 и г2 становится мнимой величиной. На рис. 2.14 соответствующий график построен для Р = рб.
  V2
  При р<-1-^—, у" < 0 и коэффициент \i имеет минимум.
  На этот раз г2 = ]Л - 2р2 > 0 и здесь ц достигает максимального значения.
  Заметим, что всегда z2 < I и лишь в среде без сопротивления, когда Р = 0, г2 принимает значение г2 =* 1. Ранее было показано, что в этом резонансном случае решение (2.40) не имеет смысла, его надо искать в виде (2.37). График ц(г) при Р «= 0 был изображен уже на рис. 2.11.
  Что касается максимальных ^_ значений коэффициента динамич- У ности, то их легко найдем, подставив г2 в ц(г):
  М-max —
  1
  2р У 1 - Р*
  (2.49)
  Штриховая кривая на рис. 2.14 проходит через точки максимума. При р = ]А2/2 имеем цтах « 1.
  Задача 16. Под двигатель В (рис. 2.15) требуется подвести фундамент. Необходимо определить такую толщину кладки а, чтобы коэффициент динамичности не превышал единицы для всех частот вынужденных колебаний, передаваемых от двигателя фундаменту. Сопротивление грунта можно схематизировать как реакцию упругих сил F и вязких сил R, вызванных внутренними силами сопротивления. Отнесенные к единице площади фундамента, коэффициенты жесткости и вязкости соответственно равны с = 2000 i/м3 и b = 60 т сек/м3. Плотность фундамента р =» 0,25 т сек2/мА.
  Введем систему координат хОу, выбрав ее начало О в положении равновесия центра тяжести фундамента.
  Обозначим через S площадь основания и представим проекцию вынуждающей силы Q на ось х в виде Qx — Н sin pt. Тогда уравнение движения
  mw=F+R+Q+mg в проекции на ось х дает
  aSpx = - cS (x + Я0) - bSx + aSpg + И sin pt.
  Здесь мы воспользовались очевидными равенствами
  m = aSp, Fx= - cS(x + Я0), Rx = - bSx, где l0 — статическая осадка фундамента. 56
------------ page 57 --------------
  Приведем уравнение движения к нормальному виду. Для этого разделим его на aSp и воспользуемся равенством aSpg = сЯ0:
  -^ ь • . с Н • ,
  ар ар aSp
  Сравнивая с уравнением (2.39), найдем
  2ар ар
  Следовательно, безразмерный коэффициент вязкости равен
  р_ h Ь
  k iVapc
  Коэффициент динамичности ц при всех частотах р не будет превосходить единицы, если потребовать, чтобы кривая \i(z) не имела максимума при г2 = V^l — Р2, т. е. имела вид кривой рб на рис. 2.14. Следовательно, должно выполняться неравенство р^]^2/2 или
  Ь > V2 ^
  2 У аре
  Отсюда получим толщину кладки а:
  2рс Подставляя в это неравенство данные числовые значения параметров, получим
  ^ 3600
  Л^ 2.0,25-2000 -***•
------------ page 58 --------------
  ГЛАВА III
  ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
  § 3.1. Теорема об изменении количества движения материальной точки
  При интегрировании дифференциальных уравнений движения в конкретных задачах эти уравнения подвергаются различным однотипным преобразованиям, зависящим от характера действующих сил. Поэтому целесообразно проделать такие преобразования в общем виде. Общие теоремы динамики точки и представляют собой преобразования дифференциальных уравнений движения, причем в различных теоремах выделены и связаны между собой те или иные характеристики движений. В результате получаются удобные зависимости, широко используемые для решения конкретных задач динамики.
  Заметим, что в основном уравнении динамики
  mw = F (3.1)
  масса материальной точки — величина постоянная и что гг; = -Цт-. Это позволяет переписать уравнение (3.1) в виде
  откуда следует, что
  d(tnv) = Fdt. (3.2)
  Вектор Q = tnv, равный произведению массы точки на ее скорость, называется количеством движения материальной точки.
  Произведение силы на элементарный промежуток времени ее действия, т. е. Fdl, называется элементарным импульсом силы.
  Уравнение (3.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:
  58
------------ page 59 --------------
  элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке.
  Рассмотрим теперь движение материальной точки на конечном промежутке времени. Пусть в момент / = О скорость точки равна vQ, а в момент t равна v. Тогда, интегрируя уравнение (3.2), можно записать:
  t mv
  -ш0= J F dt. (3.3)
  о
  Интеграл, входящий в правую часть этого соотношения, называется импульсом силы за промежуток времени [0, /]. Таким образом,
  изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной в точке, за тот же промежуток времени.
  Если воспользоваться декартовой системой координат, то будем иметь
  r = xi + yj + zk, v = xi+yj + zk, F = Fxi + Fyj + Fzk,
  где x, у, z — координаты точки, x, у, z — компоненты ее скорости, Fx, Fy, Fz — проекции силы, а г, /, k — единичные векторы осей координат. Тогда, проектируя векторное равенство (3.3) на оси декартовой системы координат, получим три скалярных соотношения:
  * t t
  mx — mx0 = \ Fx dt, тУ — тУо= J Fy dt, mz — mzQ = j Fz dt. (3.4)
  0 0 0
  Здесь, как и ранее, х, у, z — проекции скорости материальной точки на оси координат в момент времени /, х0, #о> Zo — Te же проекции в момент / = 0, Fx, Fy, Fz — проекции силы F.
  Как отмечалось в § 1.2, в общем случае F может быть функцией координат точки, ее скорости и времени, т. е.
  F = F{x, у, z, х, у, z, t)
  и, следовательно, проекции силы также являются функциями этих величин:
  Fx = Fx (x, у, z, х, у, z, t),
  Fy = Fy (х, у, z, х, у, z, /),
  Fz = F2(x, у, z, х, у, z, t).
  Поэтому для фактического вычисления интегралов, стоящих в правых частях уравнений (3.4), нужно знать координаты материальной точки как функции времени. Но определение х, у и z как функций времени и есть то, к чему мы стремимся, решая вторую задачу динамики. Если эти функции откуда-либо
  59
------------ page 60 --------------
  известны, то отпадает необходимость пользоваться уравнениями (3.4). Таким образом, в общем случае теорема об изменении количества движения новых возможностей для решения задачи не открывает.
  Однако, если сила является функцией только времени, интегралы в правых частях уравнений (3.4) могут быть вычислены и можно получить первые интегралы уравнений движения:
  тх - тх0 = Ф, (0, ту-ту0 = Ф2У), тг - mz0 = Ф3(*), (3.5)
  где
  t t t
  <t>{(t)=JFxdt, <^2(t)=\Fydt, <b3(t)=JF,dt
  0 0 0
  — проекции импульса силы на оси координат.
  Дальнейшее интегрирование также не представляет принципиальных трудностей:
  t t
  о о
  t
  о
  Здесь х0, y0t z0 — начальные значения координат в момент времени / = 0.
  Если сила постоянна, т. е. FX = AU Fy = A2, FZ = A3 (Ль Л2» Л3 —постоянные величины), то
  тх — mxo — Ait, ту — myQ — A2tt mz — mz0 = A3t и
  x = x0 + x0t + -^- , у = y0 + у 4 + -ф^-, z = zQ + zQt + -^-.
  В частном случае при у0 = г0 = 0, Л2 = Л3 = 0 будем иметь
  тх — тх0 = А^ (3.6)
  и
  Att2
  т. е. материальная точка совершает равноускоренное прямолинейное движение вдоль оси х.
  Задача 17. Определить промежуток времени Г, необходимый для того, чтобы материальная точка веса Я, движущаяся по горизонтальной прямой под действием постоянной силы Ft увеличила свою начальную скорость v0 в п раз.
  60
------------ page 61 --------------
  Примем прямую, вдоль которой движется точка, за ось х\ тогда на основании (3.6) имеем
  р — (nv0 - v0) « FT,
  откуда.
  (я-0-
  Fg
  § 3.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
  Вновь вернемся к основному уравнению динамики (3.1) и умножим его векторно слева на радиус-вектор точки г:
  rXmw = rXF. (3.8)
  Принимая во внимание, что «> = -—, преобразуем левую часть этого уравнения следующим образом:
  г X mw = г X т -^г = -^- (г X mv) - ^ X mv.
  dt
  dt
  dr
  Ho -ti = v и векторное произведение параллельных векторов
  v X mv равно нулю. Поэтому г X ш = -^-(гХ mv) и уравнение (3.8) можно записать в виде
  -%r(rXmv) = rXF.
  dt
  (3.9)
  Вектор Ко = т X mv называется моментом количества движения материальной точки относительно начала координат. Вектор Mq = г X F нам известен из курса статики и представляет собой момент силы, приложенной к точке, относительно начала координат.
  Таким образом,
  dK^~™ (3.10)
  dt
  — М0.
  Это уравнение выражает собой теорему об изменении момента количества движения материальной точки:
  производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.
  Векторное уравнение (3.10) эквивалентно трем скалярным равенствам.
  Записывая векторные произведения в виде определителей третьего порядка, вместо (3.10) получаем
  61
  
  d dt
  
  i j k
  x у z
  mx my mz
  
  =
  
  i
  X
  Fx
  i k
  у *
  Fy F2
------------ page 62 --------------
  откуда
  т-й№- *У) = yFz - *Fy,
  m -—- (zx — xz) = zFx — xFz, m ~li (ХУ ~~ У® ~ xfy "" #F*'
  (3.11>
  Полученный результат можно сформулировать следующим образом: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же самой оси.
  Как видно из уравнений (3.11), при их интегрировании необходимо вычисление интегралов от правых частей. Однако вычисление этих интегралов возможно только тогда, когда х, у и z известны как функции времени, но тогда отпадает вообще надобность в применении равенств (3.11).
  Тем не менее существуют случаи, когда теорема об изменении момента количества движения дает возможность эффективно решать задачи динамики.
  К ним относится прежде всего случай действия центральной силы. Этим термином мы будем пользоваться применительно к любой силе, линия действия которой проходит через некоторую фиксированную точку пространства*). Так, например, при изучении движения Земли в Солнечной системе на Землю действует сила притяжения Солнца, все время направленная к центру Солнца.
  Изучим действие центральной силы. Момент силы относительно точки, через которую проходит линия действия, тождественно равен нулю. Следовательно, согласно равенству (3.11) момент количества движения материальной точки относительно полюса является постоянной величиной
  К0 = г X mv = const. (3.12)
  Таким образом, мы получим сразу три первых интеграла движения:
  m(yz-zy) = cu 1
  m {zx — xz) = c2, | (3.13)
  т(ху-ух) = сг. )
  На основании этих результатов можно сделать некоторые общие выводы о характере движения материальной точки.
  *) В § 3.5 будет дано несколько более узкое определение центральной силы.
  62
------------ page 63 --------------
  Для этой цели введем понятие секторной скорости. Секторная скорость вводится как вектор, характеризующий быстроту изменения площади поверхности, описываемой радиусом-вектором.
  Пусть в момент времени / материальная точка находится в точке А траектории, а в момент времени / 4-Д* — в точке А\ (рис. 3.1). Площадь Да треугольника ОАА\ равна половине модуля векторного произведения радиуса-вектора г на вектор перемещения Дг = r(t + Д/) — r(t), т. е.
  Да-у|гх Дг|.
  Разделив обе части этого соотношения на Д/ и переходя к пределу при Д/—*0, получим
  q- Ит 4т-= \\m±.\rx^-\ = ±\rxv\,
  Д*->0
  М
  М
  (3.14)
  Дг
  так как lim-тт- = я —скорость точки в момент времени t.
  At-Ю
  At
  Формула (3.14) определяет модуль секторной скорости. Заметим, что величина секторной скорости может быть вычислена как площадь треугольника, построенного на векторах г и v. За направление вектора секторной скорости примем направление векторного произведения радиуса-вектора на скорость точки. Тогда вектор секторной скорости равен
  ? = у(гхг>), (3.15)
  т. е. секторная скорость х равна половине векторного произведения радиуса-вектора точки на ее скорость.
  Сравнивая (3.15) с основным выражением для Ко = г X mvy можем написать интеграл (3.12) в следующей форме:
  Рис. 3.1.
  К0 = 2mq = const.
  (3.16)
  Следовательно, в случае действия центральной силы секторная скорость точки есть постоянная величина, т. е. радиус-вектор точки описывает равные площади в люб&е одинаковые промежутки времени. Этот результат называется законом площадей. Но, кроме того, из (3.16) следует, что траектория точки является плоской кривой. В самом деле, вектор q сохраняет постоянное направление в пространстве, поэтому на основании
  63
------------ page 64 --------------
  формулы (3.15) радиус-вектор г будет все время расположен в плоскости, перпендикулярной к вектору q, т. е. траектория точки лежит в этой плоскости*).
  Примем теперь плоскость, в которой расположена траектория точки, за плоскость хОу\ тогда вместо векторного равенства (3.16) получим скалярное соотношение
  2mqz = т (ху — ух) = const или
  <1z = j(xy-ух) = Const
  Переходя к полярным координатам
  x = rcos<p, r/ = rsin<p, имеем
  х = г cos <р — гф sin <p, у = г sin <р + гф cos ф.
  Подставляя эти выражения в соотношение (3.17), находим
  (3.17)
  — г2ф = const = с.
  (3.18)
  Задача 18. Траектория наиболее удаленной от Солнца планеты Плутон имеет вид эллипса, причем расстояние от Солнца до Плутона меняется от 4,46 • 109 км до 7,40 «109 км (рис. 3.2). Определить отношение между максимальной и минимальной скоростью Плутона.
  Секторные скорости точки, движущейся по эллипсу, в моменты прохождения через положения максимального и минимального удаления одинаковы:
  1 1
  Vm
  9 ^max^mln —«" ^mln^max*
  Следовательно, искомое отношение составляет
  0max • 0т1п e f*max • f*m!n>
  Рис. 3.2.
  Отах : Vmin e 7,4 \ 4,46 - 1,66.
  Задача 19. Шарик, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью и в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно /?, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v0 (рис. 3.3).
  *) Возможно и другое доказательство. Умножим обе части каждого из уравнений (3.13) на х, у% z и сложим. В результате получим
  схх + с2у + c$z » 0.
  Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно, траектория есть плоская кривая.
  64
------------ page 65 --------------
  На шарик действует сила, направленная вдоль нити. Так как эта сила центральная, то момент количества движения шарика относительно точки О является постоянной величиной и справедливо соотношение (3.18).
  Постоянную с найдем из начальных условий: при / «= 0 г * /?, ф=г v0/R. Подставляя эти выражения в (3.18), находим
  'оФо - "о*-
  Таким образом, для всего последующего процесса движения имеем
  г2ф = RvQ.
  По условию задачи скорость, с которой втягивается нить, равна и, откуда следует, что г = —и. Приняв во внимание начальные условия, после интегрирования получим
  г = R - ut.
  Тогда уравнение для определения ф примет вид
  rf<p _ RvQ dt (R - ut)2 '
  Интегрируя и имея в виду, что ср = О при / = 0, находим
  Чтобы построить траекторию шарика, исключим из уравнений для г и ф время г; тогда получим величину радиуса-вектора г в функции полярного угла ф:
  в «Ф + vQ *
  Траектория шарика представляет собой свертывающуюся спираль. С приближением шарика к началу координат угол ф растет все быстрее и быстрее, т. е. скорость вращения радиуса-вектора возрастает. При t-+R/u эта скорость стремится к бесконечности.
  § 3.3. Работа силы. Мощность
  Перейдем к важному для механики понятию работы. С его помощью мы получим еще одну весьма полезную общую теорему динамики точки.
  В элементарном курсе физики
  понятие работы постоянной силы п _ ^ , >
  на прямолинейном перемещении ' с ^ ~
  точки вводится следующим путем.
  Пусть точка М движется вдоль прямой ВС и F — некоторая постоянная по направлению Рис. 3.4. и величине сила, приложенная
  к точке (рис. 3.4). Угол между направлением ВС и F обозначим через а. Вектор перемещения точки на участке MiM2 обозначим через s. Заметим, что
  5 = ДГ = Г2 — Гх.
  3 Н. В. Бутенин и др., т. 2 65
------------ page 66 --------------
  Тогда работой силы F на перемещении s = Аг называют произведение модуля силы на величину перемещения и на косинус угла а между ними:
  ^12 = F5Cosa = /7|Ar|cosa. (3.19)
  Конечно, тот же результат получится, если определить работу как скалярное произведение векторов
  А12 = F • Аг = Fx Ах + Fy Ay + Fz Az, (3.20)
  где Fx, Fy, Fz — проекции силы на оси координат х, у, z, а Ах Ауу Az— проекции вектора перемещения Лг на те же оси.
  Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж = 1 нм), а в технической системе — 1 кГм.
  Обобщим понятие работы на случай, когда сила переменная, а траектория точки — криволинейная. Разобьем конечный участок траектории /—// (рис. 3.5) на п дуг и впишем в кривую // п ломаную. Пронумеруем точки деления, обо- Рис. 3.5. значив начальную номером 1, а ко
  нечную— п Н- 1. Приближенно работу силы F на участке дуги между k-й и k+ 1-й точками деления можно считать равной Fk-Arkl где Fh — значение силы в начальной точке дуги, а Агь. = Ги+\ — rk — вектор, соединяющий начальную и конечную точки дуги.
  Приближенно работа силы F по всему криволинейному пути может быть определена как сумма
  k=i или в скалярной форме:
  Afu = 2 (Fkx b*k + Fky Ayk + Fkz Azk). (3.21)
  Следует заметить, что величина Ant зависит от числа разбиений дуги /—// на участки и от выбора точек деления. Для строгого определения понятия работы необходимо в равенстве (3.21) осуществить предельный переход, устремляя число п к бесконечности и длину каждой из дуг к нулю.
  Естественно дать следующее определение работы.
  Работой силы F при движении точки по криволинейному участку траектории Uu называется предел величины Af\i при
  66
------------ page 67 --------------
  неограниченном увеличении числа звеньев ломаной и стремлении их длин к нулю
  п
  A,„ = l\m ^(FkxAxk + Fky\yk + Fk2Azk). (3.22)
  /1->оо k=l
  Методы вычисления этого предела могут быть различны.
  Возможны такие силы, которые зависят только от координат точки (гравитационная сила, восстанавливающая сила пружины и др.). Тогда предел интегральной суммы (3.22) называется криволинейным интегралом по кривой // 7/ и работу можно записать в виде
  Ai и = \ Fx (х, у, z) dx + Fу (х, уу z) dy + Fz (*, t/, г) dz. (3.23)
  Величина криволинейного интеграла (3.23), вообще говоря, зависит от пути интегрирования // ц. Однако возможен еще более частный случай зависимости силы от координат, когда работа не зависит от формы траектории точки, а зависит только от координат начала и конца дуги /j n. Подобные силы будут изучаться в § 3.5.
  В общем же случае проекции силы FXy Fyy Fz зависят не только от координат точки, но и от их производных по времени, а также от времени. Примерами таких сил, для которых работа не может быть вычислена через криволинейный интеграл, являются силы вязкого сопротивления R = —bv и силы, зависящие только от времени F = F(t).
  Для того чтобы вычислить предел (3.22) в общем случае, необходимо знать закон движения точки
  * = *('), y = y{t)> z = z(t). (3.24)
  Предположим, что закон движения точки дан. Тогда, заменяя в (3.22) проекции силы FXy Fy> Fz известными функциями времени, а приращения Ах, A//, Az через xAt, у A/, z /Si соответственно, придем к определенному интегралу
  '//
  Ai и = J [Fx (t) x (t) + Fy (t) у (t) + Fz (t) z (/)] dt9 (3.25/
  U
  в котором пределы интегрирования ti и tu представляют собой моменты прохождения точки через начало и конец кривой // //. В более краткой записи
  <//
  Л///= J F(t)-v(t)dt. (3.26)
  3* 67
------------ page 68 --------------
  Введем понятие элементарной работы — величины, равной скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки
  d'A = F-dr = Fx dx + Fydy + Fz dz. (3.27)
  Штрих у буквы d ставится для того, чтобы показать, что элементарная работа d'A, вообще говоря, не является полным дифференциалом некоторой функции координат х> у, г. Заметим, что dr = v dt, поэтому
  d'A = F{t).v{t)dt.
  Работа может быть представлена формулой, эквивалентной (3.26):
  '// '//
  Ai п e J F 'dr = J {Fx dx + Fy аУ + Fz dz\ (3-28)
  Как уже отмечалось, для вычисления работы в общем случае необходимо знать закон движения точки.
  Если сила F зависит только от координат, то для вычисления работы можно и не знать закона движения точки, достаточно иметь только уравнение траектории в параметрической форме:
  x = x{s), y = y(s), z = z(s). Параметром s может служить, например, дуга s, отсчитываемая от точки /. Подставляя координаты в (3.28) и переходя от интегрирования по t к интегрированию по параметру s, получим
  Ai и - J [рх (*) *' (*) + Fу <*) У9 <*> + Fz (*) *' (*)]ds- (3-29)
  Штрихи означают дифференцирование по s.
  В еще более специальном случае работу силы можно вычислить даже без знания траектории. Достаточно задать только начальное и конечное положения материальной точки. Определение работы здесь сводится к вычислению криволинейного интеграла (3.23).
  Перейдем к определению мощности — величины, характеризующей интенсивность совершения работы во времени. Под мощностью силы F понимается скорость изменения работы в данный момент времени:
  Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению силы F на скорость v точки приложения силы. Мощность можно представить в виде ц = ркх + Fyy + Fzz.
  68
------------ page 69 --------------
  Теперь под знак интеграла в формулы (3.25) и (3.26) можно внести мощность
  '//
  Аш= I NWdL <3-30)
  </
  Если изменение работы происходит равномерно, т. е. мощность постоянна, то А = Nt, и тогда
  ».±.
  В этом случае мощность равна количеству работы, произведенной силой в единицу времени (определение, знакомое из курса элементарной физики).
  Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 в=\ дж/сек), а в технической системе—1 кГмсек~К В технике применяются также более крупные единицы мощности: 1 кв = 1000 в и так называемая лошадиная сила (1 л.с.= = 75 кГмсек,-1).
  Отметим одно следствие, вытекающее из определения работы. Предположим, что на точку действуют п сил Fu F2, ..., Fn. Вычислим работу равнодействующей этих сил при перемещении точки по кривой li ц\
  '// '//
  Л///= J R-vdt= j (Fi+F2+ ... +Fn).vdt=* 4 U
  fll tII *ll
  = J F^vdt + | F2-vrf/+ ... + J Fn-vdt. 4 4 4
  Таким образом, работа равнодействующей системы сил равна сумме работ каждой из этих сил.
  В заключение в качестве примера вычисления работы найдем работу постоянной силы F при перемещении точки из некоторого положения, определяемого радиусом-вектором Г\, в положение г2 (рис. 3.6).
  Из (3.26) имеем
  '// <//
  69
------------ page 70 --------------
  Таким образом, для любой постоянной силы имеем
  AIU = F • Ar = /?|Ar|cosa.
  Другими словами, в этом случае работа вычисляется так же, как и при прямолинейном перемещении точки из положения / в положение // при постоянной силе F. В частности, если F— сила тяжести, то
  i47// = P|Ar|cosa= ± РА.
  Здесь h — высота, на которую точка опустилась (в этом случае перед произведением стоит знак плюс) или поднялась (знак минус).
  § 3.4. Теорема об изменении кинетической энергии
  Найдем связь между работой сил, приложенных к материальной точке, и изменением скорости точки. Умножая ска- лярно обе части основного уравнения динамики
  mw = F
  на вектор скорости г>, получим
  mv-w = F.v. (3.31)
  Так как
  dv dv
  то уравнение (3.31) можно переписать в виде
  mvdv = F -vdt (3.32)
  или, так как vdt = dr,
  d(^-} = F-dr. (3.33)
  Правая часть уравнения (3.33) представляет собой элементарную работу силы.
  Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки
  Г = -2~-. (3.34)
  Уравнение (3.33) дает дифференциальную связь между кинетической энергией и элементарной работой: дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе всех действующих на материальную точку сил (дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической энергии).
  Заметим, что после деления равенства (3.33) на dt можно прийти к другой форме этой теоремы
  dt "' 70
------------ page 71 --------------
  Производная по времени от кинетической энергии мате- риальной точки равна мощности действующих на точку сил.
  Пусть точка, перемещаясь по своей траектории, имеет в начальный момент скорость Vi и в конечный момент скорость v2\ тогда, интегрируя равенство (3.32), получим
  2 ''
  -^ ^--)N(t)dt. (3.35)
  и
  Но правая часть выражает работу силы F на всем участке движения. Поэтому
  Г2—Г, —Л121 (3.36)
  т. е. изменение кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ, действующих на точку сил, произведенных за тот же промежуток времени. В этом и состоит теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в конечной форме.
  Применение только что доказанной теоремы требует вычисления работы на конечном участке пути.
  В то же время применение формул (3.25) или (3.26) предполагает, что закон движения материальной точки известен. Конечно, применение теоремы имеет смысл только в тех случаях, когда вычисление работы не связано с предварительным определением закона движения.
  Если силы зависят только от координат точки, то определение работы связано с вычислением криволинейного интеграла (3.23). Теорема об изменении кинетической энергии в этом случае может быть сформулирована так: изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении по траектории равно сумме работ всех сил, действующих на точку при том оке перемещении.
  Однако существует класс сил, для которого вычисление работы не требует определения ни закона движения, ни даже траектории движения точки.
  Перейдем к изучению этого класса сил.
  § 3.5. Силовое поле. Потенциальная энергия
  В этом параграфе рассматриваются силы, которые зависят только от положения материальной точки в пространстве.
  Будем называть силовым полем область пространства, в каждой точке которого на помещенную в нем материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени.
  71
------------ page 72 --------------
  Таким образом, в силовом поле должны быть известны три функции — проекции силы на оси координат:
  Fx = Fx(x, У, г, 0. Fy = Fy(x, у, z, t), F2 = Fz(x, у, z, t).
  Силовое поле называется нестационарным, если проекции силы являются функциями времени, и стационарным, если проекции силы не зависят от времени.
  Будем рассматривать стационарные силовые поля, когда проекции силы являются функциями только координат
  Fх = Fx (х, у, z), Fy = Fy (х, у, z), Fz = Fz (х, у, z). (3.37)
  Среди рассматриваемых здесь сил важное место занимают силы, работа которых не зависит от траектории и закона движения материальной точки и определяется только положением начальной и конечной точек пути.
  Введем понятие консервативного силового поля. Силовое поле называется консервативным, если существует такая функция координат П(х, у, z), называемая потенциальной
  энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:
  дТ1 дх > 611
  Fx =
  *v--
  т=-. (3-38>
  Покажем, что для консер- Рис 3.7. вативных сил работа не зави
  сит от траектории и закона движения точки по траектории, а зависит только от ее начального и конечного положений.
  Заметим, что элементарная работа консервативных сил равна с обратным знаком полному дифференциалу от потенциальной энергии. В самом деле,
  d'A « F - dr = Fx dx + Fydy + Fz dz =
  Предположим, что точка переместилась из положения M\(xuy\,Z\) в положение Л12(*2, У2,г2) (рис. 3.7). Тогда, пользуясь формулой (3.23) для вычисления работы, получим
  Г дП . , дП . , дП ,
  ду
  dz
  (3.40)
  72
------------ page 73 --------------
  Под знаком интеграла стоит полный дифференциал от функции П(х, у, г), поэтому выражение для работы принимает вид
  Л„- - J dn = Il(xlt Уи гх)-Щх29 уъ z2). (3.41)
  in
  Мы доказали, что работа силы в консервативном поле равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках траектории. Следовательно, работа не зависит ни от вида траектории между точками, ни от закона движения по траектории.
  Как видно из формул (3.38) — (3.41), потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого, т. е. при замене П(х, у, z) на П (х, у, г) + С все формулы сохраняют свой вид. Этим обстоятельством можно воспользоваться, задавая в некоторой точке, выбираемой по дополнительным соображениям, нулевое значение потенциальной энергии.
  Если, скажем, в точке М0 (х0, у0, z0) потенциальную энергию принять равной нулю, то для произвольной точки М(х, у, z) из формулы (3.41) следует, что работа при перемещении из Л1 в М0, которую мы обозначим через Дмл/q» равна
  АММь = П(Х> У> 2)-П(*0> yQ9 ZQ) = U(X, у, Z).
  Таким образом, потенциальная энергия в данной точке равна работе, производимой силами поля при перемещении точки из данного положения в некоторое условно принятое по- ложение, в котором она равна нулю.
  Если проекции сил удовлетворяют равенствам (3.38), то работа силы не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения точки. Иногда это свойство независимости работы от траектории принимают за определение консервативных сил. Для того чтобы показать эквивалентность двух определений, необходимо убедиться в справедливости обратного утверждения: если работа зависит только от начального и конечного положения точки, то имеют место равенства (3.38). Другими словами, независимость работы от вида траектории, соединяющей начальное и конечное положение тонки, является необходимым и достаточным условием для консервативности силового поля.
  Зафиксируем некоторую точку поля Mo(x0,y0yzo) и вычислим работу при перемещении из М(х, у, z) в М0:
  Амш = j Fxdx + FyаУ + Fzd* = П(х, у, г).
  ЛШо
  Здесь использовано то обстоятельство, что работа зависит только от координат точки М. Для точки Mi с координатами
  73
------------ page 74 --------------
  х + Ах, у, г (рис. 3.8) имеем AMMt - Амш + АМоМх = Амм§ - AMtM%9 откуда
  х+Ьх
  Аммг в п (*» ^ г) - П (* + Л*> У. «) = J F, (дс, г/, г)dx.
  Отсюда после деления на Ах и перехода к пределу при Дх—*0 получим
  Аналогично получаются и два других равенства (3.38).
  Из независимости работы от траектории следует еще одно свойство консервативности поля: работа по любому замкнутому контуру в консервативном силовом поле равна нулю. В самом деле, работа при перемещении из положения / (рис. 3.9)
  *\
  M(xtyz)
  Ni(x+Ax.y%z)
  •Mo(xo,yo,z0)
  Рис. 3.8.
  V
  Рис. 3.9.
  в положение 2 и из положения 2 в положение / по кривым / и Г в соответствии с формулой (3.41) может быть представлена в виде
  Л12 + Л21 = П(а:1, ;/„ г{)-П(х19 уь z,) = 0,
  что и доказывает утверждение. Имеет место и обратная теорема: если работа по любому замкнутому контуру равна нулю, то силовое поле консервативно. Доказательство ее очевидно.
  По определению, силовое поле консервативно, если выполняются условия (3.38). Отсюда вытекают простые критерии консервативности данного силового поля. Дифференцируя соотношения (3.38), получим
  dFx
  дЧ\
  dFx
  д211
  dFu
  дЧ1
  ду дх ду * dFy дЧ1
  dz ~~ dz ду •
  dz dz дх ' dFz d2U
  дх ~~ dx dz '
  dx dx dy' dFz d2Jl
  dy dy dz
  (3.42)
  74
------------ page 75 --------------
  Отсюда в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования имеем
  dFx OF у OF у OF z dFz dFK
  ду "~ дх * dz ~~ ду * дх ~~ dz
  (3.43)
  Условия (3.43) вытекают из консервативности силового поля и являются необходимыми. Можно доказать и достаточность этих условий для консервативности односвязного силового поля. Критерий (3.43) очень удобен для проверки консервативности данного силового поля.
  Задача 20. Проверить, консервативно ли силовое поле: Fx = *tA Fy = x2y, Fz = z\
  Так как
  dFx dFy dFy dFz dFz dFx
  dy ~~ dx dz ~~ dy ~~ dx ~~ dz "~ *
  то все равенства (3.43) выполняются тождественно, поле консервативно. Задача 21. Проверить консервативность силового поля
  Рх = *2У> Fy = *y2. Fz = z\ Так как
  *** 2 ?*У_ , ду ""*• дх ~У '
  то первое из равенств (3.43) тождественно не выполняется и, следовательно, поле не консервативно.
  Консервативное силовое поле допускает удобную и наглядную геометрическую интерпретацию.
  Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия сохраняет постоянное значение, т. е. П(х, у, г) = С, образует поверхность, которая называется эквипотенциальной поверхностью. Через каждую точку консервативного поля можно провести только одну такую поверхность (рис. 3.10).
  Ясно, что работа сил поля при перемещении материальной точки из начального положения в конечное, когда оба эти положения находятся на одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю, так как
  ли,ЛЬ = и,-п2 = с-с = о.
  Эквипотенциальные поверхности Рис. ЗЛО.
  обладают еще одним интересным
  свойством. Допустим, что материальная точка перемещается вдоль произвольной кривой на эквипотенциальной поверхности, и пусть закон движения точки x = x(t), y = y(t), z = z(t). Тогда для любого момента времени t должно выполняться равенство П [а: (Г), у (t), г (t)] = С.
  75
------------ page 76 --------------
  Продифференцируем обе части этого тождества по t:
  dll dx . dn dy . дП. dz _n дх dt "^ dy dt + дг А ети*
  Согласно (3.38) будем иметь
  Fxx + Fyy + Fzz = 0 или
  F.v = 0.
  Следовательно, в любой момент времени действующая на точку сила перпендикулярна к скорости точки. Но вектор v лежиг всегда в касательной плоскости к эквипотенциальной поверхности, поэтому сила F нормальна к эквипотенциальной поверхности (см. рис. 3.10).
  Введем понятие силовой линии как кривой, в каждой точке которой касательная коллинеарна с силой данного силового поля. Очевидно, что уравнение такой линии может быть записано так:
   ^ = *У ? (зал)
  Fx (х% у, z) Fy (xt у, z) Рг (*, у, z) • ^л*>
  Уравнения (3.44) выражают условия пропорциональности проекций двух векторов: силы F и дифференциала радиуса-вектора силовой линии dr (этот вектор всегда направлен по касательной линии).
  Из уравнений (3.44) следует система двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями у и г:
  dz_ _ Fz (*, у, z) dy _ Fy (x, у, z)
  dx - Fx (x, y> z) • dx" Fx (x, y, z) * (6Ab>
  Через каждую точку силового поля проходит одна и только одна силовая линия, являюща51ся решением системы (3.45).
  Из определения силовых линий следует, что они пересекают все эквипотенциальные поверхности ортогонально (см. рис. 3.10).
  В заключение остановимся на понятии градиента силового поля. Если задана какая-либо скалярная функция Ф(#, у, г), то вектор Еу образуемый по формуле
  „ дФ . , дФ . , дФ и дх ду ' ' dz '
  называется градиентом функции Ф. Обычно пользуются таким обозначением:
  ,,Тл дФ . , дФ . , дФ -
  Выражение для силы
  F = Fxl + Fj + F? 76
------------ page 77 --------------
  в случае консервативного поля с помощью (3.38) можно преобразовать к виду
  Таким образом, силу в консервативном поле можно рассматривать как градиент функции П(х, у, z).
  Покажем, как вычисляется потенциальная энергия для некоторых часто встречающихся силовых полей.
  1. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Совмещая плоскость хОу с какой-либо горизонтальной плоскостью (рис. 3.11), для проекций силы тяжести будем иметь
  Лс = 0, ^ = 0, F2=-mg.
  Можно проверить, что условия (3.43) выполняются. Элементарная работа равна
  d'A = Fxdx + Fy dy -f- Fzdz = — mg dz.
  Следовательно, работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки О в какую-либо точку М равна согласно (3.23)
  г
  Аом= ~ \ mgdz= -mgz. (3.46) о
  Но так как потенциальная энергия в точке М поля равна работе, которую совершает сила при перемещении точки из положения М в положение О, то
  [l = AM0 = mgz. (3.47)
  Эквипотенциальные поверхности mgz = С образуют семейство горизонтальных плоскостей, а силовыми линиями являются прямые, параллельные оси г.
  2. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральной силой будем называть силу, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку поля (центр), причем модуль силы F зависит только от расстояния г точки до центра.
  Если этот центр выбрать за начало координат, то для центральной силы можно написать
  F(r) = F.Mf (3.48)
  где Fr(r)= ±F(r) (знак + для силы отталкивания, а знак — для силы притяжения).
  77
------------ page 78 --------------
  Проверим, выполняются ли условия (3.43). Так как Fx-Fr(r)jr, Fy = Fr(r)-f, Fz=Fr(r)±r
  и, кроме того,
  r=V*2 + y2 + z2> то
  Wx _ r d \FT (г) Лдг = ху d Г Fr{r) I ду ~~х dr [ г \ ду г dr[ r Г
  дх У dг [ г J дх г dr [ г J'
  Следовательно,
  dFy _ d/v.
  Остальные условия (3.43) также выполняются.
  Для вычисления потенциальной энергии найдем работу центральной силы при перемещении точки из некоторого произвольного положения М в фиксированное положение М0.
  Элементарная работа имеет вид
  d'A = F-dr = Fr (г) ^- = Fr (r) dr. Тогда потенциальная энергия будет равна
  Го
  ^(r)~AMMt^JFr(r)dr. (3.49)
  Здесь эквипотенциальные поверхности П(г)=С— сферы с центром в начале координат, а силовые линии образуют пучок прямых, выходящих из начала координат.
  В частности, центральной силой является гравитационная сила. Согласно закону всемирного тяготения
  Fr тхгп2 г г. / v e т\т2
  = -/—— 7 ' Гг\П=-1 —рг~*
  гяе f — постоянная тяготения, Ш\ и тч — массы притягивающихся материальных точек, а г — расстояние между ними.
  Примем за точку М0 бесконечно удаленную точку; тогда, применяя (3.49), получим
  оо
  II(Г) = _J f «^.rfr._J"Mi. (3.50)
  3. Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины.
  Примем за фиксированную точку Af0, в которой потенциальная энергия равна нулю, положение конца недеформированной пружины (положение самой пружины не играет роли). Пусть
  78
------------ page 79 --------------
  длина пружины в недеформированном состоянии равна г0, а в положении М равна г (рис. 3.12). Тогда величина Рг(г)у входящая в равенства (3.49) и (3.48), имеет вид />(/•)= —с (г — г0). При г < го упругая сила пружины является по отношению к центру (точке крепления) отталкивающей, при г > г0 — притягивающей. Подставляя Fr(r) в (3.49), получим
  Га
  (3.51)
  или
  П(г) = -^~.
  при-
  Рис. 3.12.
  Здесь л = |г — г0| — модуль ращения длины пружины.
  Из формул (3.41) и (3.51) следует, что работа восстанавливающей силы пружины при перемещении конца пружины из положения М\ в М2 равна
  ск
  ск0
  А - * 2
  (3.52)
  Здесь К\ и %2 — удлинения, соответствующие начальной и конечной точкам пути.
  § 3.6. Интеграл энергии. Понятие о рассеивании полной механической энергии
  Предположим, что все силы, действующие на материальную точку, консервативны. Тогда элементарная работа сил, приложенных к точке, будет d А = —dll, и равенство (3.33) принимает вид
  Интегрируя обе части этого равенства, найдем
  Г + П^Л,
  (3.53)
  где h — постоянная интегрирования (она называется постоянной энергии).
  Равенство (3.53) называется интегралом энергии. Интеграл энергии показывает, что при движении точки в консервативном поле сил сумма кинетической и потенциальной энергий (полная механическая энергия) есть величина постоянная (закон сохранения механической энергии).
  79
------------ page 80 --------------
  Равенству (3.53) можно придать и такой вид:
  Га + Щ-Л + П,, (3.54)
  где Т\ и Т2, IIi и 1Ь — значения кинетической и потенциальной энергий в положениях Afi и М2 соответственно.
  Интеграл энергии (3.53) справедлив при условии, что все силы, действующие на материальную точку, консервативны. Если хотя бы одна из сил не консервативна, то равенство (3.53) будет нарушено. Рассмотрим, какое влияние оказывают силы сопротивления (они, как правило, имеются всегда) на полную механическую энергию. Итак, будем считать, что на материальную точку действуют консервативные си-
  v лы (их потенциальная энергия равна П)
  ^^ и силы сопротивления Fc. Относительно
  М/С^ последних мы не будем делать никаких
  >f """**-/- ограничений: они могут быть постоянны
  ?су( по модулю (сухое трение), пропорцио-
  / нальны любой степени скорости (вязкое
  I трение) или любым иным образом зави-
  * сеть от скорости точки, ее положения и
  Рис. 3.13. времени t. Единственное предположение
  (оно для сил сопротивления естественно) состоит в том, что сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости v точки (рис. 3.13).
  Элементарная работа консервативной силы F равна —dU (формула (3.43)), а элементарная работа силы сопротивления будет Fc • dr. Равенство (3.33) принимает вид
  dT= -dn + Fc-cfr.
  Перегруппируем члены, разделим обе части равенства на dt
  dr и учтем, что -ЧП- = v:
  A(r + n)-Fc-v.
  Угол между силой сопротивления Fc и скоростью v равен 180°; скалярное произведение Fc • v = Fcv cos 180° = —Fcv. Следовательно,
  -Jr(r + n)=-Fct><0. (3.55)
  Так как производная по времени отрицательна, то полная механическая энергия под действием сил сопротивления убывает или рассеивается, переходя, конечно, в другие формы энергии, например в тепловую.
  Модуль мощности \Fc-v\=* Fcv силы сопротивления может служить мерой убывания полной механической энергии. Если
  80
------------ page 81 --------------
  модуль силы сопротивления равен \Ьх\ (вязкое сопротивление),
  то Fc • t>= — 6л:2 = — 2-j-. Величина bv2/2 называется диссипа-
  тивной функцией Релея, удвоенная величина которой в данном случае служит мерой рассеивания (диссипации) энергии.
  § 3.7. Задачи
  Задача 22. Какова длина разбега самолета, вес которого Р = 18000 /сГ, тяга, развиваемая двигателем, Ф = 4000 кГ% общая сила сопротивления R = 1000 асГ, взлетная скорость v = 216 км/час.
  Применим теорему об изменении кинетической энергии
  mvZ
  = (Ф-Д)5.
  Полагая начальную скорость v0 -¦
  ¦¦ 0, получим
   18 000-602
  2(Ф-#) в 2-9,81 -3000 s
  mv?
  1100 м.
  L
  Задача 23. Самолет, вес которого Р = 10 г, совершает посадку, имея вертикальную скорость снижения и0 — 2 м/сек. Подъемная сила при посадке N =* 6 г, жесткость амортизационной системы с =* 1 т/см. Сопротивление в амортизационных стойках шасси при прямом ходе постоянно и равно R — 3 т. Определить наибольшую осадку самолета, считая, что за время срабатывания стойки горизонтальная скорость v остается неизменной (рис. 3.14).
  Применим теорему об изменении кинетической энергии. В начальный момент вертикальная составляющая скорости Но =• 2 м/сек, в конечный момент — щ =0. Работу восстанавливающей силы пружины определим по формуле (3.52). Полагая ОМ = Л, получим для работы всех сил (силы тяжести mg, силы сопротивления R, подъемной силы N и силы упругости амортизаторов)
  АОМ = тё^ -М 2 ^"
  m-t-tf
  V///7///S,
  Рис. 3.14.
  Величина полной начальной скорости равна \v2 + u^ величина скорости в конце процесса сжатия амортизационной системы равна о. Поэтому приращение кинетической энергии составляет
  mv2 т [у2 + «q) ти\
  По теореме об изменении кинетической энергии имеем
  тиХ
  сХ2
  ¦ - mgX - RX - — Nk,
  откуда
  X = ±(mg-R-N± V{mg-R-N)2 + mulc).
  нижнего положения следует перед корнем е -ановки численных значений, найдем
  Я = 0,01 (l -f у 1 +-i|p . 400 j =21,2 см.
  Для крайнего нижнего положения следует перед корнем взять знак плюс. Тогда, после подстановки численных значений, найдем
  81
------------ page 82 --------------
  Задача 24. На какую высоту И над поверхностью Земли поднимется ра» кета, запущенная в вертикальном направлении с поверхности Земли, если ее начальная скорость равна v0? Какую начальную скорость надо сообщить ракете, чтобы она неограниченно удалялась от Земли? Сопротивлением атмосферы пренебречь. Радиус Земли R = 6370 км (рис. 3.15).
  Применим закон сохранения механической энергии, имея в виду, что конечная скорость ракеты v = 0, а потенциальная энергия силы тяготения определяется но формуле (3.50)
  fmM
  fmM
  RTIf
  Здесь т — масса ракеты, М— масса Земли, / — гравитационная постоянная. От двух последних постоянных можно избавиться, заметив, что при г = R
  (т. е. на поверхности Земли) сила притяжения приближенно
  равна весу
  . тМ
  откуда fM — gR2. Тогда
  --mgR = -
  2 '"s'x R + H-
  Разрешая уравнение относительно Н, получим
  Рис. 3.15.
  Я = -
  №
  2?#-*о
  Теперь нетрудно ответить на второй вопрос. Согласно условию задачи должно быть Я = оо и, следовательно,
  2gR-v*«о, v0-\ГЩ - 1^2-9,81-10"3-6370 - 11,2 км/сек.
  Задача 25. С какой скоростью должна быть запущена с поверхности Земли ракета, чтобы она могла достигнуть той точки С между Землей и Луной (рис. 3.16), где силы притяжения Земли и Луны равны. Расстояние
  между центрами Луны и Земли d = 370 000/си*, а отношение их масс Мл и М3 равно 1/80. Радиус Земли R — 6370 км.
  В точке С должно выполняться равенство
  fmMn
  Рис. 3.16.
  («-'оГ
  'ов-
  1 +
  V щ
  fmMn
  /mm™
  Потенциальная энергия силы притяжения Луны Пл = ——.Применим закон сохранения механической энергии (полагая, что в точке С скорость ракеты равна нулю)
  mvl fmM3 fmM r
  2 R d-R
  Используя равенство fM3 = gR2, получим
  fmM3 fmMn d — r0
  Го
  '[**-
  gR2
  80 (d - R)
  fj
  gR
  80 (d
  ^ ]
  -ro) J'
  v = 11,1 км/сек.
  82
------------ page 83 --------------
  
  чля
  
  работы
  Аав + аав =
  силы тяжести ApAB = Ph,
  0.
  имеем
  Задача 26. Сани спускаются с горы. Начиная с точки А (рис. 3.17) их притормаживают силой F таким образом, что до конца спуска (точки В) скорость саней остается постоянной. Определить работу, совершаемую силой F, если вес саней Р, а высота горы /t.
  В отличие от предыдущих задач, здесь наряду с консервативной силой — силой тяжести Р — действует неконсервативная сила F. На основании теоремы об изменении кинетической энергии имеем I/\
  mv] mvl ~~2~~ "~2~ "~ ЛВ + ААВ'
  Так как начальная и конечная скорости са* ней одинаковы, то
  Рис. 3.17.
  откуда АдВ = —Ph. Найдем эту работу путем непосредственного вычисления. Так как скорость саней постоянна, то сумма проекций сил на направление скорости равна нулю, т. е. Р sin а — F = 0 и, следовательно,
  F -Psina, где sin a можно определить из равенства
  dy sina = —-г. ds
  Вычислим мощность силы торможения:
  r ds dt
  Здесь мы приняли во внимание, что сила торможения F и скорость v имеют противоположные направления. Работа силы торможения за время спуска саней выражается следующим образом:
  Т Т h
  AFAB=JNF(t)dt= -Р \%dt= -pjdy=-Ph.
------------ page 84 --------------
  ГЛАВА IV
  ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
  § 4.1. Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся в центральном поле сил
  В § 3.2 были установлены свойства движения точки в поле центральной силы. Напомним эти свойства.
  Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая. Центр, через который всегда проходит линия действия силы, лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение такой материальной точки в полярной системе координат с полюсом в центре силового поля. Полярную ось направим пока произвольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет определяться полярными координатами г и ф. Для центральной силы имеем выражение
  F = /v(r)f> (4.1)
  где Fr(r)—проекция силы на радиус-вектор точки.
  Во-вторых, имеет место закон площадей (секторная скорость остается постоянной). В полярных координатах соблюдается равенство (3.18)
  уг2ф = с. (4.2)
  Перейдем к составлению уравнения движения материальной точки в центральном поле. Основное уравнение динамики
  mw = Fr (г) j
  спроектируем на радиус-вектор и воспользуемся найденным в кинематике (том I, гл. 9) выражением для радиального ускорения wr = f — ф2г:
  т(г-ф2г) = />(г). (4.3)
  84
------------ page 85 --------------
  Используя теперь теорему площадей (4.2), исключим ф:
  '-¦g-irrir). (4.4).
  Для определения траектории движения в полярных координатах г = г(ф) перейдем в уравнении (4.4) от независимого переменного / к полярному углу ф.
  Заметим, что в силу интеграла (4.2)
  Штрихом здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по ф. Продифференцируем теперь (4.5) по времени и вновь воспользуемся интегралом площадей (4.2):
  .. df dtp 0 / 1 \" 2с 4с2 ( 1 \" tA c.
  Теперь остается подставить значение г из равенства (4.6) в уравнение (4.4)
  4с2 / 1 \" 4с2 1 с / ч /„ 7ч
  - — (у) -7Г—ST^rW. (4.7)
  Для упрощения уравнения естественно перейти к новой искомой функции и = 1/г. Тогда (4.7) примет вид
  ""+»--та?" <4-8>
  Полученное соотношение (4.8) и есть дифференциальное уравнение траектории материальной точки, движущейся под действием центральной силы (уравнение Бинэ).
  Наиболее важным случаем центральной силы является гравитационная сила планеты или любого другого небесного тела.
  Ньютоновская сила притяжения планеты, принимаемой за однородный шар, действующая на материальную точку, находящуюся вне пределов шара, равна
  *--/^Ц. (4-9)
  где /—гравитационная постоянная, m — масса материальной точки, М —масса планеты, г—расстояние точки от центра планеты.
  Можно избавиться от произведения /М, если известна сила притяжения на поверхности планеты, т. е. при г = R. Для Земли эта сила притяжения равна mg, где g— ускорение свободного падения тела относительно невращающейся Земли. Аналогично определяется g и для других планет.
  85
------------ page 86 --------------
  Таким образом, при г = R из равенства (4.9) получим
  после чего (4.9) принимает вид
  • _ nigR2 r
  г2 г '
  (4.10)
  Следовательно, в данном случае Fr(r) = Fr (—) = — mgR2u2.
  При движении точки вне пределов земной атмосферы, но в достаточной близости к ее поверхности, можно пренебречь действием гравитационных сил со стороны других небесных тел и считать, что на точку действует только сила (4.10). В этом случае дифференциальное уравнение траектории (4.8) примет вид
  d2u . 1
  d<p2 ' р '
  (4.11)
  Ac2 где р = jgr2 = const.
  § 4.2. Виды траекторий. Круговая и параболическая скорости
  Исследуем решение основного дифференциального уравнения (4.11). Общее решение этого уравнения можно представить
  в следующей форме:
  и = —(- a cos (ф — е), (4.12)
  где а и е — постоянные интегрирования. Вспоминая, что и = 1/г, перепишем уравнение (4.12) в виде
  Фиксированное направление
  Рис. 4.1.
  Г =
  1 + е cos (ф — е) *
  (4.13)
  где е = ар — постоянная величина.
  Уравнение (4.13) определяет траекторию материальной точки, движущейся под действием ньютоновской силы притяжения.
  Для упрощения анализа введем новую переменную: ф = ф — е. Очевидно, что теперь угол i|) будет отсчитываться не от первоначально взятого фиксированного направления, а от некоторого нового направления Охи повернутого относительно первого на угол е (рис. 4.1). Конечно, вид траектории от такой формальной замены переменных не может измениться.
  Теперь уравнение (4.13) примет вид
  г =
  1 + е cos ф
  (4.14)
------------ page 87 --------------
  Таким образом, вид траектории определяется единственным образом через постоянные р и е. Несколько дальше будет показано, как определить эти постоянные по начальным условиям.
  Из курса аналитической геометрии известно, что кривые (4.14) представляют собой конические сечения*).
  Из формулы (4.14) следует, что при \|э = 0 полярный радиус г достигает экстремума (г' = 0). Это означает, что при любом е и ф = 0 скорость точки перпендикулярна к радиусу-вектору г0. Из формулы (4.14) получим
  *--?-1>-1.
  Го ^
  Тип траектории определяется значением величины е, называемой эксцентриситетом конического сечения.
  Если ?<1, то знаменатель в правой части (4.14) никогда не обращается в нуль, следовательно, кривая второго порядка не имеет бесконечно удаленных точек. Это может быть только эллипс. В частном случае, когда е = 0, получаем г = р = const, т. е. эллипс превращается в окружность.
  Если е>\, то появляются бесконечно удаленные точки при двух значениях угла ф, полученных из уравнения
  1 +?COS1|) = 0,
  т. е. при
  arccos
  Ю-
  Рис. 4.2.
  Таким свойством обладает только гипербола.
  Наконец, при е = 1 знаменатель обращается в нуль при •ф = л.
  Кривой второго порядка, имеющей бесконечно удаленную точку только при одном значении полярного угла \|э, является парабола.
  На рис. 4.2 изображены возможные типы траекторий при е > 0. Они соответствуют выбору положительного направления полярной оси Ох\ (\|) = 0) от центра О на ближайшую к О точку траектории, называемую перицентром (для земных спутников — перигеем).
  Установив, что тип траектории определяется значением эксцентриситета е, найдем зависимость эксцентриситета от
  *) В декартовой системе координат x1=rcos\|\ ij\ = r sin г|? уравнение (4.14) приводится к виду х\ + у\ = (р -ex{fy т. е. все траектории могут быть только кривыми второго порядка (эллипс, гипербола, парабола и их вырождения в прямые).
  87
------------ page 88 --------------
  начальных условий. Сделаем это, отнеся начальные условия к тому моменту времени, когда точка пересекает ось Ох\ (см. рис. 4.1), т. е. при tj> = 0.
  Пусть г = г0| v — Vo при ф = 0. Из уравнения (4Л4) следует, что при ур = 0 радиус-вектор г достигает своего минимального значения. Так как ф = ф, то в соответствии с интегралом площадей (4.2) имеем
  l
  у го^о — с,
  поскольку vp = фоЛ) = Vo при ф = 0.
  Для указанных начальных условий находим
  г - Р
  откуда
  e«-f-1. (4.15)
  4?2 1
  Учитывая, что Р = ^ш и с = -2гоуо> П0ЛУчим
  ,2
  e-^-l. (4Л6)
  Это соотношение является основным и позволяет найти интервалы скоростей, которым соответствуют те или иные виды траекторий.
  Эллиптические траектории (е<1) определяются неравенством
  В частности, если е = 0, то траекторией будет окружность; при этом начальная скорость vQ имеет значение
  v0
  -V€
  и называется круговой скоростью. Круговая скорость, вычисленная для условий движения вблизи Земли (г0 = /?), называется первой космической скоростью:
  vx = VgR2 = 7,9 км/сек.
  Параболической траектории соответствует значение е = 1, т.е. по формуле (4.16) скорость
  "V-
  88
------------ page 89 --------------
  Найденное значение скорости называется параболической ско- ростью. Если начальная скорость задана вблизи Земли, то параболическая скорость
  t>2= V%gR =11,2 км/сек
  называется второй космической скоростью.
  При сообщении такой начальной скорости точка неограниченно удалялась бы от Земли.
  Гиперболические траектории характеризуются неравенством е> 1, которому соответствуют начальные скорости
  § 4.3. Определение параметров околоземной траектории по начальным условиям
  Пусть материальная точка в некоторый момент времени начинает движение из точки Л0 вне пределов атмосферы только под действием силы притяжения Земли (рис. 4.3).
  Определим параметры траектории р и е, если известны: г0 — расстояние от центра Земли до точки Л0, v0 — величина скорости материальной точки в положении Ло, во — угол наклона вектора скорости к местному горизонту, т. е. к плоскости, перпендикулярной к радиусу-вектору точки Л0.
  Найдя параметры траектории, Рис- 43-
  мы затем легко определим начальный полярный угол \|?о (рис. 4.3) и тем самым узнаем пока не известное направление оси Охь
  Так как в точке Л0 скорость vp == y0cos8o, то согласно формуле (4.2) секторная скорость равна
  с = у rov0 cos 60.
  Подставляя это выражение в формулу для р, получим Ac2 r2v2 cos2 % /р0\2
  p=sw = ~w>—r°U/cos 8°> (4Л7)
  где v{ = VgR2/r0 — круговая скорость в точке Л0.
  8Э
------------ page 90 --------------
  На рис. 4.4 скорость точки разложена на радиальное и поперечное направления. Из рисунка следует, что
  tge.
  vr
  или, в соответствии с формулами (4.3),
  tge = -^ = 4-
  dr d /¦ ч
  согласно выражению (4.14)
  In г = In р — In (1 + е cos ф) и
  Ад. a gsini|? _ ре sin ф re sin ф
  * 1 +ecost|) ~~ р (1 + ecost|>) e p
  Из соотношений (4.14) и (4.19) следует, что
  (4.18)
  (4.19)
  v^
  ecosi|> = -*7-lf esint|) = ^-tg9. (4.20)
  Возведя эти равенства в квадрат, почленно складывая и полагая г = г0, Э = 8о, получим
  Пользуясь равенством (4.17), найдем ^«(-^)2cos>e0 = vcos'e0,
  где v = v\fv\. Подставив полученное значение р/г0 в соотношение (4.21), вычислим эксцентриситет
  е- ]/v2 cos4 90 tg2 Э0 + (v cos2 90 - l)2 = l/l-v(2-v)cos290.
  Рис. 4.4.
  Зная параметры траектории
  р = vr0 cos2 0O, e = У\ — v (2 — v) cos2 Э01
  (4.22)
  легко найдем из первой формулы (4.20) начальный полярный угол гро, т. е. положение полярной оси Oxi:
  cosfc-(¦?-!)!-¦
  l/'l~v(2~v)cos2e0
  (4.23)
  Иногда бывает удобно ввести дополнительный угол фу = д — ф0 (см. рис. 4.3), для которого
  cos фо =
  1 — V COS2 60
  У I - v (2 - v) cos2 90
  (4.24)
  90
------------ page 91 --------------
  Таким образом, траектория движения точки полностью определена тремя параметрами г0, v и во и с помощью формул (4.22) и (4.24) можно получить окончательное уравнение
  r e ;r°cos2e° . (4.25)
  1 + cos ф Y\ - v (2 - v) cos2 0O
  Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть
  е= V/l~v(2-v)cos20o =0.
  Отсюда имеем
  v2-2v + sec2eu = 0
  и, следовательно,
  v=l ± |/l-sec2e0.
  Это значит, что е = 0 может быть только при во = 0 и v = 1. При этом г = го, т. е. орбита будет окружностью, а необходимая начальная скорость равна
  .--/^
  Для параболической траектории
  e=|/l-v(2~v)cos2e0 = 1,
  что выполняется при
  v = 2
  и любом угле во. Начальная скорость v0l необходимая для движения по параболической траектории, равна
  Ъ-91У2--/т
  Го
  § 4.4. Траектории искусственных спутников Земли
  Пусть рассматривается движение материальной точки из положения А?. В этом положении точка расположена на высоте h над земной поверхностью и обладает начальной скоростью v0, направленной под углом 9о к местному горизонту.
  Как установлено, при v0 < v2 траектория материальной точки есть эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли.
  Из уравнения траектории (4.14) видно, что максимальное расстояние материальной точки от центра Земли достигается при
  cos*w=-l (4.26)
  и равно
  'max =737. (4-27)
  в*
------------ page 92 --------------
  Соответствующая точка траектории называется апогеем. Минимальное расстояние точки от центра Земли достигается в перигее и равно
  rmin-j^j. (4.28)
  Таким образом, максимальное расстояние точки от поверхности Земли составляет
  _?_ 1-е
  ^max J ~~ R»
  а минимальное расстояние равняется
  Лппп—Г+7~*'
  В зависимости от конкретных значений а0 и 90 траектории могут оказаться пересекающимися либо не пересекающимися с поверхностью Земли. Найдем, при каком значении vQ и фиксированном значении угла 6о траектории не будут пересекать поверхность Земли, т. е. могут быть траекториями искусственных спутников Земли.
  Для траектории, не пересекающей поверхности Земли, должно выполняться неравенство
  rm\:x>R*
  т. е. согласно (4.28)
  1^7>R. (4.29)
  Принимая во внимание (4.22), получаем
  r0v cos2 в0 > R (I + }Л1 - v (2 - v) cos2 90) или, так как г0 «= R + h,
  [(R + h) v cos2 90 - RY > R2 [ I - v (2 - v) cos2 90].
  После небольших преобразований и подстановки v — »о/^1 найдем -| [(tf + /02cos2e0-tf2]>2W.
  vl
  Отсюда получаем значения v0, при которых траектории точки не будут пересекать поверхности Земли
  »<,>**. (4.30)
  где
  vk У R + h V (tf + ft)2cos290-tf2 ' (4d1'
  Отметим, что при ft = 0 это условие имеет смысл только при 90 = 0, и принимает вид
  v0>VgR-
  Определим величины большой и малой полуосей эллипса (4.18). Величина большой полуоси
  Гтах + rmln P
  а~ 2 ~2
  \ 1 - е 1 + е ) 1-е2
  р
  *) Очевидно, что должно выполняться неравенство cos 90 > р , ,
  92
------------ page 93 --------------
  или, учитывая соотношение (4.22)»
  Р г0
  v (2 - v) cos2 80 2 - v '
  (4.32)
  Из формулы (4.32) следует, что величина большой полуоси не зависит от угла 0о и определяется только величиной начальной скорости v0. Найдем теперь расстояние между фокусами эллипса 2с
  2c^2(a-rmin)==-
  2р 1-е2
  2р 1+е
  = 2ае.
  (4.33)
  Отсюда, кстати, видно, что эксцентриситет е — с{а. Малая полуось эллипса b связана простым соотношением с величинами а и с:
  Ь = Уа2 - с2 - а У\ - е2 = У ар .
  (4.34)
  Изучим характер изменения траекторий спутников в зависимости от v**VqJv* при v0>vk. Для простоты положим, что 0о = 0. Из (4.20) тогда следует
  sin ф0 - 0, cos ф0 - — (— - i) • (4.35)
  Имея в виду» что при 0О = 0 согласно (4.22) е » У] — v (2 — v) — | v — 11 и,кроме того, р = \т0| получим
  V— 1
  cos фо - iv„|i • <4-36)
  Прежде всего остановимся на случае, когда v > 1; из (4.36) имеем
  cos фо — -
  V-1
  1.
  Ц>*13Щ
  Следовательно, ф0 — 0 и положительное направление полярной оси совпадает с направлением OAq (рис. 4.5). Напомним, что мы условились считать е > 0. Это эквивалентно выбору положительного направления полярной оси от притягивающего центра через перигей.
  На рис. 4.5 показаны три траектории спутни- Рис. 4.5.
  ков при различных значениях начальной скорости
  {v\ < v0 < v2) и Во = 0. Это семейство эллипсов с общим фокусом в точке О и перигеем в Aq.
  Обратимся теперь к случаю v < 1. При этом е = 1 —v и в соответствии с (4.36)
  v - I ,
  cos*o--prV"""1,
  т. е. фо = п. Следовательно, направление на перигей противоположно ОА0. Точка А0 становится апогеем и семейство эллипсов {vh <v0< vy) имеет вид, изображенный на рис. 4.6.
  Уравнения эллипсов (4.14) при 0в = 0 принимают вид
  ГрУ
  1 +1 v — 1 | cos ф
  (4.37) 94
------------ page 94 --------------
  Перигейное расстояние находится из (4.37) при ф«=0. Заметив, что при v > I
  I v — 1 | — v — 1, а при v < 1 | v — 1 | = 1 — v, получим
  Гты^го (v>l), Гщщ^ г^ (v<l).
  Полагая в последней формуле гт\п =» /?, найдем
  2/?
  Аналогично, при ф = я определим апогейное расстояние
  rmax = yzV (v>1>» гтгх = г0 (v<l).
  Большая полуось эллипса определяется по формуле (4.32), а малая из (4.34); при этом е* = (I—v)2
  а= 2^у , Ь - a VT^e*~= a /v (2 - v). (4.38)
  Найдем теперь период обращения спутника по эллиптической орбите. Исходя из интеграла площадей, имеем
  S = c/,
  где S — площадь, описываемая радиусом-вектором точки за время /, с — секторная скорость. За время Т полного оборота спутника радиус-вектор опишет полную площадь эллипса 5 = nab. Следовательно, должно выполняться равенство
  nab =» сТ. Вспомним, что согласно (4.11) и (4.34)
  b = Vw, c-jVpgW-
  Теперь получим
  Г = я^=2я|/-^г. (4.39)
  Таким образом, для двух спутников, движущихся по различным эллиптическим орбитам с большими полуосями ах и а2 и периодами обращения Tt и 7*2, имеем
  Отсюда выводится известное соотношение
  Эта формула справедлива не только для задач о движении спутников Земли, но и вообще для случаев движения материальной точки по эллиптической орбите вокруг любого притягивающего центра. Применительно к Солнечной системе эту формулу установил путем обработки наблюдений И. Кеплер (третий закон Кеплера).
  94
  Рис. 4.6.
------------ page 95 --------------
  Задача 27. Найти начальную скорость, необходимую для того, чтобы траектория спутника представляла собой эллипс с заданным отношением между максимальным и минимальным расстояниями от центра Земли; принять, что 6о — 0.
  При решении нужно различать два случая: 1) начальная скорость больше первой космической скорости, т. е. начальная точка является перигеем орбиты; 2) начальная скорость меньше первой космической скорости, т. е. начальная точка является апогеем орбиты.
  В первом случае, когда v > 1, обо* значим
  Гтах в КГо, rmin =» Г0, #=0,2
  где х > 1—заданное число. Пользуясь Ц1~ 0.57ц формулой (4.37), имеем
  ''max —
  2-v
  го» rmln — f"oi
  х*Ц4
  2-v*
  Так как v » v\jv\9 то искомая начальная V0~ 0,75 ц скорость равна
  Vo
  = v>Vrh>Vi'
  Рис. 4.7.
  х+1
  Большая и малая полуоси орбиты соответственно равняются а — ' г0,
  Ь — r0 Yy, . На рис. 4.5 возле каждого эллипса указаны соответствующие значения х ~ 1, 4, 9.
  Во втором случае, когда v < 1, удобно обозначить
  ''max ~ го> ^mln ~ ХГ0,
  причем х является любым заданным числом, меньшим единицы. Пользуясь формулой (4.37), найдем, что
  '"max — /"о» fmln —
  2-V
  Го
  и х выражается прежней формулой x = v/(2 — v). При этом, если х > /?/г0§ то эллипсы не пересекают поверхность Земли (см. рис. 4.6), если же х < /?/г0, то эллипсы пересекаются с поверхностью Земли (такие траектории могут быть использованы для так называемых суборбитальных полетов). Соответствующие эллипсы изображены на рис. 4.7 при х = 0,2; 0,4. Понятно, что при v = 1 орбита будет окружностью и rmiQ «= rmax.
  § 4.5. Траектории, пересекающие поверхность Земли
  В этом параграфе рассматривается случай е < 1. Траекториями материальной точки будут эллипсы, которые пересекают поверхность Земли (см. § 4.4), если выполняются неравенства
  95
------------ page 96 --------------
  Найдем угол ф1 (рис. 4.8) между прямой ОА0 и большой #сью эллипса. Для апогея совфт = —1, следовательно, фт = я; но фт = фв + фь значит,
  ф^я-фо. (4.40)
  Так как в точке Л0 выполняется равенство
  г Р
  0 1 + е cos ф0 '
  то
  cos ф0 — — и ф0 = arccos — .
  <?г0 ти ег0
  Таким образом, учитывая, что р = fov cos2 60, имеем
  ф4 = я — arccos
  v cos2 80 — I
  ф] = arccos
  1 - v2 cos2 90
  (4.41)
  Выразим длину дуги окружности радиуса г0, проходящей через точки Л о и B0f через величину v0 и угол Э0. В силу симметрии эллипса относительно его большой оси имеем"
  5Л0Во = 2гО+Г
  фт Принимая во внимание формулу (4.41), получим
  1 — v cos2 0O *А*%= "о в| ww ё
  2rn arccos -
  . (4.42)
  Рис. 4.8.
  Длина дуги АВ определяется формулой
  *лв"2**г (443)
  При h <С R эту величину будем считать дальностью полета на пассивном участке траектории (см. рис. 4.8). Определим, при каком угле 60 дальность полета будет максимальной при заданной величине v0. В соответствии с выражением (4.43) максимальная дальность полета достигается при максимальном значении фь Из формул (4.41) и (4.22) находим зависимость угла ф! от угла 00
  cos ф, = _ l~VZ =, (4.44)
  Kl-v(2-v)2 где z = cos2 Э0.
  Продифференцировав выражение (4.44) по г, найдем
  . L */ф, -2v[l-v(2-v)z] + (l-vz)(2-v) v
  — Sin ф| *= 57 •
  dz 2[l-v(2-v)e]/2
  Приравнивая нулю числитель правой части этого равенства, получим уравнение для определения того значения z, при котором угол ф1 имеет максимальное значение,
  2 [1 - v (2 - v) z] - (1 - vz) (2 - v) - 0, откуда
  *- 2^' (4'45)
  96
------------ page 97 --------------
  Оптимальный угол бросания 60 имеет значение
  60 =* arccos (4.46)
  V2 - v
  Заметим, что из тождества 2 cos2 00 = 1 + совг Э0 и соотношения (4.45) следует 1 + cos2G0 = 2_v , cos290- ^—, 90« — arccos j^-—. (4.47)
  Подставляя значение z в (4.44), находим угол фь обеспечивающий наибольшую дальность полета:
  2VT^v . v
  cos ф, тах - 2_у—» sin t|)j max = 2^7' (448>
  Следовательно, наибольшая для данного значения v0 дальность полета
  равна
  v vi
  sabX e 2# arcsin =2# arcsin о о- (4.49)
  * 2-v 2yf-o^ '
  Из соотношения (4.49) видно, что по мере увеличения начальной скорости Vo дальность монотонно возрастает и при v0 = Vi (v = 1) Sab — 2л/?. Таким образом, каждому значению скорости и0 соответствует своя максимальная дальность (4.49) и свой оптимальный угол (4.46).
  Вследствие монотонной зависимости (4.49) можно для каждой дальности Sab (или угла фО найти соответствующую минимальную скорость и0 и оптимальный угол 0О. Выразим v0 и 80 через tfr. Сравнивая (4.47) с (4.48), получим
  cos 28о = sin tpi. Отсюда
  в»"Т~^- (4.50)
  Из равенств (4.48) также следует
  § 4.6. Задачи
  Задача 28. Спутник движется по круговой орбите на высоте Л от поверхности Земли. Какую дополнительную скорость нужно сообщить спутнику, чтобы он перешел на параболическую орбиту?
  Спутник, двигаясь по окружности вокруг Земли на высоте Л, имеет круговую скорость, равную
  -/*&•
  Для того чтобы спутник перешел на параболическую орбиту, он должен приобрести параболическую скорость, соответствующую высоте Л, т. е.
  V R + 1
  1'2~ I/ 0^.Л
  4 П. В. Бутешш и др., т. 2 97
------------ page 98 --------------
  Следовательно, спутнику нужно сообщить дополнительную скорость, равную
  Пусть h = 200 км « 2 • 105 ж, радиус Земли Я = 6,37 • 10б ж, g « 9,81 ж/сгк2, тогда
  уд = 3219 л/се/е.
  Задача 29. На какой высоте h следует запустить спутник по круговой орбите, чтобы период обращения его равнялся периоду обращения Земли вокруг своей оси (24 часам) *).
  Из формулы для периода обращения (4.39) следует, что
  а ~ 4д2 ' Так как орбита круговая, то а = R + h
  ,.f
  -V^-l
  Подставляя g = 9,81 ж/се/с2, # = 6,37-106 Л, Г = 8,64-104 сек, находим
  h ^ 35 630 /еле.
  *) Если орбита спутника лежит в плоскости экватора и направление движения совпадает с направлением вращения Земли, то спутник будет все время располагаться над одной и той же точкой земной поверхности; такой спутник называется стационарным.
------------ page 99 --------------
  ГЛАВА V
  НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
  § 5.1. Определение несвободного движения. Связи. Принцип освобождаемости
  В первой главе при формулировке основных задач динамики точки мы исходили из предположения, что на движение точки не наложено никаких ограничений, т. е. все ее три координаты могут меняться любым образом. Надлежащим выбором закона изменения силы F и начальных условий можно заставить материальную точку двигаться по любой траектории. Примером может служить движение управляемого космического корабля. В подобных случаях материальная точка называется свободной, а ее движение — свободным движением.
  В других случаях на движение могут быть наложены те или иные ограниче- Рис. 5.1.
  ния. Рассмотрим, например, материальную точку, находящуюся на конце нерастяжимого стержня длины /, другой конец которого с помощью шарнира закреплен в неподвижной точке О (рис. 5.1). При любых силах, приложенных к материальной точке, она совершает движение по поверхности сферы, радиус которой равен длине стержня. Координаты точки не будут независимыми, так как они должны удовлетворять уравнению сферы
  x2 + y2 + z2-l2 = 0. (5.1)
  Из этого уравнения одна из координат, например, координата ху может быть выражена через остальные две:
  х=± Vl2-y2-z2. (5.2)
  Кроме того, скорость точки всегда располагается в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке, где находится в данный момент материальная точка.
  4* 99
  т I
------------ page 100 --------------
  Таким образом, в рассматриваемом примере начальные условия не могут быть выбраны произвольно, так как координаты начального положения должны удовлетворять уравнению (5.1), а начальная скорость должна быть расположена в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке начального положения материальной точки.
  Итак, существуют случаи движения материальной точки, когда некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение по строго фиксированной поверхности (в рассматриваемом примере таким ограничением является стержень). Можно привести примеры, когда ограничения принуждают материальную точку двигаться по строго определенной линии (например, кольцо, насаженное на изогнутую проволоку, будет двигаться только вдоль проволоки). Ограничения также вынуждают материальную точку двигаться лишь в некоторой части пространства. Во всех этих случаях независимо от действующих сил координаты точки определенным образом связаны между собой и выбор начальных условий не может быть произвольным.
  Будем называть материальную точку несвободной, если вследствие тех или иных ограничений она при действии на нее любых сил совершает движение по строго фиксированной линии, поверхности или находится все время в строго фиксированной части пространства. Движение такой точки называется несвободным движением.
  Ограничения, благодаря которым материальная точка вынуждена совершать несвободное движение, называются связями; это понятие уже встречалось в курсе статики.
  При изучении несвободного движения пользуются также знакомым из курса статики принципом освобождаемости, который заключается в следующем: при рассмотрении несвободного движения следует действие связей на материальную точку заменить реакциями этих связей и рассматривать материальную точку как свободную, но находящуюся под действием как сил активных, так и реакций связей. Если обозначить через F равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке, а через R — равнодействующую всех реакций связей, то основное уравнение динамики примет вид
  mw = F + R. (5*.3)
  Следует иметь в виду, что реакция связи неизвестна и может возникнуть задача об определении этой силы.
  В проекциях на оси системы координат Oxyz в соответствии с уравнением (5.3) получим mx = Fx + Rx, my = Fu + Rut mz = F2 + Rz.
  Эти уравнения позволяют решать задачи, когда задано движение и активные силы и требуется определить реакции, а также когда заданы активные силы и требуется определить закон движения и реакции.
  100
------------ page 101 --------------
  § 5.2. Уравнения связей; классификация связей
  Независимо от фактической реализации тех или иных связей, наложенных на материальную точку, они могут быть заданы аналитически. Уравнения линии или поверхности, по которым совершает движение точка, называются уравнениями связи. Если точка принуждена оставаться в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде неравенств.
  Если материальная точка движется по линии, то уравнения связи имеют вид
  /i (х, *Л *) = 0, /о (ху у, z) - 0, (5.4)
  где U (*, у, z) = 0 и f2(x,y, z) = 0 — уравнения тех поверхностей, линией пересечения которых является траектория точки. В случае плоского движения по заданной кривой уравнение связи можно записать в форме f(xyy) = 0. Например, в кривошипно- шатунном механизме (рис. 5.2) точка А шатуна движется по окружности радиуса, равного длине кривошипа. Уравнение связи получает вид
  хл + уА-г* = 0.
  Ползун В движется по прямой Рис. 5.2.
  и для него уравнение связи
  имеет вид ув = 0. Неизменность расстояния между А и В выражается уравнением
  При движении точки по поверхности уравнением связи является уравнение этой поверхности
  f{x, у, г) = 0. (5.5)
  Уравнение сферы (5.2) в рассмотренном выше примере и является уравнением связи. Заметим, что если в этом примере вместо стержня взята гибкая нерастяжимая нить, то точка получит возможность совершать движение не только по поверхности, но и внутри сферы радиуса, равного длине / нити. Вместо уравнения связь в этом случае аналитически задается неравенством
  *2 + #2 + z2-/2<0. (5.6)
  Следовательно, если какая-либо поверхность, определяемая уравнением f(xy yy z) = 0, ограничивает область движения точки, то вместо уравнения связи следует взять одно из неравенств,
  Цх, у, 2)<0 (5.7)
  101
------------ page 102 --------------
  или
  /(*, У, 2)>0.
  Перейдем теперь к классификации связей.
  Если связь со временем не меняется, т. е. время t явно в уравнение связи не входит, то связь называется стационарной (склерономной). Таковы, например, связи, удовлетворяющие условиям (5.4), (5.5) и (5.7).
  Если же связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи содержит явно время t. Такие связи называются нестационарными (реономными).
  Например, если длина нити / на рис. 5.1 будет изменяться по какому-либо заданному закону, в частности, пусть / = = /0 + a sin at (lo>a)y то уравнение связи будет иметь вид
  х2 + у2 + z2 - (Z0 + a sin со/)2 = 0.
  Следовательно, в общем случае при изменении связей во времени они могут быть заданы следующим образом: при движении точки по поверхности
  /(*, у, 2, 0-0, (5.8)
  при движении точки по кривой
  Ы*.**.0-0, 1
  f2(x,y,2,t) = 09 J 1°'У;
  при движении точки в ограниченной области fix, y,z, 0<0 ) или | (5.10)
  fix, у, z, /)>0. I
  Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид равенства, как, например, уравнения (5.4). Это означает, что при любых условиях точка движется по заданной поверхности или кривой. Связи, которые задаются с помощью неравенств, например, в виде (5.7) или (5.10), называются не- удерживающими.
  Примером неудерживающей связи служит связь, определяемая неравенством (5.6). Следовательно, связь является неудерживающей, если точка может покидать ее в какую-либо одну сторону.
  Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая
  J 02
------------ page 103 --------------
  реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали.
  Для точки идеальными связями будем называть связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих *).
  § 5.3. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности
  Для изучения движения материальной точки по поверхности используем уравнение (5.3).
  В проекциях на оси системы координат Oxyz имеем:
  tnx = Fx + Rxt j
  my = Fy + Ryt [ (5.11)
  mz = Fz + Rz. J
  Эти три уравнения содержат шесть неизвестных: три координаты точки (х, у, z) и три неизвестные проекции Rx, Ry, R2 реакции. Но, как мы видели, координаты точки должны также удовлетворять уравнению поверхности, по которой движется точка. Это дает четвертое уравнение
  f(x, у, г) = 0. (5.12)
  Конечно, четырех уравнений для определения шести неизвестных недостаточно. Для получения двух недостающих уравнений используем условие идеальности связи.
  Так как поверхность, по которой движется точка, идеально гладкая, то реакции направлены по нормали к поверхности. Градиент
  jt tf . , df . . df - grad/ = ^i+-?/ + -?*
  представляет собой вектор, который также направлен по нормали к поверхности.
  Условие коллинеарности реакции R и gradf и дает недостающие два уравнения
  Rx = Ry _. Rz
  Ж Ж Ж' (5-13)
  дх ду дг
  Таким образом, уравнения (5.11) — (5.13) в принципе дают возможность решить задачу о движении точки по гладкой неподвижной поверхности. Из уравнений (5.11) и (5.13) можно исключить реакции связей. Для этого обозначим равные отношения (5.13) через Л, т. е.
  Rx __ Ry = ^2 _= у
  ж ж ж
  дх ду дг
  *) Более полное определение идеальных связей будет приведено в главе XVIII.
  103
------------ page 104 --------------
  Тогда
  К* ~ Л дх »
  
  Я*
  
  и уравнения (5.11) теперь примут такой вид:
  my = Fy + \
  mz>
  дх ду '
  (5.14)
  (5.15)
  Присоединяя к этим уравнениям уравнения связи (5.12), получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными -v, у, z и X. После отыскания этих неизвестных, по формулам (5.14) можно определить проекции реакции. Модуль реакции равен
  *-t/*;+*5+*f-u,/(-f9'+(?r+(!r. «мо
  Реакция определяется выражением
  Уравнения (5.15) называются уравнениями Лагранжа первого рода.
  Задача 30. Рассмотрим движение тяжелой материальной точки массы т по внутренней поверхности цилиндра радиуса /*; ось цилиндра горизонтальна
  (рис. 5.3). Совместив начало координат с какой-либо точкой оси цилиндра, направим ось х вертикально вниз, ось у — горизонтально по радиусу цилиндра, а ось г — по оси цилиндра.
  Примем, что в начальный момент положение точки определяется координатами х «в 0, у = г, 2 = 0. Положим также, что начальная скорость направлена параллельно оси цилиндра и равна Vq. Это значит, что в начальный момент
  х = 0, у = 0, z = v0.
  На материальную точку действует сила тяжести mg и реакция #?, направленная по радиусу. Уравнение связи (цилиндрической поверхности) имеет вид
  Рис. 5.3.
  /(*. У. г)
  >• + у2 - Г2 = 0.
  df
  Подставим Fx « mg, Fy = Fz = 0, -=— иия (5.15). В результате получим
  тх — mg + 2Хх, ту = 2Ху,
  Ш2=0.
  2х,
  *2» и ду
  dz
  • 0 в уравне-
  (5.17>
  104
------------ page 105 --------------
  Из третьего уравнения системы (5.17) после интегрирования и использования начальных условии получим
  г = v0t,
  т. е. расстояние от начальной плоскости ху растет пропорционально времени. Умножая первое уравнение системы (5.17) на у, второе уравнение — на х и вычитая из первого уравнения второе, найдем
  т (ху - ух) = mgy.
  Умножая теперь первое уравнение системы (5.17) на х и складывая его со вторым уравнением, умноженным на у, будем иметь
  т (хх + у у) = mgx + 2Х (х2 + у2). (5.18)
  Перейдем к цилиндрическим координатам
  х =» г cos ф. у«- г sin ф, z«- г. Так как
  х = — гф sin ф, ц ¦» гф cos ф.
  х = — r$sin ф — гф2 cos ф.
  г/ — гф cos ф — гф2 sin ф,
  то уравнения (5.23) и (5.24) примут вид
  тг2ф = — mgr sin ф чли
  ф + ~8П1ф = 0 (5.19)
  и
  — тг2ф2 — mgr cos ф + 2Аг2. (5.20)
  Записав уравнение (5.19) в виде
  а
  ф dq> « sin ф е/ф.
  после интегрирования получим
  Ф2 ?Г
  -?- — — cos ф + с. 2 г
  Так как ф =» я/2, ф — 0 при / — 0, то с =» 0 и. следовательно,
  Ф2 = —созф. (5.21)
  Из этого уравнения видно, что при выбранных начальных условиях движение будет происходить в области, где ««ф > 0, т. е. при — — < ф < —-.
  ? 2,
  Подставляя выражение (5.21) в уравнение (5.20), будем иметь
  •л = ^- cos ф.
  2г ^
  В соответствии с формулами (5.14) получаем
  ¦>С fit
  Rx « А, -г— — — Smg cos2 ф, Ry*=k -^— — — 3mg sin ф cos ф, Rx = 0.
  Модуль реакции равен
  R = 3mg cos ф.
  105
------------ page 106 --------------
  *fc##=?
  Реакции равны нулю при ф = ±я/2. Максимальное значение реакции будет при (р = 0 и оно равно R = 3mg.
  Для определения закона изменения угла ф нужно проинтегрировать уравнение (5.19). Это будет сделано в § 5.5.
  § 5.4. Движение точки по гладкой неподвижной кривой
  При движении материальной точки по кривой уравнения связей имеют вид
  /, (x.y,z) = 0, f2(x, у, г)-0, (5.22)
  где f\(x,y,z) —0 и f2(x,y,z) =0 — уравнения поверхностей, линия пересечения которых является траекторией точки (рис. 5.4).
  _ В этом случае в уравнении
  " (5.3) реакцию R следует рассма
  тривать как сумму реакций, т. е.
  * = *1 + *2. (5.23)
  где Ri и /?2 — реакции, заменяющие действие соответственно первой и второй связи, уравнения которых имеют вид (5.22). Поэтому г дифференциальные уравнения дви-
  fi(X,y,z)=0 жения запишутся в виде
  mx = Fx + Rlx + R2x, |
  *X my = Fy + Riy + R2y. \ (5.24)
  Рис' 54- mz = Fz + Rlz + R22. J
  Эти уравнения содержат девять неизвестных: три координаты и шесть проекций реакций.
  Присоединяя к уравнениям (5.24) два уравнения связи (5.22) и условия идеальностей связей
  ZI
  R\x Ж
  дх
  R
  iy _
  dfi
  dz
  (5.25)
  (5.26)
  R2X _ R2y _ R2Z
  ~дП Ж" ^HL
  дх ду dz
  получим девять уравнений с девятью неизвестными. Из этих уравнений можно исключить проекции реакций. Для этого отношения в выражениях (5.25) в (5.26) соответственно обозначим через К\ и А* и получим
  дх
  Rix — ^1
  Riy — ^i
  ду
  Riz = *<i
  dfx dz
  *<2X ~ *»2 77 » t<2y - ^2 777 .
  n « df2
  R2Z~*.2-^-
  dx ' Л^У "* ду
  и, следовательно, уравнения (5.24) примут следующий вид:
  dh . , df2 'dx~ + l2~d7
  тх=* Fx + hi
  my-Fy + X^ + X, df>
  df,
  ду dh
  mz-F*+Xl-dT+x*-fc--
  (5.27) (5.28)
  (5.29)
  106
------------ page 107 --------------
  Система (5.29) совместно с уравнениями связи (5.22) образует систему пяти уравнений с пятью неизвестными jc, у, 2, Х\ и Яг- Реакции R\ и R2 определяются формулами
  Модули этих реакций равны
  
  (5.30)
  (5.31)
  ...}
  (5.32)
  -0, 1
  Задача 31. По проволоке, имеющей форму параболы, движется колечко; уравнения связи (параболы) имеют вид (рис. 5.5)
  /i (х, у, z) = 2y-x2*
  f2 (х, У. z) « z = 0.
  Найти реакцию связи при нулевых начальных условиях. Подставляя
  JL—Jte. -fL = 2, К
  дх ду dz
  d/2 ^q d/2 ^q d/2
  d* dy ' dz
  в уравнения (5.29), получим
  mx = mg-2X1x, j рис. 5>5
  m? = 2ЯЬ J (5.33)
  /П2 = Л2. J
  Из второго уравнения связи имеем z = 0 и,
  Умножая теперь второе уравнение на х и складывая его с первым уравнением, получим
  х + ху = g. (5.34)
  Так как согласно уравнениям (5.32) у = — х2, то
  у— хх и # = х2 + jcjc. Подставим полученное выражение у в уравнение (5.34):
  x(\+x2) + xx2 = g.
  следовательно, Х2 — 0.
  • _ ^х _ dx
  xt
  найдем
  Заменив
  * = Ж ~ ~dx (хх2 -g)dx + x(l+ x2) dx = 0. Это уравнение в полных дифференциалах и его решение имеет вид
  jc20+Jt2)-2gJt = C, где С — постоянная интегрирования.
  10?
------------ page 108 --------------
  (5.35)
  При нулевых начальных условиях (х — у = 0, х = у = 0 при / = 0) можно получить, что С = 0 и, следовательно,
  JC2(l + *2)-2g* = 0. или
  1+*2* Продифференцировав выражение (5.35) по времени, найдем
  _ 2g(\+x*)-2gx2x zx (1+х2)2 *'
  откуда
  (1+*2)2 Учитывая, что у = х2 + хх, получим
  ,, gx(3 + x*)
  * (1+JC2)2 "
  Тогда на основании второго уравнения системы (5.33) имеем
  _ mg x(S + x*) Л,~ 2 (1 + л:2)2 '
  Конечно, это же выражение можно получить и из первого уравнения системы (5.33). На основании формул (5.27) можно выразить проекции реакций через абсциссу колечка
  Найдем скорость колечка в зависимости от его абсциссы. Так как у = хх и учитывая, что х > 0, имеем
  0 = ^2TJ/2 = i/l+J или, принимая во внимание равенство (5.35),
  у «1 2#* .
  Этот результат можно было получить и сразу, применяя теорему об изменении кинетической энергии. Действительно, так как работа реакции, направленной по нормали к кривой, равна нулю, то
  mv2
  -2 *«*
  И
  v = V2gx.
  Рассмотренный пример показывает, что нахождение реакций с помощью уравнений Лагранжа первого рода (уравнений (5.24)) приводит к громоздким выкладкам. Поэтому этот метод и не нашел широкого практического применения. В следующем параграфе будет показано, как эту задачу можно решить значительно короче.
  108
------------ page 109 --------------
  § 5.5. Естественные уравнения движения. Математический
  маятник
  При изучении несвободного движения материальной точки по неподвижной кривой иногда удобно использовать уравнение (5.3) в проекциях на оси естественного трехгранника (глава 1, § 1.1).
  Эти уравнения имеют вид
  mayt = FT-i-/?T, mwn = Fn + Rn, mwb = Fb + Rb. Подставляя сюда проекции ускорения
  получим
  m!WBsFx + Kv m^ = Fn + R„ 0 = Fb + Rb. (5.36>
  Уравнения (5.36) называются естественными уравнениями движения. Из третьего уравнения следует, что бинормальная составляющая реакции определяется статически через бинормальную составляющую активной силы и от закона движения точки не зависит.
  При заданных активных силах и известных уравнениях связи уравнения (5.36) позволяют определить закон движения точки и реакции связей. Заметим, что между проекциями реакции /?т> Rru Rb обычно существует простая связь.
  При движении точки по шероховатой кривой проекция /?т представляет собой силу трения скольжения. Модуль силы трения скольжения равен
  где f — коэффициент трения скольжения.
  Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости, следовательно,
  Если движение происходит по идеально гладкой кривой, то Rx = 0, и естественные уравнения движения принимают вид
  m^- = Ft, m^ = Fn + Rn, 0-F> + Rb. (5.37)
  Отметим, что в этом случае первое уравнение служит для определения закона движения,, а второе и третье — для определения реакции связи.
  109
------------ page 110 --------------
  При движении точки по плоской, неподвижной шероховатой кривой уравнения (5.36) запишутся в виде
  т
  mv
  
  (5.38)
  Для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, второе уравнение системы (5.38) можно записать следующим образом (см. рис. 5.5):
  mv2 n
   = R — mg sin a,
  Р
  где а — угол, образуемый касательной к параболе с осью х. Исходя из уравнения параболы
  (5.39) (5.40)
  
  имеем Отсюда
  
  sin a = —
  У
  У' =
  X
  2 *•
  х = tg а. . cos а =
  Vl+JC2 /l+J
  звестно, чт (1 + У'У
  Из курса высшей математики известно, что радиус кривизны кривой находится по формуле
  Учитывая соотношение (5.39), получим
  р~-
  1
  Так как v = Vlgx . то
  D mv2 f 2gx , х jc(3 + x2) R = + mg sin a = m -—^ -f mg . -= mg —J f-
  p i vttf 4
  (1+*2)2 (\+X2)2
  Следовательно,
  D jc2(3 + jc2) _ jc(3 + jc2)
  (1+jc2)2 ' x^ б (1+*2)2 '
  Применим теперь уравнения (5.38) для изучения движения математического маятника.
  Математическим маятником называется материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически это можно, например, осуществить, подвесив материальную точку к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. При этом начальная скорость подвешенной точки должна располагаться в вертикальной плоскости перпендикулярно к радиусу..
  ПО
------------ page 111 --------------
  Положение точки будем определять углом ср, образованным нитью с вертикалью (рис. 5.6). Если т — масса точки, то действующая на точку сила тяжести равна mg. Пусть длина нити равна /.
  Так как
  vx = /ф, Fx = — mg sin ф, Fn = — mg cos ф,
  то уравнения (5.46) будут иметь вид
  тщ = _ mg sin ф, m/ф2 = — mg cos ф + Rn;
  при этом учтено, что реакция направлена вдоль нити и, следовательно, /?т = 0.
  Перепишем эти уравнения в следующей форме:
  Ф + у81Пф = 0, (5.41)
  Rn = m/ф2 + mg cos ф. (5.42)
  Уравнение (5.41) служит для определения закона движения маятника, а уравнение (5.42) — для определения реакции нити.
  Пусть в начальный момент (t = 0) нить отклонена от вертикали на угол ф = ф0 и отпущена с начальной угловой скоростью ф = ф0. Определим реакцию в зависимости от угла ф, а также и закон движения точки ф = q>(t).
  Согласно уравнению (5.42) для определения Rn в зависимости от угла ф нужно выразить величину ф2 через этот угол.
  Представив ф в уравнении (5.41) в виде
  •• — ^Ф ^Ф __ • ^Ф _ J_ gfcp2 получим
  -=¦ / Жр2 = — g sin ф d<p.
  Вспоминая, что при Ф = ф0 Ф = Фо» можем записать так: <Ь ф
  «2,
  _ / J <*ф2= - g J sill ф Ар,
  откуда
  /ф2 = 2g (cos ф — cos ф0) + lq>l *). Подставляя этот результат в уравнение (5.42), получим Rn = m/ф2, + mg (3 cos ф — 2 cos ф0).
  *) Этот результат можно получить короче, используя теорему об изменении кинетической энергии (см. § 5.6).
  111
------------ page 112 --------------
  Пусть v0 = /фо — начальная скорость точки; тогда
  9
  Rn = —— + mg (3 cos ф - 2 cos ф0). (5.44)
  В частности, формула (5.44) позволяет найти угол ф = фЬ при котором для заданных начальных условий связь перестает быть удерживающей (нить сомнется). Это произойдет, если Rn = 0:
  mvi ——Н mg (3 cos ф, — 2 cos ф0) = 0.
  Отсюда следует, что
  1 ( "о \
  С05ф, = -з ^2сО8ф0-^.
  Если потребовать, чтобы связь была удерживающей вплоть до значения ф! = л, то начальная скорость должна равняться
  v0 = V(3 + 2 cos фз) gl;
  при этом маятник будет совершать круговое движение. В частности, при фо = 0 получим
  Щ = VW-
  Если начальная скорость равна нулю, то фо = 0 и формула (5.43) примет вид
  /ф2 = 2g (cos ф — cos ф0). (5.45)
  Следовательно, во все время движения должны выполняться неравенства соэф^-созфо и ф^фо.
  Перейдем к определению закона движения маятника. Вводя
  обозначения ?2 = у, перепишем уравнение (5.41) в виде
  ф + k2 sin ф = 0.
  Рассмотрим сначала случай малых отклонений, когда можно принять
  S\X\q « ф.
  В этом случае дифференциальное уравнение движения
  ф + ?2ф = 0
  совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных линейных колебаний.
  Следовательно, угол ф меняется по гармоническому закону
  Ф = Фо cos kt + -Si sin kt.
  112
------------ page 113 --------------
  Период малых колебаний маятника равен
  r~f—2я|/?, (5.46)
  т. е. при малых углах отклонения период не зависит от начального отклонения ф0 (колебания маятника изохронны).
  Теперь найдем период колебаний маятника при любых углах отклонения ф. Рассмотрим случай, когда колебания начинаются вследствие начального отклонения фо, причем начальная скорость фя равна нулю.
  Из уравнения (5.41) следует
  -^=±у-^/2(со8ф-со8ф0).
  При возрастании угла ф здесь должен быть взят знак плюс, а при обратном движении — знак минус.
  При указанных начальных условиях движение начинается от значения Ф = Фо в сторону уменьшения угла ф. В течение первого полупериода скорость отрицательна и в последнем выражении должен быть взят знак минус. Если длительность полупериода обозначить через /ь то из выражения для скорости следует равенство
  J Р S J 1^2 (cos ф-
  отсюда находим
  '—/т/ т
  1^2 (cos ф — cos ф0)
  фо
  Фо
  dq>
  cos ф — cos фо)
  При обратном движении, т. е. при изменении угла ф от значения —ф0 до значения фо, скорость ф > 0 и, значит,
  U __ Фо
  J У g J 1/2 (cos <d-
  "|/*2 (cos ф — cos фо)
  где U — время движения. Отсюда
  *-'/Hi
  dq>
  г- •
  ¦ 2 (cos ф — cos фо)
  Период колебаний Т равен
   Фп
  f g J /совф-
  СОБфо
  113
------------ page 114 --------------
  Входящий сюда интеграл не относится к числу элементарных. Преобразуем его следующим образом. Так как
  cos ф = 1 — 2 sin2 ^,
   ф»
  Введем новую переменную ф
  sin -ф =
  • Ф sm 2
  „:„ Фо
  Тогда
  и, следовательно,
  </ф =
  Фо 2 sin -~- cos ф rftj)
  /-
  sin2 --jp sin2 г|)
  -/*
  Я/2
  flftft
  Интеграл
  J j/l-sin2-^sin2*
  Jl/2
  tf-
  rf\|?
  у 1-sin2-^sin2t|>
  (5.47)
  называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения этого интеграла зависят только от начального угла фо и могут быть найдены в таблицах специальных функций.
  Приближенное значение К при достаточно малых значениях ф0 можно найти путем разложения подынтегрального выражения в ряд
  '2
  l+±sin2-^sin2tl> + ...
  (l-sin2-^-sin2i|>) Ограничиваясь двумя написанными членами, получим
  Я/2
  и, следовательно,
  114
  г~ */!(,+>¦*).
------------ page 115 --------------
  Если можно принять sin -^- « -^-, то
  (5.48)
  Формулы (5.46) и (5.48) для периода колебаний различаются между
  ( «Ро\ собой множителем И+-7к*Г Значение этой поправки зависит от начального
  угла фо и приведено в следующей таблице:
  10°
  1,0019
  20°
  1,0076
  40°
  1,0304
  60°
  1,0684
  90°
  1,1539
  Рассмотрим задачу о движении точки по шероховатой кривой.
  Задача 32. Лыжник спускается с горы, причем его траекторию можно принять за окружность радиуса г (рис. 5.7). Коэффициент трения скольжения равен /. Определить скорость лыжника в точке ?, если в начальной точке А его скорость равнялась нулю.
  Так как в данном примере нормальная реакция Rn > 0 и vx = и, то уравнения (5.38) будут иметь вид
  т~!Г e mg cos ф"~
  - = — mg sin ф -f Rn.
  (5.49)
  Для исключения реакции умножим второе уравнение на / и сложим с первым уравнением:
  dv , . mv2 / * . ч
  т -гг + / — mg (cos ф — / sin ф).
  Учитывая, что v = гф, имеем
  г -^- + /гф2 = g (cos ф - / sin ф),
  но так как
  то
  д?ф д?ф ^ф __ J_ d (ф2) dt ~~ </ф dt ~~~2 dq> '
  ¦?J^ + 2fa»=-^(cos«p--/sinq>). (5.50)
  Рис. 5.7.
  Уравнение (5.50) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно ф2. Общее решение однородного уравнения
  <*ф2
  + 2/ф2 = 0
  имеет вид
  dq>
  ф2 = Се-2'ф, где С — постоянная интегрирования.
  (5.51)
  115
------------ page 116 --------------
  Частное решение уравнения (5.50) будем разыскивать в виде
  ф^ = A cos ф + В sin ф, (5.52)
  где А и В — неопределенные коэффициенты. Для их определения подставим выражение (5.52) в дифференциальное уравнение (5.50); тогда получим
  (2/Л + В) cos ф + (2fB - Л) sin ф = —^- cos ф - -^- / sin ф.
  Для тождественного удовлетворения этого равенства необходимо, чтобы коэффициенты при sin ф и cos ф в обеих частях равенства были соответственно равны друг другу. Это позволяет получить два уравнения относительно неизвестных А и В:
   it. -А + 2!В = -Ш-
  Отсюда
  2Af + B = -^-, -A + 2fB
  , _ 6gf 2g(l-2/»)
  /¦(i+4/2) ' г(1+4/2) '
  Таким образом, искомое частное решение имеет вид
  ф? - ттгЙрг cos *+vowsin ф- (553)
  Складывая решения (5.52) и (5.53), получим общее решение дифференциального уравнения (5.50)
  ф2 с -и». 6gf co.m , 2g(l-2P)sin<p
  ф Ce +r(l+4F) C0S4)+ г (1+4Р) • (5-&4>
  По условию задачи ф = 0 при q> = а, следовательно, Отсюда находим постоянную
  с - - ттгмп e2f°[3/ cos a+(1 -2f) sin a]-
  Подставляя полученное выражение в формулу (5.54) и учитывая, чта t>2.. г2ф2^ окончательно получаем следующую зависимость v2 от угла ф:
  °2 - - JTW fi2f (а~Ф> [3f cos а + (! - 2/2) sin «J +
  + TlSp"[3/ cos ф + (' ~ 2f > sin ф]- (5,55>
  Нормальная составляющая реакции Rn равна
  Rn = J!!f- + ,ng sin Ф = - 1^. е-2* <*""> [3/ cos a + (l - 2/2) sin a] +
  + -. ™^2 [3/ cos ф + (1 - 2/2) sin ф] + mg sin ф. (5.56) 116
------------ page 117 --------------
  В последний момент рассматриваемого интервала движения, т. е. при <р — л/2, получим
  , / _я_ \
  v2^"l^We a43/cosa + (l-2nsina] + T^(i--2/)^ (5.57)
  _ /ff \
  **---Щр*~ a43/cosa+(l-2/2)sina] + 1^-(l-2/2) + m^
  (5.58)
  Если трением пренебречь и принять / = 0, то по формулам (5.57) и (5.58) найдем
  о2 — 2gr (1 - sin a), Rn = mg (3 - 2 sin a).
  § 5.6. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения
  Пользуясь принципом освобождаемое™, запишем соотношение (3.33) для случая несвободного движения в виде
  d (-^l) =F-dr + R-dry (5.59)
  где R — реакция связи.
  Результат (5.59) формулируется следующим образом: эле- ментарное изменение кинетической энергии при несвободном движении равно элементарной работе как активных сил, так и реакции связи.
  Но при наличии идеальной стационарной связи работа реакции на действительном перемещении точки равна нулю, и теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения имеет тот же вид, что и для свободного движения.
  Если же связь идеальная, но нестационарная, то вектор действительного перемещения dr может быть не перпендикулярен к реакции R. В этом случае реакция направлена перпендикулярно к вектору относительной скорости. Поэтому при нестационарных связях работу реакции следует учитывать.
  Задача 33. Тяжелое кольцо М весом Р может скользить без трения по дуге окружности радиуса г, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОЛ, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А.
  Дано, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, а коэффициент жесткости нити равен с (рис. 5.8).
  В начальный момент кольцо находится в точке В и имеет скорость, равную нулю. Определить давление iV, производимое кольцом на окружность. На кольцо действуют сила Р, сила натяжения нити F и реакция R. Выразим модуль силы F через угол ф (см. рис. 5.8). По условию задачи F = с • ОМ (ОМ — удлинение упругой нити). Так как ОМ = 2r cos ф, то
  F = 2cr cos ф. Следовательно,
  Fn - 2cr cos2 ф, Рп =• - Р cos (у - 2ф) - - Р sin 2ф.
  117
------------ page 118 --------------
  Второе уравнение системы (5.36) в данном случае имеет вид
  - = Pn + Fn + Rn
  - = — Р sin 2ф + 2сг cos2 ф + Rn.
  (5.60)
  Используем теорему об изменении кинетической энергии для нахождения скорости и, принимая во внимание, что начальная скорость кольца v0 = 0:
  :Ap + Ap + AR,
  (5.61)
  где Ар, AF, Ar—соответственно работа сил Р, F и R. По условию задачи связь стационарная и идеальная, следовательно, AR = 0. Для определения АР
  заметим, что
  h = г sin 2ф. Значит,
  Ap~Ph= Pr sin 2ф. (5.62)
  Далее находим
  ЛР~
  сК
  Cki
  Рис. 5.8.
  2 2 '
  где Я.н и Як — удлинения нити при положении кольца в точках В и М.
  По условию задачи длина нити в нерастянутом положении равна ОЛ, следовательно,
  Лн = 2г, Як = ОМ = 2r cos ф.
  Поэтому
  AF = 2сг2 (1 - cos2 ф) - 2сг2 sin2 ф. (5.63)
  С помощью выражений (5.62) и (5.63) преобразуем соотношение (5.61) к виду
  —rt~— = ?г sin 2ф + 2сг2 sin2 ф.
  Подставляя найденное значение mv2 в выражение (5.60), найдем нормальную реакцию Rn
  Rn = ЗР sin 2ф + сг (1 - 3 cos 2ф)
  и, следовательно, так как R = —./V,
  Nn = - 2Р - сг - 3 (Р + cr) cos 2ф.
  § 5.7. Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера)
  Наряду с рассмотренными методами изучения несвободного движения точки удобным для решения первой задачи динамики несвободной точки является метод кинетостатики. Особенно удобен этот способ, когда требуется определить реакцию связи при заданных законе движения точки и активных силах.
  118
------------ page 119 --------------
  Содержание этого метода заключается в следующем. Перепишем уравнение (5.3) в виде
  F + * + (-mw) = 0. (5.64>
  Введя обозначение
  — mw = /, (5.65)
  получим
  F + * + / = 0. (5.66)
  Вектор /, равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускоренияу называется силой инерции.
  Равенство (5.66) представляет собой уравнение движения материальной точки, записанное в форме условия равновесия сил. В этом и заключается существо метода кинетостатики.
  На основании уравнения (5.66) можно утверждать, что в каждый момент движения сумма активной силы, реакции связей и силы инерции равна нулю. При этом следует иметь в виду, что к материальной точке приложены только силы F и /?, т. е. активная сила и реакция. Сила же инерции к точке не приложена. Поэтому на уравнение (5.66) нельзя смотреть как на условие равновесия активной силы, реакции и силы инерции.
  Метод кинетостатики является лишь формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики; однако при решении практических задач такой прием может обладать рядом достоинств.
  Реакция связи в соответствии с уравнением (5.66) равна
  Следовательно, на связь согласно третьему закону Ньютона дей~ ствует сила, равная
  § 5.8. Задачи на применение метода кинетостатики
  Задача 34. Самолет, двигаясь в вертикальной плоскости, выходит из пикирующего полета на горизонтальный полет по окружности радиуса г (рис. 5.9). Скорость самолета в момент выхода на горизонтальный полет максимальна и равна v. Определить, каким должен быть радиус г, чтобы сила реакции, действующая на летчика, была в п раз больше номинального веса летчика (число п называется перегрузкой).
  На летчика, находящегося в самолете, действует сила притяжения к Земле Q и реакция R. Нормальное ускорение самолета (и летчика) равно v2/r и направлено к центру окружности. Сила инерции, равная Qv2/gr, направлена по радиусу окружности в сторону, противоположную нормальному ускорению.
  Запишем уравнение (5.66) в проекции на вертикаль в точке выхода само-
  119
------------ page 120 --------------
  По условию задачи R «
  Отсюда находим
  • rcQ, следовательно,
  Qv2 =
  «Q-Q--
  0.
  *(я-1)' Если, например, а = 900 км/час = 250 м/сек, п ¦* 5, то
  2502
  9,81
  ^ 1600 л.
  ¦(5-1)
  В этом случае давление тела летчика на сиденье в пять раз больше его нормального веса, и летчик будет чувствовать себя так, как если бы его вес возрос в пять раз.
  Любопытен другой частный случай, относящийся к условиям, имитирующим ощущение невесомости. Для этого нужно, чтобы реакция сиденья равнялась нулю; при этом давление № летчика на сиденье также равно
  нулю. Здесь следует принять п — 0 и тогда по полученной выше формуле найдем
  /
  г!
  / i
  1
  
  *
  
  imp
  \j
  \
  \щ
  а)
  б)
   и^_
  g '
  Знак минус означает, что траектория полета должна иметь выпуклость сверху, как это показано на рис. 5.9.6.
  Задача 35. Летчик на самолете выполняет правильный вираж со скоростью v. Угол крена ра- Рис. 5.9. вен у- Определить радиус вира
  жа г. Правильным виражом называется полет самолета без скольжения по .дуге окружности в горизонтальной плоскости и неизменным углом крена.
  Будем рассматривать самолет как материальную точку, к которой приложены следующие силы: сила притяжения к Земле Р, подъемная сила F, сила
  тяги Ф и сила лобового сопротивления Q (рис. 5.10). Согласно (5.66) будем иметь
  Р + Р + Ф + <? + /-0. (5.67)
  V2
  Ускорение центра тяжести самолета wn *= —,
  Pv2 а модуль силы инерции /
  В проекциях на оси ние (5.67) дает
  Ро2
  --fPsinY = 0, -P + Fcosy = 0, O-Q==0.
  (5.68)
  gr координат
  уравне-
  Рис. 5.10.
  gr
  Из последнего уравнения следует, что при выполнении правильного виража Ф = Q, т. е. сила тяги уравновешивается силой лобового сопротивления. Из второго уравнения можно найти, что сила притяжения к Земле уравновешивается вертикальной составляющей подъемной силы
  Р == F cos у.
  120
------------ page 121 --------------
  Из первого уравнения определяется радиус виража
  Pv2 _ у2 Г ~ gF sin y g tg Y '
  Если будет нарушено какое-нибудь из равенств (5.68), то правильный* вираж станет неосуществимым (возникает скольжение, а также снижение или- подъем самолета). Следует иметь в виду, что данному углу крена y соответствует определенная скорость полета (она определяет подъемную силу).
  Задача 36. Шарнирно-стержневая система (рис. 5.11) вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью со. Стержни МА и MB считать невесомыми и имеющими длину / каждый. Определить усилия в стержнях» если в точке М находится сосредоточенная масса т и угол ZAMB = 2а.
  Ускорение массы т равно co2J cos а и направлено по горизонтали к оси. вращения. Соответственно сила инерции равна / = mco2/ cos а и направлена по горизонтали от оси вращения. Обозначая через 7"i и Т2 усилия в стержнях, напишем уравнение (5.66)
  mg + T1 + T2 + J=Q.
  В проекции на оси хну получим
  — Тх cos а — Т2 cos а Н- mco2/ cos а = О,
  — mg + 7"| sin а — Т2 sin а = 0.
  Решив эту систему, найдем
  Тх-
  mco2/
  mg 2 sin a
  тсо2/
  mg
  2 sin а *
  Рис. 5.11.
  Заметим, что при малых значениях угловой скорости со усилие Т2 отри- цательно, т. е. нижний стержень сжат (силой тяжести). При со = 1/ у-т-— усилие Т2 равно нулю, а при больших значениях со оно положительно.
  § 5.9. Явление невесомости
  Подробно рассмотрим явление, которое по установившейся традиции, хотя и не вполне точно, называется невесомостью. Предположим, что платформа А движется по вертикали с заданным ускорением wy причем на платформе установлены пружинные весы, на которых лежит груз С. Стрелка весов фиксирует силу, с которой груз давит на весы (рис. 5.12). Когда платформа находится в покое (или движется равномерно), стрелка весов устанавливается против деления шкалы, соответствующего весу груза С. Выясним, какое давление оказывает груз на весы, если платформа движется вниз с ускорением w.
  На груз действуют две силы: сила тяжести mg и реакция R (рис. 5.13) со стороны чашки весов. Уравнение движения груза имеет вид
  R + mg = mw (5.69)
  или, в проекции на вертикальную ось х (положительное направление—вниз):
  mw = mg — R.
  121
------------ page 122 --------------
  Следовательно, величина реакции весов равна
  R = m(g—w).
  (5.70)
  *t П
  \с\ 1 Jj
  «3>
  W
  У
  го
  Щ
  Рис. 5.13.
  Такую же величину имеет направленное вниз давление R', которое тело оказывает на весы.
  Понятно, что деформация пружины под действием силы R' окажется меньше, чем в состоянии покоя. Стрелка весов остановится против деления шкалы, на котором мы прочтем новый «вес» груза; он окажется равным mg — mw. Его отношение
  к истинному весу составляет
  /г=1 (п — коэффициент
  перегрузки). Конечно, сила притяжения тела к Земле не 1У| | | | I н \# изменилась, так как гравита
  ционное поле Земли не зависит от того, движется ли груз или находится в покое. Изменились лишь силы взаимодействия между грузом и чашкой весов. . Рис. 5.12. Рис. 5.13. Продолжим опыт далее и
  будем увеличивать ускорение w. При этом реакция, как это видно из (5.70), уменьшается. Наконец, при до = g она станет равной нулю и стрелка весов установится на нулевом делении шкалы. Взаимодействие между грузом и чашкой весов исчезает. Говорят, что наступила «невесомость».
  Если ускорение w превзойдет значение g, то груз оторвется от весов и будет свободно падать. Платформа, опускающаяся с большим ускорением, будет удаляться от падающего груза. Если же груз связан с весами, то платформа будет увлекать его вниз, причем перегрузка станет отрицательной и сила действия груза на весы окажется направленной вверх.
  Вернемся к состоянию видимой невесомости, ког- Рис 5.14. да перегрузка равна нулю. Это состояние приводит к непривычным ощущениям у человека, находящегося в лифте, в космическом корабле или самолете. Он действительно перестает чувствовать вес своего тела.
  Для того чтобы объяснить смысл этого явления, разберемся в причине ощущения веса (или весомости), к которому привыкает человек в обычных земных условиях.
  В обычных условиях между отдельными частями человеческого тела существуют силы взаимодействия. Рассмотрим, например, силы, действующие на голень стоящего на полу человека (рис. 5.14).
  122
------------ page 123 --------------
  На голень, кроме силы тяжести Р, действует реакция N, приложенная в коленном суставе, и реакция пола R (речь идет о весьма схематичном представлении действительных сил).
  Силы Р, N и R уравновешены. Аналогичная картина распределения усилий может быть изображена и для всех других мысленно выделенных частей тела.
  Таким образом, массовые силы (силы тяжести) и поверхностные силы (реакция пола), приложенные к сложной системе материальных точек — человеческому телу, вызывают появление многочисленных внутренних сил.
  Именно появление этих внутренних сил (натяжение мышц, реакции суставов, давление на нервные окончания вестибулярного аппарата и т. п.) вызывает у человека ощущение весомости. Человек привыкает к ощущению всей этой совокупности сил.
  Предположим теперь, что человек опускается вниз с ускорением g. Как было установлено выше, при этом исчезает реакция со стороны опоры, т. е. R = 0.
  Следовательно, уравнение движения голени примет вид
  P + tf = y?. (5.71)
  Отсюда получим N = 0. Рассматривая уравнения движения других мысленно выделенных частей человеческого тела, придем к аналогичному результату: исчезают внутренние силы взаимодействия между отдельными частями тела. Исчезает и ощущение весомости. В этих условиях теряют смысл привычные понятия «верх» и «низ».
  Оттолкнувшись от опоры, человек приобретает дополнительную скорость и движется до тех пор, пока не натолкнется на преграду.
  Конечно, внутренние силы могут возникнуть и в таких условиях. Однако их про- Рис. 5.15. исхождение на этот раз не связано с тяготением. Человек может, например, взять в руки эспандер и растягивать его обеими руками. При этом обязательно возникнут внутренние силы — силы натяжения многочисленных мышц, которые будут возрастать по мере растяжения пружины эспандера.
  На каплю воды (рис. 5.15) продолжают действовать силы поверхностного молекулярного натяжения, и они не дадут ей разрушиться. Эти внутренние силы вызовут появление давления в капле, т. е. опять возникнут силы взаимодействия между отдельными материальными точками механической системы.
  Перейдем теперь к выяснению более общих условий, при которых возможно появление невесомости. Для этого определим,
  #
  123
------------ page 124 --------------
  пользуясь полученным уже представлением, более точно понятие невесомости.
  Представим себе, что тело Q (рис. 5.16) движется поступательно с ускорением w относительно инерциальной системы отсчета под действием силы F.
  Выделим в теле Q произвольный объем массы т. На него, вообще говоря, действуют две силы, внешняя сила / и равнодействующая всех внутренних сил R.
  Мы будем говорить, что тело Q находится в условиях невесомости, если равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна нулю.
  Отсюда можно вывести условия существования невесомости. Напишем уравнение движения для всего тела и для выделенной
  части тела Q массы /л; массу всего тела примем равной М
  Afw = F, mw = / + jR. (5.72)
  Используя условие невесомости R = 0, из (5.72) получим
  Рис 5.16. -?-- — - (5.73)
  Mm v '
  Условие (5.73) должно выполняться для любой массы гп, выделенной в теле. Оно имеет простой смысл.
  Для обеспечения невесомости необходимо, чтобы внешние силы были пропорциональны массам, а их направление для всех материальных точек было одинаковым.
  Это условие является также и достаточным. Используя (5.73), из уравнений (5.72) можно получить
  Силы гравитации как раз обладают этим замечательным свойством. Они пропорциональны массам тех тел, на которые действуют, и если тела достаточно малых размеров, то направление сил можно считать для всех точек одинаковым.
  При полете стабилизированного космического аппарата с выключенным двигателем и вне пределов атмосферы экипаж, находящийся на его борту, находится в условиях, близких к невесомости. Условие (5.73), если пренебречь размерами тел, для него выполняется, так как единственные активные силы, действующие на аппарат и его экипаж, — гравитационные. Разумеется, это условие соблюдается только при поступательном движении аппарата [иначе ускорения всех точек нельзя считать одинаковыми и условие (5.73) оказывается несправедливым].
  124
------------ page 125 --------------
  в
  ^
  Предположим теперь, что включен реактивный двигатель, развивающий силу тяги Ф (рис. 5.17). Тогда к космическому кораблю, кроме силы тяготения F, приложена еще сила Ф. В то же время активные силы, действующие на тело Р, не изменились. Нарушено условие невесомости (5.73). Ф
  При включении двигателей все те- '
  ла, незакрепленные в кабине, переместятся в сторону, противоположную вектору тяги. Опять возникнет ощущение «весомости», хотя при этом сила Рис. 5.17. тяготения может и не действовать.
  Такое же явление возникает и при торможении аппарата в атмосфере. Сила сопротивления S (рис. 5.18) действует только на аппарат и приложена к его поверхности. К человеку, находящемуся в кабине, она не приложена, поэтому нарушается условие невесомости — космонавта отбрасывает в сторону, противополож- V я ную S, т. е. в направлении вектора скорости v (рис. 5.18).
  Следует отметить, что на участке торможения реакция R может достигать значительной величины. Ее мож- Рис. 5.18. но определить, исходя из обычного
  уравнения движения (5.72), если только пренебречь силой тяготения /, которая мала по сравнению с R. Из (5.72) имеем
  Отношение R к весу mg (перегрузка) здесь окажется равной
  п = -
  mg g
  Перегрузки нередко достигают величин порядка 8 -г- 10.
  В предыдущей главе было показано, что при маневре самолета в вертикальной плоскости может быть достигнута нулевая перегрузка или невесомость. Для этого должен быть осуществлен маневр типа «горки» с радиусом кривизны траектории в верхней точке, определяемым по формуле
  
  (5.74)
  Например, при v = 720 км/час = 200 м/сек радиус кривизны должен быть равен 4,08 км.
  В окрестности этой точки условие невесомости строго не будет соблюдаться, тем не менее состояние человека окажется близким к невесомости. Такой имитацией явления невесомости пользуются при тренировках летчиков-космонавтов.
  125
------------ page 126 --------------
  Совершенно аналогичное явление может наступить и в земных условиях — при движении автомобиля по мосту. В средней точке моста при соответствующей скорости
  определяемой в зависимости от кривизны пролета по формуле (5.74), наступит мгновенное состояние невесомости.
  Состояние, довольно близкое к невесомости, испытывает парашютист при свободном падении с большой высоты с нераскрытым парашютом. Пока сопротивление атмосферы мало (в начальный период и на большой высоте), ускорение падения близко к g и поэтому состояние парашютист мало отличается от невесомостл.
  Более длительное состояние невесомости можно получить при помощи так называемого «баллистического броска» самолета. Для этого самолет должен выдерживать строго скорость и траекторию полета тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте.
------------ page 127 --------------
  ГЛАВА VI
  ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
  § 6.1. Переносная и кориолисова силы инерции
  В предыдущих главах мы опирались на основное уравнение динамики точки (второй закон Ньютона), которое справедливо только в инерциальных системах отсчета. Напомним, что инер- циальной называется такая система отсчета, в которой справедлив принцип инерции (первый закон Ньютона).
  Однако легко себе представить такую систему отсчета, в которой первый закон Ньютона не соблюдается. Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. В сущности, неинерциальной является и привычная для нас система отсчета, связанная с Землей. Впрочем, только весьма тонкие опыты (например, наблюдения за отклонением падающих тел к востоку, за вращением плоскости качания маятника) могут обнаружить неинерциаль- ность геоцентрической системы отсчета. В большинстве приложений систему координат, жестко связанную с Землей, можно считать инерциальной.
  Значительно заметнее проявляется неинерциальность систем отсчета, связанных с ускоренно движущимися техническими объектами — от ускоренно поднимающегося лифта до искусственного спутника или космического корабля, совершающего взлет с Земли. Если связать систему отсчета с кораблем, автомобилем или самолетом, движущимся по криволинейным путям или, тем более, с ротором быстроходной турбины, то неинерциальность окажется столь значительной, что основное уравнение динамики окажется неверным. Значит, окажутся неверными и многочисленные следствия из этого уравнения, доказанные в предыдущих главах.
  Настоящая глава посвящена изучению движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета. Ниже будет дан метод составления уравнений движения материальной точки
  127
------------ page 128 --------------
  в неинерциалькой системе отсчета. В этом, собственно, и состоит основная задача, которую предстоит решить.
  Главная идея, которая положена в основу вывода соответствующих динамических уравнений, связана с задачей чисто кинематического характера, которую мы рассматривали в кинематике: по заданному относительному движению точки и при известном движении подвижной системы координат определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки. Мы воспользуемся этими результатами для того, чтобы научиться составлять уравнения движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета.
  Предположим, что известны силы, которые действуют на материальную точку, а также задано движение подвижной системы координат относительно некоторой инер- циальной системы (в дальнейшем Рис. 6.1. будем ее называть неподвижной си
  стемой). Поставим своей задачей найти относительное движение точки, т. е. движение в неинерциальной системе отсчета.
  Напомним, что задать движение подвижной системы координат можно при помощи трех координат ее начала (рис. 6.1): Xo(t)y #o(0> zo(t) и трех углов Эйлера \|>, 9, <р.
  В неподвижной системе справедливо основное уравнение динамики
  mw~F + R. (6.1)
  Здесь, как и выше, F— равнодействующая всех активных сил, R— равнодействующая реакций связи, т — масса материальной точки, w — ее ускорение.
  Используем теперь теорему Кориолиса (т. 1, § 13.3) и выразим абсолютное ускорение через относительное, переносное и кориолисово
  w = wr + we H- wc. (6.2)
  Подставляя (6.2) в (6.1), получим
  mwr + mwe + mwc = F + R.
  Перенося часть членов в правую часть, придем к векторному уравнению
  mwr = F + R + (- mwe) + (- mwc). (6.3)
  Отсюда ясно, что произведение массы материальной точки на ее относительное ускорение не равно сумме действующих на нее сил.
  128
------------ page 129 --------------
  Последние два вектора в правой части (6.3) можно рассматривать как «поправки» ко второму закону Ньютона. Их должен внести наблюдатель, находящийся в подвижной системе отсчета, для того чтобы в этой системе отсчета основное уравнение динамики сохранило форму второго закона Ньютона.
  Векторы —mwe и —mwc называются «силами инерции». Первый называется переносной силой инерции, второй — кориоли- совой силой инерции.
  Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями
  1е =* — mwe Ic~ — tnwc = — 2m (со X vr), (6.4)
  где со— угловая скорость переносного движения.
  Таким образом, уравнение (6.3) приобретает привычную форму основного уравнения динамики (второго закона Ньютона):
  mWr = F + R + Je + /,. (6.5)
  Мы получили следующее правило:
  Для того чтобы составить уравнение динамики материальной точки в подвижной (неинерциальной) системе координат по тем же правилам, что и уравнения в абсолютном движении, необходимо, кроме всех действующих на точку активных сил и сил реакций, приложить к ней переносную и кориолисову силы инерции.
  Остановимся на способах определения сил инерции и напомним правила вычисления соответствующих ускорений.
  Для того чтобы найти переносное ускорение, необходимо знать движение подвижной системы координат. Формула для определения переносного ускорения имеет вид (т. 1, § 13.3)
  we « w0 + со X (со X f>) + е X p. (6.6)
  Здесь со, е — угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы координат, wQ — ускорение ее начала и (> — радиус-вектор точки в подвижной системе координат (рис. 6.1).
  Во всех случаях вычисления переносного ускорения и переносной силы инерции полезно представлять переносное ускорение как абсолютное ускорение точки, закрепленной в относительной системе координат.
  Для определения кориолисова ускорения каждый раз необходимо перемножать два вектора, со и vr (рис. 6.2), так как
  wc = 2(0 X vr.
  При составлении уравнений движения материальной точки относительно поступательно движущихся систем отсчета следует иметь в виду, что кориолисовы силы инерции отсутствуют
  5 Н. В. Бутенин и др., т. 2
  129
------------ page 130 --------------
  (ю = 0), а переносные силы инерции не зависят от положения, занимаемого точкой в подвижной системе отсчета.
  Задача 37. Точка М неподвижна в неподвижной системе отсчета х{Оу^ (рис. 6.3) и находится на расстоянии ОМ от ее начала. Система координат хОу вращается равномерно против хода часовой стрелки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка с угловой скоростью со. Составить уравнение движения точки М в подвижной (вращающейся) системе координат хОу.
  Так как точка М неподвижна, то ее абсолютная скорость равна нулю. Переносная скорость ve = ю X ОМ. Таким образом,
  v = ve + Vr = О, vT = — Ve == — <й X ОМ.
  Следовательно, в относительном движении точка движется по окружности с центром в О, но в направлении, противоположном вращению подвижной системы координат. Для наблюдателя она будет двигаться по ходу часовой стрелки. В соответствии с этим изобразим вектор относительной скорости (см. рис. 6.3) vr.
  Переносное ускорение найдем, закрепив мысленно точку в подвижной системе координат. Тогда точка будет вынуждена участвовать во вращательном движении подвижной системы. Поскольку вращение равномерное, то вращательное ускорение равно нулю и остается только осестремительиое ускорение, равное по величине
  we = со2/?.
  Оно направлено к точке О.
  Переносная сила инерции Je = —mwe
  направлена в противоположную сторону (от центра); ее часто называют центробежной силой инерции. Величина этой силы J с = /псо2/?.
  Перейдем теперь к определению кориолисовой силы инерции. Вектор угловой скорости вращения системы хОу направлен перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя. Следовательно, векторное произведение 2© X vr направлено в ту же сторону, что и переносная сила инерции. Однако кориолисова сила инерции противоположна по направлению wc и поэтому направлена к центру О. Величина кориолисовой силы инерции определяется из равенства
  Jcss2m\&Xvr\ — 2nmvr sin — = 2m(uvr = 2mco2/?.
  Таким образом, кориолисова сила инерции оказалась противоположной переносной силе инерции. Равнодействующая этих сил направлена к центру и равна по величине тсо2/?. Уравнение относительного движения принимает вид
  mwr = — m<D2R.
  § 6.2. Условия относительного покоя
  Из основного уравнения (6.5), в частности, вытекают условия относительного покоя. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю (vr = 0, wr = 0), следовательно, и кориолисова сила инерции обращается в нуль
  Рис. 6.3.
  130
------------ page 131 --------------
  (так как vr = 0). Уравнение относительного покоя приобретает вид
  F + * + /, = 0. (6.7)
  Если выполняется условие равновесия (6.7), то отсюда вовсе не следует, что после придания материальной точке начальной скорости точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, как это имеет место в инерциальных системах. Дело в том, что при сообщении точке относительной скорости, во-первых, появляется кориолисово ускорение и Jc = —2т (<о X vr) Ф О и, во- вторых может измениться переносное ускорение (оно зависит от положения точки в подвижной системе отсчета) и, следовательно, изменится переносная сила инерции.
  Из уравнения (6.5) можно вывести еще одно следствие. Найдем такие системы координат, в которых выполняется первый закон Ньютона. Для этого достаточно потребовать, чтобы при отсутствии сил точка двигалась равномерно и прямолинейно. Из (6.5) следует, что
  /, + /с = 0. (6.8)
  Отсюда ясно, что условие (6.8) будет выполняться, если переносная сила инерции в любой точке равна нулю
  Je = — mwe = 0.
  Действительно, в этом случае подвижная система отсчета должна двигаться поступательно равномерно и прямолинейно, но тогда ее угловая скорость равна нулю и кориолисова сила инерции также обращается в нуль. Уравнение (6.8) выполняется.
  Другими словами, для того чтобы подвижная система координат была инерциальной, достаточно, чтобы ее начало двигалось с постоянной скоростью, а угловая скорость системы все время равнялась нулю:
  w0 = 0, <о = 0.
  В этом случае всегда равны нулю обе силы инерции и основное уравнение (6.5) приобретает вид
  mwr=-F-h R.
  Следовательно, в этом случае соблюдается и второй закон Ньютона.
  Таким образом, если существует хотя бы одна система отсчета, в которой выполняются законы Ньютона, то существует бесчисленное множество таких систем. Все они движутся друг относительно друга поступательно, равномерно и прямолинейно.
  5*
  131
------------ page 132 --------------
  § 6.3. Применение уравнений относительного движения
  и покоя
  Zk
  А
  Je
  IT
  R-
  ff
  X
  m
  Рис. 6.4.
  1. Вращающийся космический аппарат. Создание искусственного поля притяжения. Космонавты недалекого будущего, находясь в продолжительном межпланетном полете, будут испытывать известные трудности физиологического характера, в частности, из-за явления невесомости. Имеются проекты космических кораблей, в которых предполагается использовать вращение вокруг центра масс всего аппарата или его кольцевой кабины
  для создания искусственного поля притяжения (рис. 6.4).
  Определим, с какой угловой скоростью должна вращаться кольцевая кабина, наружный радиус которой /?, чтобы имитировать силу земного тяготения. Предполагаем, что аппарат вращается с угловой скоростью (о относительно оси z некоторой инерциальной системы координат и летит с выключенными двигателями.
  Тогда во вращающейся кабине на человека, находящегося в относительном покое, действует сила реакции опоры N. Кроме того, необходимо согласно уравнению (6.7) приложить переносную силу инерции Je. Получим уравнение равновесия
  tf + /# = 0. (6.9)
  Здесь Je — центробежная сила инерции. Если пренебречь размерами человека по сравнению с радиусом /?, то
  /, = то>2/?. (6.10)
  Реакция опоры должна быть направлена к оси вращения.
  Отсюда ясно, что человека будет прижимать к наружной боковой стенке корабля. Эта стенка станет для него «полом». Величина реакции на основании выражений (6.9) и (6.10) равна
  ПотребуехМ, чтобы эта величина была равна весу mg в земных условиях:
  mg = m(D2/?.
  Отсюда найдем угловую скорость вращения:
  132
------------ page 133 --------------
  Пусть, например, наружный радиус кольца R = 20 м\ тогда
  ш =
  : V^W = 1>42 сек~1> ® ^ "^Г = °>225 об/^*.
  Таким образом, один полный оборот будет совершаться примерно за четыре с половиной секунды.
  2. Измерение ускорений движущихся тел. Для управления движением ракеты на активном участке, самолета, подводной лодки и т. п. необходимо знать положение и скорость какой-либо точки аппарата, а также угловые координаты аппарата. По вектору ускорения некоторой точки аппарата можно путем интегрирования найти скорость, а затем и координаты этой точки.
  Рассмотрим принцип действия простейшего измерителя ускорений — акселерометра (рис. 6.5). Допустим, что аппарат поднимается вертикально вверх. Тогда на груз Му укрепленный на пружине, ось которой (ось чувствительности) совпадает с направлением движения аппарата, действуют две силы: сила тяжести Р и сила упругости пружины F.
  Если аппарат поднимается равномерно, то эти силы взаимно уравновешиваются и стрелка акселерометра устанавливается на делении mg, указывая вес груза М.
  При ускоренном движении, когда ускорение направлено вверх, в уравнение относительного покоя необходимо включить «ще переносную силу инерции Je = —mw. Тогда уравнение равновесия согласно (6.7) примет вид
  P + F + /, = 0.
  В проекции на вертикаль Oz^ это дает
  - Р + F + (- mw) = 0, F = m(w + g).
  Стрелка установится против соответствующего деления, измеряя силу F. Величина w + g называется кажущимся ускорением. Шкалу можно градуировать не в масштабе сил, а в масштабе ускорений, так как кажущееся ускорение шк пропорционально силе, действующей на пружину,
  Рис. 6.5.
  w
  ^w + g = — .
  (6.11)
  133
------------ page 134 --------------
  Отсюда ясно, что при непрерывном измерении шк*) можно определить из (6.11) ускорение аппарата относительно Земли
  w = wK-g. (6.12)
  Теперь, чтобы получить текущее значение скорости, нужно проинтегрировать сигнал w, начиная с момента начала движения
  v(t)=j[wK{t)-g]dt.
  Эта операция может выполняться электронным прибором. С помощью второго такого прибора интегрируется скорость и определяется координата z точки крепления акселерометра
  t z= j v{t) dt.
  Для получения трех координат аппарата, очевидно, необходимо иметь три акселерометра. Их можно расположить по трем взаимно перпендикулярным осям. Измеряя кажущееся ускорение по каждой из осей, определяют затем проекции скорости и координаты движущегося аппарата.
  Следует, однако, заметить, что при повороте тела на ось чувствительности акселерометра проектируется только часть
  ускорения g. Для определения проекций этого вектора необходимо знать угловые координаты (например, углы Эйлера) аппарата. Такую информацию могут дать другие бортовые приборы — гироскопы.
  3. Размыв берегов рек. Замечено, что в северном полушарии правые берега рек обрывистые, а левые пологие. Это явление может быть объяснено следующим образом (правило Бэра).
  На некоторый объем воды, заключенный между двумя сечениями реки, текущей с юга на север (рис. 6.6), действуют три силы: сила тяжести Р, реакция дна Q, реакция берега F. Для записи уравнения динамики в неинерциальной геоцентрической системе координат, которая равномерно вращается с угловой скоростью со (один оборот в сутки), необходимо ввести
  *) Колебаниями массы М пренебрежем.
  134
------------ page 135 --------------
  в уравнение переносную и кориолисову силы инерции. Тогда согласно (6.5) получим уравнение движения
  mwr - F + Р + Q + Je + Jc. (6.13)
  Переносное ускорение направлено к оси вращения Земли. Следовательно, переносная сила инерции направлена в противоположную сторону. Кориолисово ускорение находится по правилу векторного произведения 2со X vr и поэтому направлено по параллели на запад. Кориолисова сила инерции направлена в противоположную сторону — на восток.
  Если спроектировать (6.13) на направленную на запад касательную к параллели, то получим
  F-/c = 0. (6.14)
  Здесь мы воспользовались тем, что относительное ускорение расположено в плоскости меридиана. Оно направлено при равномерном течении к центру Земли. Из (6.14) получим (см. рис. 6.6)
  F = 2т(оиг sin ф, (6.15)
  где ф — геоцентрическая широта места (угол между радиусом ОМ и экваториальной плоскостью).
  Итак, сила реакции берега направлена налево, если смотреть по течению реки. Значит, сила давления воды на берег по третьему закону Ньютона должна быть направлена противоположно, т. е. она действует на правый берег реки (заметим, что это правило не меняется и для рек, текущих с севера на юг). В южном полушарии, как нетрудно видеть, размываются левые берега рек.
  Формулу (6.15) можно привести к виду
  F _ 2Pvr(s) sin ф
  где / — расстояние между сечениями реки, Р — вес выделенного объема воды. Величина q = Pvr/l называется секундным сбросом реки. Величину F/1 = f назовем погонным давлением. Тогда
  р _ 2щ sin ф
  Для реки со сбросом q = 2000 т/сек на широте ф = 60°
  f- 2-2Q0Q У* - 2л -Q25 г/и ' - \ЪГ 2 24 • 3600 ~ U>20 Т,М-
  Если правый берег считать отвесным с подводной частью глубиной в 10 м, то на каждый квадратный метр будет действовать
  250 ос р сила р = -tq- = 25 кГ.
  135
------------ page 136 --------------
  N
  
  
  f w
  \ ^
  ^xV.
  УУХ
  
  f У J
  Рис. 6.7.
  В результате длительного воздействия таких сравнительна небольших сил берег с течением времени размывается. Река «наступает» на правый берег, оставляя слева по течению низменные луга, а справа крутые обрывы.
  4 Уклонение линии отвеса от направления радиуса Земли. Рассмотрим силы, действующие на материальную точку М, подвешенную на нити (рис. 6.7). Будем предполагать, что точка находится в покое относительно Земли.
  Обозначим силу тяготения через F (F = mg0, причем g0 — гравитационное ускорение), переносную силу инерции, обусловленную вращением Земли, через 1е и силу натяжения нити через Т. Тогда условием равновесия точки М будет векторное равенство (6.7). В нашем случае
  Г + F + /« = 0. (6.16)
  На рисунке 6.7 геоцентрическая широта обозначена через ф. Угол ср между линией отвеса и экваториальной плоскостью называется географической широтой. Из чертежа ясно, что угол у между радиусом Земли и линией отвеса связан с ф и ф соотношением
  Ф = ф + у- Спроектируем (6.16) на направление нити и на перпендикуляр к этому направлению:
  Т — F cos у + h cos (ф + y) — 0»
  F sin y — h sin (ф + y) = 0.
  Пренебрегая малой величиной y по сравнению с геоцентрической широтой ф, из первого уравнения получим
  Т « F — Je cos ф = mg0 — /тгсо2/? cos2 -ф = m (g0 — сэ2р cos -ф), (6.17)
  где р — радиус географической параллели.
  Силу, равную по модулю и направленную противоположно натяжению У, называют силой тяжести и обозначают через mg. Из этого определения следует, что сила тяжести равна геометрической сумме силы притяжения F и силы инерции переносного движения, вызванного вращением Земли.
  Из равенства (6.17) можно найти ускорение силы тяжести на поверхности Земли
  2 = ?o(l -^-созф).
  Таким образом, g — переменная величина, зависящая от широты места.
  136
------------ page 137 --------------
  Наименьшее значение она имеет на экваторе:
  ё = е°(1 ~^) = 9'82-ЫЫ2б37°-105==9>78 м1°ек2-
  Из второго уравнения можно найти угол отклонения у отвесной линии от радиуса Земли, т. е. разность между географической и геоцентрической широтами:
  со2/? sin 2-ф Например, на широте Ленинграда (г|з = 60°)
  Максимальное отклонение наблюдается на широте ф = 45°
  (Y«60.
  Переносной силой инерции, вызванной вращением Земли, объясняется также и сжатие Земли. Земля имеет форму геоида, т. е. тела, нормаль к поверхности которого совпадает в каждой точке с линией отвеса. Поверхность геоида заменяют обычно эллипсоидом вращения, сжатие которого по данным измерений равно
  а-Ь 1
  а 298,3 *
  Как правило, сжатием Земли пренебрегают и считают, что сила тяжести mg направлена вдоль радиуса к центру Земли.
  5. Маятник Фуко. В 1851 году Фуко продемонстоировал в Пантеоне опыт с маятником, подвешенным на длинной нити. Пло- _-J!L-?\ скость качания маятника мед- ^*~ Т^\А>^ г/ денно вращалась в направле- / \ ^^л\/
  яин, противоположном вращению AzZ~~ ¦ J^^T^^
  Земли. / ! ~~\\
  Для объяснения эффекта Фу- / a/ | \ \
  ко воспользуемся уравнениями от- ' | 11
  носительного движения в систе- ' I
  ме координат, связанной с Зем- Рис. 6.8.
  лей. Направим ось z по линии
  отвеса в данной точке Земли вверх, ось х — перпендикулярно к оси z на восток и ось у — по меридиану на север.
  Проекции угловой скорости Земли на оси прямоугольной системы координат выражаются через географическую широту места ф (рис. 6.8):
  ых = 0, <оу = со cos ф, о>2 = о) sin ф.
  Уравнение движения маятника имеет вид
  mwr = F + T + Je + Jc. (6.18)
  137
------------ page 138 --------------
  Здесь Т — реакция нити, F — сила притяжения Земли, /с —ко- риолисова сила инерции, Je — переносная сила инерции.
  Выше было показано, что сила притяжения F, складываясь с переносной силой инерции /<>, дает силу тяжести mg, направленную параллельно линии отвеса, т. е. параллельно оси г.
  Введем цилиндрическую систему координат (рис. 6.9) и будем определять положение маятника при помощи трех координат, р, 8 и z (см. также т. 1, § 9.10). В положении равновесия
  маятник находится в начале координат.
  Спроектируем на оси ер, е0, k угловую скорость вращения Земли
  ю0 = ю cos ф sin 0, юе = ю cos <р cos 0, юг = cosinqp. Проекции линейной скорости будут ар = Р> t>e = Рй> vz = 2.
  Поэтому кориолисова сила принимает вид
  Jс = — 2тю X vr = — 2т
  юп
  инерции
  eQ k юе ю2
  (6.19)
  Реакция нити Т имеет проекции на оси цилиндрической системы, определяемые равенствами
  Рис. 6.9.
  Г = 1 р
  1 I »
  Ге = 0, Г2=Г
  /-Z
  (6.20)
  Запишем теперь уравнение (6.18) в проекциях на оси ер> е0, к. При этом воспользуемся тем, что сумма F + /e= mg направлена по оси z и, следовательно, проекции ее на ер и еа равны нулю. Используя (6.19), получим
  /л дор = 2тюр$ sin ф — 2тю2 cos ф cos 0 — Т у,
  mwQ = 2ni(uZCOsq)sinQ — 2mcopsin ф, }• (6.21)
  mwz= — mg + 2тюр cos ф cos 0 — 2тюрб sin ф + Т ~-т^-.
  Замети
  м, что z = l~ j//2-P2 = /(l-]/l «-{г), а п
  роекции
  ускорения на оси цилиндрической системы координат будут шр = р-62р, ше = р0 + 2р0, wz=*z.
  Уравнения (6.21) содержат три неизвестные функции р, 0, Т (г выражается через р). Интегрирование этой системы в общем
  138
------------ page 139 --------------
  виде оказывается довольно сложным. Поэтому мы ограничимся приближенным интегрированием. При отклонениях маятника от вертикали, малых по сравнению с его длиной (р <^С /), можно считать z = z = z = 0.
  Тогда из второго уравнения получим
  или
  рб 4- 2рб = — 2сор sin ф -^ (р26 + сор2 sin ф) = 0.
  Отсюда следует первый интеграл (интеграл площадей):
  р2б + сор2 sin ф = с.
  Предположим, что в какой-нибудь момент времени маятник проходил через начало координат; тогда р = 0 и с = 0. Следовательно,
  б + со sin ф = 0, б = — со sin ф.
  Отсюда видно, что плоскость качания маятника вращается в сторону, противоположную вращению Земли, но с меньшей угловой скоростью.
  6. Отклонение падающих тел к востоку. При падении материальной точки вблизи поверхности Земли на нее действует сила тяготения F = mgo. Присоединяя к ней переносную и ко- риолисову силы инерции, напишем основное уравнение относительного движения для свободной материальной точки
  mwr = F 4- Je 4- Jc.
  Сумму переносной силы инерции и силы тяготения можно заменить силой тяжести F + Je = mg и тогда
  mwr = mg 4- J с»
  Вектор скорости свободно падающего тела близок к вертикали места. Поэтому кориолисова сила инерции /с = —2mco X vT почти перпендикулярна к плоскости меридиана (рис. 6.10) и направлена на восток. Спроектируем последнее уравнение на ось г, направленную по вертикали вверх, ось х, направленную на восток, и ось г/, направленную на север,
  тх = — 2mco (? cos Ф — cor/ sin ф),
  mi]= — 2т&х sin ф,
  mz = — mg + 2тх& cos ф.
  (6.22)
  139
------------ page 140 --------------
  Здесь ф — географическая широта места, g— ускорение силы тяжести на широте ф.
  Интегрирование системы проведем сначала для со = 0. Полагая, что в начальный момент времени х0 (0) = #0 (0) = zQ (0) = 0,. получим
  *о(') —0, уо(') = 0, Ш--8*.
  Найдем теперь поправки к этому приближенному решению, полагая
  х = х0 + хи у=Уо + уи г~г0 + гг.
  После подстановки в (6.22) получим
  хх = 2<agt cos ф, ух = 0, гх=* 0. Отсюда при нулевых начальных условиях имеем
  Х\ = &gt2 cos ф, jcj =-^|-cos ф, i/i=0, z{ = 0. (6.23> При падении с высоты h время падения связано с / равенством
  Полное отклонение на восток получим, подставляя в (6.23) время t:
  1 (2h\9h
  § 6.4. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
  Все общие теоремы динамики точки сохраняют свою форму и в относительном движении. Не надо только забывать присоединять в разряд действующих на точку сил переносную и корио- лисову силы инерции. Некоторое исключение составляет теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении. Покажем, что при ее использовании нет необходимости учитывать кориолисову силу инерции.
  Уравнение движения имеет вид
  m^f=F + R + Je-2m(<*Xvr). (6.24)
  Умножим левую и правую части (6.24) скалярно на относительную скорость
  mvr • -jf- = F • vr + R • vr + Je - vr — 2m (со X vr) - vr.
  Последнее слагаемое равно нулю, так как вектор vr перпендикулярен к векторному произведению со X vr.
  140
------------ page 141 --------------
  Отсюда получим
  d (mv2r\
  V2^) = N> <6-25>
  dt
  где N — мощность активных сил, сил реакции и переносной силы инерции. Знак относительного дифференцирования теперь опущен, так как дифференцируется скалярная функция времени. Обозначив кинетическую энергию относительного движения через Тп т. е.
  mv2r 1 г 2 •
  перепишем (6.25)
  -^-ЛГ. (6.26)
  Интегрируя по времени (6.26) от некоторого начального момента времени /о до текущего /, получим
  7f-.n0)= j Ndt.
  Ко интеграл, стоящий справа, — работа всех сил при перемещении точки из начального положения в конечное. Таким образом,
  Изменение кинетической энергии в относительном движении равно сумме работ всех действующих сил и переносной силы инерции. В некоторых случаях переносные силы инерции могут быть консервативны (поле однородных сил инерции, поле центробежных сил).
  Рис. 6.11.
  Доставка груза на стационарный спутник. Спутник, движущийся по круговой экваториальной орбите в направлении вращения Земли с периодом, равным одним суткам, называется стационарным (рис. 6.11). Такой спутник «висит» над экваториальной точкой Земли. Он может быть использован для решения задач глобальной связи, а также удобен в качестве межпланетной станции.
  Ранее в § 4.6 был найден радиус орбиты стационарного спутника. Оказалось, что го « 42 000 км. Если теперь из г0 вычесть радиус Земли, то получим высоту орбиты над поверхностью Земли
  Я - г0 - R = 42 000 - 6371 - 35 629 км.
  Решим следующую задачу.
  Задача 38. Какую работу необходимо затратить, чтобы доставить груз с поверхности Земли на стационарный спутник, полагая, что движение ракеты с грузом происходит в экваториальной плоскости?
  Свяжем с Землей и спутником вращающуюся систему координат.
  141
------------ page 142 --------------
  К грузу следует приложить силу тяготения F, силу инерции Je переносного ускорения и силу тяги Т. Будем считать, что в начальный и конечный моменты относительная скорость равна нулю. Тогда на основании теоремы об изменении кинетической энергии в относительном движении можно записать
  А |2 "г А |2 ~г A J2 "=¦ О,
  где Л^2 — работа силы тяготения; она отрицательна, и А[2 — работа центробежной силы инерции — положительная величина. Отсюда работа силы тяги
  Для гравитационных сил потенциальная энергия была вычислена ранее
  г Г
  Найдем потенциальную энергию центробежной силы инерции. В условиях задачи (спутник «висит» над Землей, ракета движется в экваториальной плоскости), имеем
  Je = mco2r.
  Эти силы центральные, поэтому их поле консервативно.
  Примем в качестве фиксированной точки для вычисления потенциальной энергии центр Земли, тогда, по определению потенциальной энергии,
  о
  Иj (г) = Ам0 = mco2r dr= — mcoV dr « —
  mm* г*
  2
  г О
  Отсюда работа силы тяги окажется равной
  г»2 2 2 \ /о2 2 2 >
  т (mgR2 mcoV \ / mgR2 muTrl \
  
  Заметим, что
  следовательно.
  2g - 580 ' 2г0 ~ *^°' А[2 - 0J76mgR.
  Для подъема одного килограмма груза потребуется затратить работу А[2 = 6371 • 103 • 0,776 - 5,13 • 10б кГли
------------ page 143 --------------
  ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  ГЛАВА VII МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
  § 7.1. Центр масс
  В первой части курса динамики мы изучали законы движения одной материальной точки, находящейся под действием приложенных к ней сил. В практике чаще встречаются более сложные случаи, когда движение одной материальной точки или одного тела нельзя изучать изолированно от движения других материальных точек (тел). Так, например, движение Луны относительно Земли существенным образом зависит от движения Земли относительно Солнца, вращение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней и т. п. Эти и многочисленные другие примеры заставляют нас перейти от изучения движения одной материальной точки к изучению движения материальных систем.
  В механике под материальной системой понимают совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Твердое тело представляет материальную систему, состоящую из частиц, образующих тело. Массой М материальной системы называется сумма масс всех точек системы:
  Af-iSm*. (7.1)
  где mh — масса материальной точки с номером &, а п — число всех точек системы.
  Центром масс или центром инерции материальной системы называется геометрическая точка, радиус-вектор г которой определяется равенством
  п
  r* = Ti i'7'*r*' <7-2)
  Л=1
  143
------------ page 144 --------------
  т. е. точка с декартовыми координатами:
  п п п
  ** e-jjf ]? юл*л, yc^j^\tnkykf zc=-^^mkzk. (7.3)
  k=\ fe-l Л-1
  В этих формулах rh и xhy yhy zh — соответственно радиус-вектор и координаты /г-й материальной точки.
  При непрерывном распределении массы суммы, стоящие в правых частях формул (7.2) и (7.3), переходят в соответствующие интегралы.
  Легко видеть, что центр масс твердого тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, совпадает с его центром тяжести. Действительно, умножим числитель и знаменатель правой части формулы (7.2) на модуль ускорения силы тяжести g
  п
  Учитывая, что произведение Mg равно весу Р тела, a mhg — весу ри k-h материальной точки, получим
  что совпадает с выражением для радиуса-вектора центра тяжести твердого тела (т. I, глава VIII).
  В общем случае следует говорить о центре масс материальной системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс материальной системы можно пользоваться методами, установленными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии, метод расчленения, метод отрицательных масс и т. п.). Необходимо отметить, что положение центра масс твердого тела не меняется относительно точек тела. Если же система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек, то положение центра масс системы относительно ее точек может изменяться.
  § 7.2. Внешние и внутренние силы
  В курсе статики мы делили все силы, приложенные к твердому телу или к системе тел, на активные силы и реакции связей, понимая под первыми силы, не зависящие от связей. Там же было показано, что силы можно разделить и на две другие группы, а именно на внешние и внутренние.
  Напомним еще раз определения внешних и внутренних сил. Силы, действующие на точки системы, называются внешними,
  144
------------ page 145 --------------
  V777777777T.
  N,
  
  V7T77.
  P F,
  **
  &
  ' G
  Рис. 7.1.
  ft
  v/ss///,
  если они вызваны действием тел, не входящих в систему. Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними. Обозначаются внешние силы верхним индексом «е», а внутренние — верхним индексом «п> (от начальных букв французских слов exterieur — внешний и interieur — внутренний);
  Fe — внешняя сила, F1" — внутренняя сила.
  Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим силы, приложенные к движущемуся прямолинейно по горизонтальной дороге автомобилю (рис. 7.1). Прежде всего на автомобиль действует сила тяжести G. Эта сила внешняя, так как она вызвана действием Земли — тела, не входящего в рассматриваемую материальную систему (автомобиль). Она одновременно является и активной, так как не зависит от связей. К активным внешним силам относится так же аэродинамическая сила сопротивления воздуха Fc: эта сила непосредственно не зависит от связей и вызвана сопротивлением окружающей среды. Применим
  теперь принцип освобождаемости и заменим действие связи (дороги) ее реакциями Nu N2t Fu F2. Первые две силы представляют равнодействующие нормальных составляющих реакций дороги к передним и задним колесам, г силы F\ и F2 — равнодействующие сил трения, вызванных вращением ведомых и ведущих колес (см. раздел Статика, стр. 82). Силы Nu N2, F{ и F2 — внешние, так как они обусловлены действием дороги, которая в систему не входит. Таким образом, к автомобилю приложены шесть внешних сил, G, Fc, Nu W2, Fi, F2.
  Силы давления газов на поршни двигателя, силы давления поршней на шатуны и шатунов на кривошипы коленчатого вала, силы трения на осях колес и т. п. — это все внутренние силы системы.
  Отметим, что в некоторых случаях внешние силы появляются за счет действия внутренних сил. Так, например, внешняя сила трения скольжения F2 между задними колесами автомобиля и дорогой (см. рис. 7.1) не может возникнуть без внутренних сил, передающих вращающий момент на ведущие колеса. Точно так же внешние силы трения Fi и F2 между подошвами ботинок и полом не могут возникнуть без внутренних мускульных усилий человека (на рис. 7.2 показаны все внешние силы, действующие на идущего вправо человека). Если выключить двигатель автомобиля, или если человек не будет создавать мускульных усилий, то соответствующие внешние силы трения обратятся в нуль.
  Рассмотрим еше один пример. Если пренебречь силами притяжения звезд, то нашу Солнечную систему можно рассматривать
  *&sss/s??Ss9W*
  145
------------ page 146 --------------
  Рис. 7.3.
  как изолированную механическую систему, на которую не действуют никакие внешние силы. Силы притяжения между отдельными телами всей Солнечной системы являются активными внутренними силами.
  § 7.3. Свойства внутренних сил
  Из третьего закона Ньютона следует, что внутренние силы входят попарно, причем, если точка В действует на точку А с силой F}, а точка А действует на точку В с силой F^ то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 7.3):
  Fj= -Ff. (7.4)
  Из этого следуют два свойства внутренних сил системы.
  Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулюу
  2И = 0, (7.5)
  где Flk — равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке с номером k.
  Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (главный момент внутренних сил) равна нулю,
  ?r,XF|-0. (7.6)
  /г= 1
  Для системы, состоящей из двух точек, Л и В, с силами взаимодействия F\ и F2 (см. рис. 7.3), это свойство очевидно. Действительно, так как F\ — — Fo, а плечи относительно точки О у обеих сил равны, то моменты этих сил численно равны, но направлены в противоположные стороны. Доказательство первого и второго свойства для любого количества внутренних сил следует теперь из того, что они входят в систему попарно.
  Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил материальной системы не означает, что эти силы уравновешены. Это объясняется тем, что внутренние силы приложены к разным материальным точкам, которые в общем случае могут перемещаться друг относительно друга. Хорошим примером, иллюстрирующим сделанное замечание, может служить Солнечная система, планеты которой и их спутники совершают весьма сложные движения под действием одних внутренних сил.
  146
------------ page 147 --------------
  § 7.4. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек
  Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Применим принцип освобождаемости и заменим связи их реакциями. Обозначим через F% и F{ равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к k-\\ материальной точке. Тогда каждую точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил F% и F^. Применим к каждой точке второй закон Ньютона
  т
  1 dt2
  = Fei+F\,
  тп
  d2rn __ «в , pi
  П Art ~ *¦ П "1" Г п
  dt2
  (7.7)
  Ми
  или, в проекциях на неподвижные оси декартовых координат,
  ф
  "#*-*'*+** (А-1,2,
  п),
  (7.8)
  х
  %
  Рис. 7.4.
  Векторные уравнения (7.7), или эквивалентные им скалярные уравнения (7.8), представляют дифференциальные уравнения движения материальных точек всей системы. Число дифференциальных уравнений в векторной форме равно /г, а число дифференциальных уравнений в координатной форме равно Зп. Следовательно, общее решение зависит от 6/г произвольных скалярных постоянных. Конечно, если все точки движутся параллельно одной плоскости, или одной прямой, то число дифференциальных уравнений (7.8) в первом случае будет равно 2/г, а во втором п.
  Проиллюстрируем методы составления дифференциальных уравнений (7.8) на элементарном примере.
  Задача 39. Два тела веса Q и G связаны между собой тросом, перекинутым через блок (рис. 7.4). Пренебрегая силами трения, а также массой троса и блока, определить закон движения грузов и натяжение троса.
  Система состоит из двух материальных точек (оба тела перемещаются поступательно), движущихся параллельно одной прямой. Следовательно, мы будем иметь два дифференциальных уравнения движения в проекциях на ось х. Предположим, что правый груз движется с ускорением хх вниз; тогда левый груз будет двигаться вверх с ускорением х2 = —*,. Мысленно освободимся от связи (троса) и заменим ее реакциями Т\ и Т2. Считая теперь оба тела свободными, составим дифференциальные уравнения движения в проекции на ось х:
  rriiXi^Q — Ti, т2л:2 « С? — Г2.
  147
------------ page 148 --------------
  Учтем теперь, что х2=* — xit mj = Q/g, m2 = G/g и ?! = Т2 = Г (так как силами трения, а так же массой троса и блока пренебрегаем); строго последнее равенство будет доказано в примере § 19.1); тогда получим
  Решая эти уравнения относительно ускорения х\ и натяжения Т троса, найдем
  - Q-g т. о <Э°
  *! e Q + G *• Q + С "
  Из этого решения видно, что правый груз движется равноускоренно вниз, если Q > G, и вверх, если Q < G. При Q = С оба груза находятся в покое или движутся равномерно (это зависит от начальных условий). Отметим, что натяжение троса при Q ф G не равно весу соответствующего груза.
  § 7.5. Задача двух тел
  В качестве второго примера на составление дифференциальных уравнений движения материальной системы рассмотрим следующую задачу. Две свободные материальные точки Мх и М2 с массами rrt\ и т2 соответственно движутся под действием сил
  ньютонианского притяжения. Определить закон движения системы.
  В небесной механике и теории движения искусственных спутников Земли эта задача является одной из основных (она называется задачей двух тел). В главе IV решалась аналогичная задача в предполодее- &S нии, что тело, обладающее большей
  Рнс 7.5. массой, неподвижно, (в теории дви
  жения больших планет — это Солнце, в теории движения искусственных спутников — небесное тело, вокруг которого движется искусственный спутник).
  Введем инерциальную систему отсчета Oxyz и обозначим через г\ и г2 радиусы-векторы соответствующих точек, а через г — радиус-вектор точки М2 относительно М{. Из рис. 7.5 видно, что
  r = r2-r{. (7.9)
  По закону всемирного тяготения имеем
  Fi = F2 = f2jp-, (7.10)
  где f — гравитационная постоянная.
  Направление силы Fi определяется единичным вектором —,
  а силы F2— единичным вектором — — (обе силы направлены по одной прямой в противоположные стороны).
  148
------------ page 149 --------------
  Дифференциальные уравнения движения в векторной форме (7.7) для рассматриваемой системы будут таковы:
  d2r2 f пцгпъ г
  (7.11)
  где вектор г определен равенством (7.9), а г = |г|. Умножим первое уравнение (7.11) на т2, а второе — на тх и после этого вычтем почленно из второго уравнения первое,
  mlm2 ^ 3J5-J - - Т р у •
  или, сокращая на гп\ и преобразовывая левую часть,
  „, d* /-. - \ __ f ^2 (mi H- m2) r m2 -^г lr2 — т\) — — / -2 у •
  Учтем теперь равенство (7.9)
  Из этого уравнения видно, что материальная точка М2 движется относительно точки М\, как относительно неподвижного центра, масса которого равна не ти а М = Ш\ + т2. Следовательно, пренебрежение движением точки большей массы вносит в расчеты погрешность, относительная величина которой определяется равенством
  _ M — mi __ w2 /?*! ~~ mi
  Если т2— масса искусственного спутника, а т\ — масса Земли, то относительную погрешность е можно только вычислить, но не измерить (так как мы не располагаем столь чувствительными приборами). Если же т2 — масса планеты,а Ш\ — масса Солнца, то эта ошибка для Земли равна 0,000003, а для Юпитера (самой большой планеты Солнечной системы) — 0,001.
  Перейдем теперь к исследованию движения двух тел относительно их центра масс. Для этого прежде всего покажем, что центр масс С рассматриваемой системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Действительно, сложив почленно оба уравнения (7.11), получим
  или, интегрируя,
  т^ + гщ^-^МА, (7.13)
  14Э
------------ page 150 --------------
  где А — произвольный постоянный вектор (скалярный множитель М = т\ + т2 введен для удобства).
  Воспользуемся формулой (7.2) и найдем радиус-вектор центра масс системы
  Дифференцируя по времени, получим скорость vc центра масс С:
  „ _ dfC _ [ lm dr\ , m dt2)
  Сравнивая с первым интегралом уравнения (7.13), найдем
  vc = A.
  Пусть при t = 0 vc = voc. Тогда последнее равенство примет вид
  -Ос = Vqc>
  т. е. центр масс находится в покое (если в начальный момент vc = 0) или движется равномерно и прямолинейно (если в начальный момент vc Ф0) *).
  Очевидно, что центр масс С рассматриваемых точек М\ и Л12 находится на прямой, соединяющей эти точки (рис. 7.6).
  Будем теперь откладывать радиусы-век- г ^*\у\* торы Г\ и г2 точек М{ и М2 от точки С. г^у^ Тогда дифференциальные уравнения дви- h жения (1.11) примут вид
  m d2'i f mim2 r± I
  ni{ dt* ~ ' (rx + r2)> r, > I
  d2r2 f mxm2 r2 |
  m2 dt* ~ ' (n + r2)> r, " I
  Центр масс делит расстояние между точками Mi и М2 на части, обратно пропорциональные массам
  Г\ _ Ш2
  г 2 тх
  Составим из этой пропорции две производные пропорции:
  г} __ т2 гх + г2 __ тх Н- tn2
  Г\ + г2 ~~ тх + т2 * г2 тх
  *) Установленное здесь свойство центра масс в задаче двух тел является частным случаем георемы о движении центра масс материальной системы; см. § 8.4 следующей главы.
  150
------------ page 151 --------------
  Отсюда
  , ftl\ + trio
  r. + r2 = —^— ru nil + m2
  Внесем эти равенства в дифференциальные уравнения движения (7.14):
  т
  dlrx X1F
  m2-
  IF
  -f
  -f
  m2
  (m, 4- m2)2
  m'l
  mxm<y rj
  ri r,
  A71j/7t2 r2
  (m, + m2)" r^ r2
  (7.15)
  Из этих уравнений видно, что движение каждой точки относительно их центра масс происходит как движение вокруг неподвижного, притягивающего центра
  т\ с массой -(—-—чу Для первой точки и
  ~,з
  — для второй. При соответ-
  (т\ + т2)2
  ствующих начальных условиях обе точки движутся по эллипсам, имеющим общий фокус С, совпадающий с центром масс системы (рис. 7.7). В частности, траектория планеты представляет эллипс, фокус которого совпадает не с центром Солнца, а с центром масс системы Солнце — планета
  (влиянием других небесных тел пренебрегаем). Эта точка отстоит от центра Солнца на небольшом расстоянии, которым в первом приближении можно пренебречь.
  Рис. 77.
  § 7.6. Общие замечания
  На первый взгляд может показаться, что изучение движения материальной системы можно свести к составлению и анализу дифференциальных уравнений (7.7) или (7.8). В принципе эта точка зрения справедлива, но практически реализовать такой путь исследования удается только для систем, состоящих из небольшого числа материальных точек (свободных или имеющих сравнительно простые связи, как это имело место в рассмотренных примерах). Сложность использования дифференциальных уравнений движения (7.7) или (7.8) состоит прежде всего в том,
  151
------------ page 152 --------------
  -что, как правило, мы не знаем аналитического выражения внутренних сил и реакций связей.
  В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют обойти основные трудности, возникающие при использовании дифференциальных уравнений движения материальной системы в форме (7.7) и (7.8). С этой целью прежде всего вводятся некоторые векторные и скалярные величины, характеризующие в какой-то степени движение всей материальной системы (так называемые меры движения). К ним относятся вектор количества и вектор момента количеств движения, а также кинетическая энергия материальной системы. Зная характер изменения этих величин, можно составить частичное, а иногда л полное представление о движении материальной системы.
------------ page 153 --------------
  ГЛАВА VIII
  ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  § 8.1. Количество движения материальной системы
  В конце предыдущей главы было отмечено, что о движении материальной системы можно составить частичное, а иногда и полное представление по характеру изменения некоторых векторных или скалярных величин, называемых мерами движения. В качестве первой такой меры мы рассмотрим вектор количества движения материальной системы.
  Количеством движения материальной точки называется, как известно, векторная величина, равная произведению массы точки т на ее скорость и, т. е. вектор mv. Количеством движения материальной системы называется вектор Q, равный сумме количеств движения (главный вектор количеств движения) точек, входящих в систему
  «=2ВД. (8Л)
  Так как vk = rA, где rfe—-радиус-вектор k-й точки, проведенный из начала инерциальной системы отсчета, то равенство (8.1) можно преобразовать следующим образом (массы точек постоянны) :
  Q=2m,-^=-^2m*r*-
  ?-1
  Пользуясь выражением (7.2), сумму, стоящую под знаком производной, заменим произведением Мгс, где М — масса всей системы, а гс — радиус-вектор центра масс
  Q-JtiMrc) или
  153
------------ page 154 --------------
  drr
  Производная —~- есть скорость vc центра масс системы.
  Окончательно имеем
  Q = Mvc,
  (8.2)
  т. е. количество движения материальной системы равно массе всей системы, умноженной на скорость ее центра инерции.
  Равенство (8.2) можно прочитать также следующим образом: количество движения материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы.
  Задача 40. Однородный полый цилиндр массы m = 20 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью v в 2 м/сек (конечно, это скорость центра цилиндра; рис. 8.1). Определить количество движения цилиндра. Рис. 8.1. Количества движения отдельных точек цилиндра
  имеют различные направления. Их главный вектор Q (количество движения всего цилиндра) совпадает по направлению со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль определяется равенством
  Q = mvc = 40 кгм/сек = 40 н сек = 4,08 кГ сек.
  Вектор количества движения Q может быть задан своими проекциями, выражения для которых непосредственно следуют
  из формул (8.1) и (8.2) и теоремы о
  ?*\
  Ol
  *1
  •М2
  Х^м
  •Mr,
  Уг
  У$
  Л,А
  Рис. 8.2.
  проекции суммы векторов
  п
  Qx = 2 rnkvkx = MvCx,
  n
  Qy= 2 rnkvhy=MvCyf
  n
  Qz = 2 tnkvkz = MvCz.
  (8.3)
  Кроме инерциальной системы отсчета 0\X\y\Z\, построим поступательно перемещающуюся систему координат СхчУг^2, начало которой совпадает с центром масс С (рис. 8.2). Теперь движение каждой материальной точки можно рассматривать как сложное движение: переносное вместе с осями Сх2у2^2 и движение относительно этих осей. Так как количество движения Q материальной системы определяется равенством (8.2) и оси Сх2у2^2 перемещаются поступательно, то можно сказать, что количество движения характеризует переносное движение системы (для твердого тела — поступательное движение вместе с центром масс).
  154
------------ page 155 --------------
  § 8.2. Теорема об изменении количества движения материальной системы (дифференциальная форма)
  Теорема. Производная по времени вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.
  Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные уравнения движения (7.7) материальной системы в следующей форме:
  и сложим почленно все уравнения
  dt k-i k-i ft-i
  dvt
  - = r, + r\, I
  (8.4)
  m.-SL.-* + *{.
  2"*?-2л+2л
  Первая сумма, стоящая в правой части равенства, равна главному вектору Fe всех внешних сил, а последняя сумма по первому свойству внутренних сил равна нулю [см. формулу (7.5)]. После преобразований левой части получим
  п
  или, учитывая равенство (8.1),
  ^Ж = Ре> (8-5)
  что доказывает теорему.
  В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.5) эквивалентно трем скалярным:
  dQx _ dQy dQz _
  Из этой теоремы вытекает несколько следствий.
  1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение количества движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы; см. окончание § 7.2).
  2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения материальной системы остается постоянным по величине и направлению.
  15Г>
------------ page 156 --------------
  Действительно, по условию F* = 0. Тогда из равенства (8.5) будем иметь
  Отсюда
  <? = Qo = const, (8.7)
  где Qo —начальное значение вектора Q.
  3. Если проекция главного вектора всех внешних сил, при- ложенных к системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция количества движения материальной системы на эту ось остается постоянной.
  Пусть проекция главного вектора всех внешних сил на ось х равна нулю: Xе = 0. Тогда из первого равенства (8.6) будем
  иметь
  dQx ^q dt
  Отсюда оч
  Qx — Qox = Const, (О.Ь)
  где Qox — начальное значение проекции Qx.
  Второе и третье следствия называются законами сохранения количества движения материальной системы.
  § 8.3. Задачи
  Задача 41. На горизонтальной, находящейся в покое платформе, уставов пенной на рельсах, находится автомобиль. В некоторый момент времени автомобиль начал двигаться по платформе. Пренебрегая трением между рельсами и колесами платформы и сопротивлением воздуха, определить закон изменения ее скорости v в завишу • ,tu симости от скорости автомоби- 7 * _ ля и относительно платформы.
  Масса платформы равна ш\,
  
  VMi/W^WW^ » а ма^са автомобиля т2.
  та \ Рассмотрим систему, со-
  *У *Щ& стоящую из платформы и авто
  мобиля. Если пренебречь сила- Рис. 8.3. ми сопротивления воздуха и силами трения между колесами и рельсами, то внешними силами, действующими на систему, будут: вертикальные силы тяжести m{g, m2g и суммарные реакции рельс Ni и N2 (рис. 8.3). Проекции этих сил на горизонтальную ось х равны нулю и, следовательно, проекция количества движения на эту ось сохраняет постоянное значение, равное начальному:
  Qx = Qox » const.
  Количество движения платформы равно miV, а количество движения автомобиля — т2(и + v). При вычислении последней величины нужно принять во внимание, что количество движения определяется для абсолютных скоро* стей. Проекция количества движения всей системы на ось х равна
  Qx = rriiv + т2(и + v)%
  156
------------ page 157 --------------
  Будем отсчитывать время с момента начала движения автомобиля. Тогда при /=0о = 0и« = 0. Внося эти начальные значения для v и и в выраже-
  Qox = 0.
  ние Qx, найдем
  Так как проекция на ось х количества движения системы не меняется, то m\V + m2(u + v) = 0. Отсюда найдем скорость платформы v как функцию скорости автомобиля и:
  mi + m2
  (8.9)
  Из этого выражения видно, что платформа движется в сторону, противоположную скорости автомобиля.
  Достигнув конца платформы, автомобиль остановится и его скорость и обратится в нуль. Как следует из формулы (8.9), в этот момент платформа после некоторого движения в обратном направлении снова остановится. Эта остановка платформы произойдет не за счет сил трения между ее колесами и рельсами или за счет сопротивления воздуха, а в результате динамического эффекта, вызванного взаимодействием платформы и автомобиля.
  В заключение этого примера отметим, что за все время движения количество движения системы не изменялось, а происходило перераспределение скоростей тел, входящих в систему.
  Задача 42. Груз веса Р — 3 т скользит вниз по наклонной эстакаде, свободно лежащей на земле. Вес эстакады 0 = 2 г, коэффициент трения скольжения между грузом и эстакадой / = 0,2, угол наклона а ~ 30°. При каких условиях эстакада остается неподвижной?
  Эстакада будет находиться в покое до тех пор, пока сила трения F между землей и эстакадой не достигнет своего предельного значения, равного f0N, где fo — коэффициент трения покоя, а N — сила нормального давления. Для определения силы трения F и нормального давления N рассмотрим систему, состоящую из груза и эстакады. На эту систему действуют следующие внешние силы: сила тяжести груза Р, сила тяжести эстакады G, нормальная реакция земли N и сила трения между землей и эстакадой F (рис. 8.4, а).
  Обозначим скорость движения груза через v. Очевидно, что скорость v направлена параллельно наклонной плоскости и поэтому проекции количества движения груза, а следовательно, и всей системы (количество движения эстакады равно нулю, так как она находится в покое) на координатные оси х и у будут (рис. 8.4, а):
  Р Р
  Qr = — о cos а, Qu = о sin а.
  х g y ё
  Применим теперь теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и равенства (8.6). Пользуясь выражениями для Q.v и Qy, с помощью рис. 8.4, а получим
  Рис. 8.4.
  Р dv „
  - — cosa-F.
  Р dv . r
   — sin a = — G
  g dt
  -P + N.
  157
------------ page 158 --------------
  Отсюда найдем силу нормального давления
  N^G + P-— 4?-sin a. g dt
  Эстакада будет находиться в покое, если сила трения F не превышает* своего предельного значения f0N, т. е. при F < foN. Из полученных соотношений найдем
  Р dv ^tlntD p dv ¦ \
  или
  /о>-
  _Р_
  8
  dv dt
  cos a
  G + P-
  Р dv g dt
  dv
  Для полного решения задачи необходимо определить ускорение -тг. Для
  этого рассмотрим движение одного груза (рис. 8.4,6"). На груз действует сила тяжести Р, нормальная составляющая реакции наклонной плоскости М\ и
  сила трения Fu по модулю равная fNla Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на
  и у
  р
  Рис. 8.5.
  О = Л^! — Р cos a.
  Из второго уравнения найдем N\ = Р cos a; следовательно, F\ = в fiVi = fP cos a. Внесем это выражение для F, в первое уравнение и определим из него ускорение груза
  dv , . . ч
  —т- = (sin a — / cos a) g.
  После подстановки в неравенство, определяющее /о, получим
  Р (sin a — / cos a) cos a
  /o>
  G + P cos a (cos a + f sin a)
  Этому условию должен удовлетворять коэффициент трения /0 покоя между землей и эстакадой, чтобы последняя не пришла в движение. В условиях примера (G = 2 г, Р = 3 г, f = 0,2 и a = 30°), найдем
  /о > 0,19.
  В главе XVI мы решим эту задачу другим методом.
  Задача 43. Электромотор прикреплен с помощью четырех болтов к горизонтальному основанию. В результате затяжки каждый болт создает вертикальное давление Pi = 12,5 кГ. Коэффициент трения покоя между мотором и основанием /0 = 0,2. Определить величину бокового давления на болты, если ротор электромотора, имея небольшой эксцентриситет е = 0,5 мм, равномерно вращается с угловой скоростью (о = 50л сск~] (п = 1500 об/мин). Вес статора С?! = 100 кГ, вес ротора G = 50 кГ (рис. 8.5).
  Обозначим через РТр силу трения между основанием и статором мотора, через Pi — суммарную горизонтальную составляющую силы давления болтов
  158
------------ page 159 --------------
  на статор мотора и через Р— равнодействующую сил Ртр и F}. Так как последние направлены всегда в одну сторону, то
  F-F^ + Ft.
  Нужно иметь в виду следующее: если сила трения РТр по модулю меньше своего предельного значения foNy где N — величина нормального давления, то корпус мотора будет удерживаться в покое только за счет сил трения. В этом случае F\ — О и F — Ртр. Как только сила трения достигнет своего предельного значения, в работу вступят болты, причем модуль силы Pi можно будет определить из последнего равенства
  Л-Р-Ртр-/7-^- Таким образом, имеем
  Г 0, если Р</0ЛГ,
  ^-IP-foAT, если F>foN. (8'10)
  Рассмотрим теперь систему, состоящую из статора и ротора. Количество движения статора равно нулю (он неподвижен), а количество движения ро-
  G тора равно — 1>с, где vc — скорость его центра тяжести С. Модуль скорости
  точки С равен ею, а проекции вектора vc на оси х и у будут (рис. 8.5):
  vCx ~ есо cos ^ vCu в ~~ есо Sin °**> Следовательно, проекции количества движения всей системы равны
  Г4 О
  Qx*=—ею cos art, Qu = ewsina)/.
  g y g
  Внешними силами для системы будут: сила тяжести статора Gu силл тяжести ротора G, четыре силы Pi затяжки болтов (их равнодействующую обозначим через Р), нормальная составляющая реакции основания N, сила трения Ртр и боковые составляющие давления болтов Pi (Р = Ртр 4- Pi). Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и применим уравнения (8.6). Пользуясь полученными выражениями для Qx и Qy, с помощью рис. 8.5 получим (рассматриваем первый полуоборот, в течение которого сила Р будет направлена влево):
  d I G Л с
  —гг \ — eco cos ©Л = — F,
  -^ (- — <?<о sin (dt\ =N - Р- G, - G или, выполняя дифференцирование и умножая первое уравнение на —1,
  — eco2 sin со/ — Р, g
   eco2 cos со/ = N — Р — G, — G.
  ё
  Найдем из второго уравнения силу нормального давления
  N = P + GX + G е©2 cos со/.
  g
  Будем считать, что N всегда положительно и введем в рассмотрение функцию
  с (л Ф (со/) = Р — UN = — <?со2 sin со/—/0 IP + Gi -t- G ею2 cos со/].
  159
------------ page 160 --------------
  Отметим, что входящая в это выражение предельная сила трения покоя foN является величиной переменной (так как N изменяется). Учитывая соотношение (8.10), найдем (0 ^ w/ ^ я):
  ГО, если Ф (со/) < О,
  1 I Ф (со/), если Ф (со/) > 0. (8Л1)
  Преобразуем функцию Ф(со/):
  ф(со/)«—eco2(s Воспользуемся равенством
  Ф (со/) « — ею2 (sin со/ + /0 cos со/) - /0 (Р + G, + G).
  в котором ф — угол трения. Функцию Ф(со/) можно привести теперь к виду
  G ecu2 Ф (со/) = -j ^— sin (со/ + ф) - /о (Р + О, + G). (8.12)
  Максимальное значение функции Ф(со/) достигается при sin (со/ + ф) = I:
  ^ его2
  g cos<
  Если это выражение неположительно, то при любом значении угла со/ функция Ф(со/) ^ 0. В этом случае сила трения не превосходит своего предельного значения и болты не оказывают давления на мотор (Fi = 0). Это имеет место при условии
  есо2<-~ (Р+t/, + G) sinф. (8.13)
  Если же неравенство (8.13) будет иметь обратный смысл, то при некотором со/ = co/j функция Ф(со/) обратится в нуль. Угол поворота co/i легко находится из уравнения Ф(со/0 ~ 0, или, после очевидных преобразований
  sin (со/! + ф) - -g?jj5- (Р + С, + G) sin ф. (8.14)
  С момента времени t — tx функция Ф(со/) начнет возрастать и сделается положительной [/,—наименьший корень уравнения (8.14)]. С этого же момента болты начнут оказывать давление на мотор, равное F\ « Ф(со/).
  При угле со/2, определяемом уравнением
  со/2 + ф - я - (со/, + ф). (8.15*
  функция Ф(со/) опять сделается равной нулю, давление болтов прекратится и мотор снова будет удерживаться одной силой трения. При со/ > я характер распределения сил будет повторяться в обратном порядке. В данном примере:
  еа2 = 0,0005 (50я)2 = 1,25я2 м/сек2,
  -?- (С, + G + Р) - 39,2 м/сек2, /0 - tg ф - 0,2,
  sin ф ~ 0,196, ф са 0,198 (11°).
  Условие (8.13) не выполняется и, следовательно, одной силы трения недостаточно для удержания в горизонтальном положении мотора. Значение угла co/i найдем из уравнения (8.14):
  OQ О
  sin (со/, + ф) - **? • 0,196 ~ 0,64, о/, + ф = 0,695 (40°), со/! с* 0,497 (29°). 160
------------ page 161 --------------
  Таким образом, при 0 ^ Ы <: сМ мотор удерживается одной силой трения. Начиная с момента времени t\ в работу вступают болты, действие которых прекращается в момент времени /2; угол &t2 определяется равенством (8.15)
  Ш2 = я - со/, - 2ф = 2,247 (129°).
  В промежутке Ш\ < со/ < со/г суммарная сила давления болтов найдется из равенств (8.11) и (8.12):
  Fx = 63 sin (со/ + ср) - 40.
  При со/ ^s со/2 сила Fx снова обращается в нуль. График проекции силы F\ на ось х изображен на рис. 8.6.
  Максимальное давление, приходящееся на один болт (сила давления мотора на болты равна по модулю F\ и направлена в сторону, противоположную Fx), равно 5,75 кГ% а при отсутствии трения (/0 = 0) оно составляет
  15,75 кЛ Следовательно, сила трения снимает в данной системе две трети всей нагрузки на болты и существенно облегчает условия их работы.
  При большом эксцентриситете сила давления F\t меняющая свое направление с каждым полуоборотом ротора (в нашем примере 3000 раз в минуту), может достигнуть величины, при которой болты будут сломаны.
  Если увеличить затяжку болтов, т. е. увеличить силу Р, то можно создать такое нормальное давление N, при котором мотор будет удерживаться в горизонтальном положении одной силой трения и болты не будут испытывать горизонтальных давлений. Критическое значение для силы Р найдем из неравенства (8.13)
  /> >(_*?__ Л о _ с,.
  ^ \ g Sin ф ,/
  В рассматриваемом примере будем иметь: Р ^ 170 кГ. Следовательно, каждый болт нужно затянуть с силой 42,5 кГ (напомним, что Я —суммарная сила затяжки всех четырех болтов), т. е. затяжку болтов нужно увеличить в 3,4 раза.
  § 8.4. Теорема о движении центра масс
  Внесем в равенство (8.5) выражение для количества движения материальной системы (8.2)
  или, учитывая, что масса системы постоянна, получим
  М^-Г. (8.16)
  6 Н. В. Бутеннн и др., т. 2 161
------------ page 162 --------------
  Это равенство по виду совпадает со вторым законом Нью- тона, записанным для точки с массой М и ускорением wc = ~jt >
  к которой приложена сила Fe. Равенство (8.16) представляет математическую запись теоремы о движении центра масс: центр масс материальной системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
  Напомним, что Fe — главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе.
  Векторное равенство (8.16) эквивалентно трем скалярным:
  м^-х; m^l-y; м^—zr. (8.17)
  Здесь предполагается, что оси декартовых координат неподвижны.
  Необходимо помнить, что центр масс представляет геометрическую точку (см. рис. 8.1). Кроме того, внешние силы фактически приложены не к центру масс, а к точкам системы. Вместе с тем эта геометрическая точка при движении системы перемещается по закону, определенному приведенной теоремой.
  Из этой теоремы вытекает несколько следствий:
  1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы. Внутренние силы могут оказать косвенное влияние на движение центра масс только через внешние силы.
  2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс материальной системы на- ходится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.
  Действительно, если Fe = 0, то из равенства (8.16) будем иметь
  Сокращая на М и интегрируя, получим
  я с = v с = const, (8.18)
  где VqC — начальная скорость центра масс.
  3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется.
  В самом деле, если Xе = 0, то из первого уравнения (8.17) найдем
  Отсюда
  vCx ^ const. (8.19)
  162
------------ page 163 --------------
  4. Поступательное движение твердого тела вполне определяется теоремой о движении центра масс*), т. е. одним векторным дифференциальным уравнением (8.16) или тремя скалярными дифференциальными уравнениями (8.17).
  Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.
  Задача 44. Движение с помощью сил трения. На человека, стоящего на горизонтальном полу, действуют две внешние силы: сила тяжести G и нормальная реакция пола N. Для движения в горизонтальном направлении (перемещения центра масс человека) этих сил недостаточно. В начале движения при перемещении одной ноги вперед за счет мускульных усилий вторая нога стремится переместиться назад, так как центр масс человека должен остаться в покое. В результате этого между подошвой второй ноги и полом возникает сила трения, направленная вперед (см. рис. 7.2). Эта сила трения является движущей для человека. Если пол будет абсолютно гладким, то одними мускульными усилиями человек не сможет перемещаться.
  Точно так же движение автомобиля по горизонтальной дороге осуществляется с помощью внешних сил трения скольжения, которые возникают между полотном дороги и ведущими колесами автомобиля (см. рис. 7.1). Эти внешние силы трения возникают за счет внутренних сил, создающих вращающий момент на оси ведущих колес, и наличия шероховатой связи (дороги). Если полотно дороги достаточно гладкое (например, при гололеде), то даже при большом вращающем моменте, создаваемом внутренними силами, автомобиль не сможет начать движение.
  Спортсмен, опускаясь на парашюте, может управлять движением центра масс своего тела, в частности, при известном опыте он может приземлиться в заданном круге. Осуществляется это управление за счет изменения внешних сил сопротивления воздуха. Это достигается подтягиванием с помощью мускульных усилий (внутренних сил) строп парашюта.
  Задача 45. Изучить хаоактер движения тел Солнечной системы в неподвижной системе координат.
  Пренебрегая притяжением далеких звезд, нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е. на тела Солнечной системы действуют только внутренние силы. По второму следствию центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца, должен находиться в покое, или двигаться прямолинейно и равномерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Беги и называемой апексом. Таким образом, движение планет Солнечной системы является сложным: их траектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы, — эллипсы (если пренебречь силами взаимного тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд — пространственные эллиптические спирали.
  Задача 46. Рассмотреть движение искусственного спутника Земли, на боргу которого находятся космонавты, при выходе космонавта из кабины спутника.
  Пусть центр масс С всей системы движется под действием сил притяжения Земли по некоторой траектории LL' (см. рис. 8.7, положение /). При выходе космонавта из кабины спутника их общий центр масс будет перемещаться с той же скоростью и по той же траектории (так как внешние силы не изменились), но спутник и космонавт разойдутся по разные стороны от нее (положение //). Когда космонавт возвратится в спутник, последний перейдет на прежнюю траекторию (положение ///).
  *) Из курса кинематики известно, что поступательное движение твердого тела определяется движением одной его точки, в частности, центра масс.
  6*
  163
------------ page 164 --------------
  В заключение этого параграфа отметим, что теорема о движении центра масс является, по существу, видоизмененной формой теоремы об изменении количества движения материальной
  U
  Рис. 87.
  системы, в частности, все примеры § 8.3 могут быть решены с помощью этой теоремы.
  § 8.5. Теорема Эйлера
  Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике жидкостей и газов. Рассмотрим одно из них.
  Пусть некоторая сплошная среда (жидкость, газ) движется по трубе. Будем считать, что среда несжимаемая. Это предположение вполне оправдывается для жидкостей (вода, нефть, масло и т. д.) и дает хорошее приближение для газов, движущихся со скоростями, значительно меньшими скорости звука. Выделим часть трубы объемом w. Будем считать, что этот объем ограничен боковой поверхностью трубы и двумя ее поперечными сечениями о\ и аг, причем о\ и о2 означают одновременно и площади соответствующих сечений (рис. 8.8). Обозначим через Vu v2 и v средние скорости частиц среды, протекающих соответственно через сечения аь о2 и некоторое среднее сечение а. Тогда в единицу времени через сечение ох будет протекать объем жидкости, равный G\Vu а через сечения о2 и о — объемы o2v2 и ov. Так как, по предположению, среда несжимаемая, то все эти объемы равны между собой:
  Умножим это равенство на плотность среды р (р — количество массы среды в единице объема). Полученное общее значение произведений называется секундной массой и обозначается через
  Мс = ра^! = ра2и2 = раа. (8.20)
  Рис. 8.8.
  164
------------ page 165 --------------
  Секундная масса, очевидно, равна массе среды, протекающей через какое-либо поперечное сечение в одну секунду. Ее размерность в системе КМС равна кгсек~\ а в технической системе — кГмтхсек.
  Перейдем теперь к вычислению изменения количества движения среды, заполняющей объем до, считая, что средняя скорость в любом сечении трубы не зависит от времени (установившееся движение). Это равносильно предположению независимости от времени секундной массы Мс.
  Пусть в момент времени t рассматриваемая среда занимала объем до, заключенный между сечениями о\ и а2, а в момент времени / + dt эта же масса среды занимает объем, ограниченный сечениями о\ и о'2 (см. рис. 8.8). В силу несжимаемости среды объем, заключенный между сечениями а[ и o'v будет содержать в моменты времени t и t -f dt одинаковое количество массы. Поэтому изменение количества движения среды в объеме до произойдет только за счет потери количества движения в объеме между сечениями о[У о\ и возрастания количества движения в объеме между сечениями а2, о'г
  Так как в единицу времени через сечения сп и а2 проходят одинаковые массы, равные Мс, то за время dt через эти сечения пройдут массы Mcdt. Их количества движения будут McdtVi и Mcdtv2y а изменение количества движения dQ всего объема до за то же время определится равенством
  dQ = Mcdtv2-Mcdtvl. Отсюда
  ^-Afetb-Afe*,. (8.21)
  В этом равенстве произведения Mcv{ и Mcv2 называются се- кундными количествами движения среды в сечениях о\ и а2.
  Внешние силы, действующие на среду, можно разбить на две категории:
  1) силы массовые, или объемные, т. е. такие, которые действуют на каждую частицу рассматриваемой среды, независимо от того, находятся ли эти частицы внутри выделенного объема или на его поверхности;
  2) силы поверхностные — силы, действующие только на частицы, лежащие на поверхности объема.
  К массовым силам относятся прежде всего силы тяжести. Поверхностные силы — это силы давления стенок на среду, силы трения выделенного объема среды о стенки и т. п.
  Обозначим через F0q главный вектор всех внешних объемных сил, а через Fnon — главный вектор всех внешних поверхностных сил. Тогда, применяя к рассматриваемому объему
  165
------------ page 166 --------------
  среды теорему об изменении количества движения материальной системы в ее дифференциальной форме (8.5), получим
  dt
  = ^об + ^п
  или, пользуясь соотношением (8.21) и перенося все члены в одну сторону, будем иметь
  Роб + ^пов + Mevx - Mcv2 = 0. (8.22)
  Это равенство представляет математическую запись теоремы Эйлера, которую можно прочитать следующим образом: сумма главных векторов объемных и поверхностных сил, а также секундных количеств движения среды, протекающей через два поперечных сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выделенного сечениями объема.
  В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.22) дает:
  Хоб + XnoQ+ McVlx- McV2x~0, )
  Yo6 + Yn0B + Mcvly- Mcv2y = 0y (8.23)
  Zo6 + ZnoB+Mcvlz- Mcv,2 = 0. J
  Задача 47. Горизонтальный участок трубопровода земснаряда имеет изогнутое под углом 90° колено. Определить динамическое давление Р пульпы
  на изогнутую часть трубопровода, если его диаметр равел 60 см, удельный вес пульпы Y — 1,2 т/м3 и скорость ее течения v = 6 м/сек.
  Рассмотрим изогнутую часть трубопровода и обозначим через 0\ и о2 площади поперечных сечений его в начале и конце изгиба, а через и, и v2 — векторы соответствующих скоростей пульпы (рис. 8.9,0). Ось х направим вдоль оси симметрии изогнутой части трубопровода, а ось у — перпендикулярно к ней. По условию задачи модули и, = v2 = у, а векторы Vi и v2 составляют с осью .v углы, равные 45°. Силы тяжести направлены вертикально, и их проекции на оси х и у равны нулю (на рис. 8.9, а показан вид сверху). Обозначим через А',юв и Кпов проекции главного вектора сил давления стенок трубопровода на пульпу и составим первые два уравнения (8.23):
  Хпов — Mcv cos 45° — Mcv cos 45° = 0,
  ^ поп — Mcv sin 45° + Mcv sin 45° = 0. Отсюда находим __
  Xno* = MQvf2t УПов=0.
  a)
  Ф
  Рис. 8.9.
  166
------------ page 167 --------------
  Таким образом, главный вектор поверхностных сил направлен по оси х (это очевидно из соображений симметрии). Сила добавочного динамического давления Р на трубопровод равна по модулю Хпо* и направлена в противоположную сторону (см. рис. 8.9, б):
  P*=V2 Mcv. (8.24)
  По определению имеем (см. формулу (8.20))
  Мс = par.
  Плотность пульпы р связана с ее удельным весом равенством
  з площадь поперечного сечения трубопровода a — лсГ2/4.
  Внося выражения для Мс, р и а в равенство (8.24), получим
  После подстановки численных значений \ = 1,2 т/м3, d = 0,6 м, v — 6 м1сек, найдем динамическое давление пульпы на трубопровод:
  Р =1,76 т
  •— § 8.6. Интегральная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы (теорема импульсов)
  Пользуясь введенным ранее понятием импульса силы, преобразуем равенство (8.5). Для этого умножим обе его части «а dt и проинтегрируем в пределах от t0 до /:
  \dQ= j Fdt,
  или
  t
  Q(t)-Q(tu)=JFedt.
  Обозначим количество движения материальной системы в момент времени / через Q, а в момент t0 — через Q0, и воспользуемся выражением (3.3) для импульса силы. Тогда окончательно получим
  Q-Qo-S't (8.25)
  где Se = SSI— главный вектор импульсов всех внешних сил.
  Таким образом, приходим к теореме об изменении количества движения материальной системы в интегральной форме (теорема импульсов): изменение количества движения материальной системы за промежуток времени [t0y t] равно главному вектору импульсов всех внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.
  167
------------ page 168 --------------
  Векторное уравнение (8.25) эквивалентно трем скалярным равенствам в проекциях на оси инерциальнои системы координат:
  Q* — Qox = SX9 I
  Qy-Qoy-Sj, [ (8.26)
  Qz — Qoz = Sz. )
  В этих формулах S*, Sey и Sez — проекции главного вектора импульсов всех внешних сил на оси координат, a Qx, Qy, Qz и Qox, Qoy, Qoz — значения проекций количества движения материальной системы в моменты времени / и /0-
  Теорема импульсов широко применяется в теории удара.
------------ page 169 --------------
  ГЛАВА IX
  ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  § 9.1. Момент количеств движения материальной системы
  В предыдущей главе было показано, что, исследуя вектор количества движения материальной системы, можно составить представление о ее поступательном движении. Вращательное движение материальной системы характеризуется другой векторной величиной, а именно — моментом количеств движения. В этой главе мы рассмотрим способы вычисления этой величины и ее связи с другими динамическими характеристиками системы, с помощью которых можно составить частичное, а иногда и полное описание вращательных движений материальной системы.
  Момент количества движения Ко одной материальной точки определяется равенством Ко = rX tnv. Моментом количеств движения Ко материальной системы относительно неподвижного центра О называется сумма моментов (главный момент) количеств движения всех материальных точек относительно того же центра
  п п
  К0= 2 K0k = 2 rk X mkvk. (9.1)
  В этом равенстве rk — радиус-вектор материальной точки Mk с началом в неподвижном центре О, nth и Vh — масса и скорость этой точки. Если материальная система представляет непрерывно распределенную материальную среду, заполняющую некоторый объем, то сумма, конечно, переходит в соответствующий интеграл.
  Как всякий вектор, момент количеств движения Ко может быть задан своими проекциями. В частности, равенство (9.1)
  169
------------ page 170 --------------
  в проекциях на оси системы координат Oxyz записывается следующим образом:
  Кх = 2 rnk (ykvkz - zkvky)y
  n
  К у = 2 mk (zkvkx - xkvkz),
  Л-1 n
  К2=Ъ mk (xkvky - ykvkx)t
  (9.2)
  где *&, //л, г/i — координаты точки Mk.
  По этим формулам можно определить проекции Кх, Ку, Кг (моменты количеств движения материальной системы относительно координатных осей), а следовательно, и сам вектор Ко- Момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В этом примере нас интересует не момент количеств движения Ко твердого тела как вектор, а только
  одна его проекция К2 на ось вращения z тела.
  Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси z (рис. 9.1). Выделим в теле элемент объема М с массой dm и будем рассматривать его как материальную точку. При вращении тела вокруг неподвижной оси элемент объема М будет двигаться по окружности с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию hz от точки М до оси вращения. Проекция скорости v элемента объема М на касательную к окружности равна (oz/iz, а проекция количества движения на ту же ось будет vxdm = (dzhzdm. Так как плечо вектора vdm относительно оси вращения равно /z2, то момент количества движения элемента объема М относительно оси z равен vzdmhz = G>ghzdtn. Для всего тела будем иметь
  Кг = \ tozhl dm,
  где интегрирование распространено на массу всего тела.
  Проекция угловой скорости й)2 одинакова для всех точек тела и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла
  Кг — ®г J hz dm.
  170
------------ page 171 --------------
  Получившийся интеграл зависит только от характера распределения массы в теле и не зависит от его кинематического состояния. Он называется моментом инерции тела относительно оси z и обозначается символом /2 (в § 9.5 будет показано, что момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении):
  /г= \ hi dm. (9.3)
  В этих обозначениях будем иметь
  *г=/г(ог, (9.4)
  т. е. момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию угловой скорости тела на ту же ось.
  § 9.2. Краткие сведения о моментах инерции
  Теории моментов инерции будет посвящена специальная глава XII. Здесь же мы весьма кратко остановимся на основных определениях и сообщим некоторые формулы, не останавливаясь на их выводах.
  Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси, т. е. величина mh2. Моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно той one оси.
  Так, например, момент инерции материальной системы относительно оси z равен
  п
  lz=!Lmkh\z.
  При непрерывном распределении массы сумма переходит в интеграл (9.3).
  По определению момент инерции представляет существенно положительную величину. В нуль момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда все точки системы расположены на оси, относительно которой вычисляется момент инерции.
  Размерность момента инерции в системе СП равна кгм2, а в технической системе — кГмсек2.
  Задача 48. Определить момент инерции однородного тонкого стержня массы М и длины / относительно оси z, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец (рис. 9.2).
  171
------------ page 172 --------------
  Направим ось х вдоль стержня и выделим на нем элемент длины dx. Расстояние кг от этого элемента до оси г равно х, масса единицы длины
  стержня равна М/1, а масса выделенного элемента dm = —г- dx. Внесем эти
  значения для ht и dm в выражение (9.3) и учтем, что переменная интегрирования х изменяется от 0 до /. Тогда
  г\
  0
  
  L г
  
  ¦« ?, — —
  da,-
  ¦ i'
  !?z=x 1
  
  
  
  X
  
  I • fh*dm-f*?-dx
  или, интегрируя,
  Рис. 9.2.
  /,-тл«*.
  (9.5)
  Таково значение момента инерции однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец.
  Момент инерции 1Сг однородного тонкого стержня длины / и массы М относительно оси г, проходящей перпендикулярно к стержню через его центр тяжести С, будет равен
  1 ""> (9.6)
  >Сг =
  12
  Ml2.
  Не останавливаясь на выводе (см. § 12.3), заметим, что момент инерции однородного кругового цилиндра массы М и радиуса R относительно оси г цилиндра (рис. 9.3) определяется формулой
  l2 = LMRK
  (9.7)
  Это выражение для момента инерции не зависит от
  ^—| *^| I высоты цилиндра Н и поэтому оно справедливо и для
  однородного кругового диска.
  Нередко вводят радиус инерции тела, понимая под ним расстояние р от оси до точки, Рис. 9.3. в которой нужно сосредоточить массу М всей
  системы, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции системы относительно той же оси. По определению имеем
  / = Afp2. (9.8)
  Здесь М — масса материальной системы, / — ее момент инерции относительно данной оси, р — радиус инерции системы относительно этой же оси.
  § 9.3. Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы
  Рассмотрим материальную систему, состоящую из п материальных точек. Мысленно освободимся от связей, заменим их действие реакциями и разобьем все силы (включая реакции связей) на внешние F% и внутренние Flk. Тогда все точки си-
  172
------------ page 173 --------------
  стемы можно считать свободными и к каждой из них применима теорема об изменении момента количества движения (см. (3.10)):
  ^ = Af0(Fe„) + Alo(Fi). Складывая почленно, получим
  k=\ k=\ fc=l
  В левой части равенства вынесем знак производной за знак суммы; в правой части равенства первая сумма равна главному моменту Мо всех внешних сил относительно центра О, а вторая сумма, на основании второго свойства внутренних сил, равна нулю [см. формулу (7.6)]. Имеем
  ~jf 2^ Kok = Mo
  k=\
  или, учитывая выражение (9.1),
  Это уравнение представляет математическую запись теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы: полная производная по времени вектора момента количеств движения материальной системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту всех внешних сил относительно того же центра.
  В проекциях на неподвижные оси декартовых координат, начало которых совпадает с центром О, векторное равенство (9.9) эквивалентно трем скалярным:
  dKx .,/» dKu , ,Р dKz . р
  Из этой теоремы вытекает несколько следствий.
  1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение момента количеств движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы; см. § 7.2).
  2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то момент количеств движения материальной системы относительно того же центра не изменяется по модулю и направлению.
  173
------------ page 174 --------------
  Действительно, если Ме0 = 0, то равенство (9.9) принимает вид
  dt и'
  отсюда
  Ко - Ко = const, (9.11)
  где Ко — начальное значение вектора Ко-
  3. ?с\/ш главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси (например, оси х) равен нулю, то момент количеств движения материальной системы относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
  Если Л4* = 0, то согласно первому равенству (9.10.) будем иметь:
  -***- = ()• dt u'
  отсюда
  Кх = Кох = const, (9.W
  где Кох — начальное значение проекции Кх-
  Второе и третье следствия называются законами сохранения момента количеств движения материальной системы.
  § 9.4. Примеры и задачи
  Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы имеет очень интересные и практически важные приложения. В этом параграфе мы рассмотрим примеры и
  задачи, иллюстрирующие применение теоремы и ее следствия, причем некоторые из них имеют самостоятельное значение.
  1. Плоскость Лапласа. Солнечная система является изолированной (если пренебречь влиянием других звезд) и ее движение определяется только внутренними силами притяжении. Так как внешние силы отсутствуют, то на основании второго следствия момент количеств Рис. 9.4. движения Ко всей Солнечном системы сохра
  няет постоянное направление относительно далеких «неподвижных» звезд. Поэтому сохраняет неизменное направление и плоскость я, перпендикулярная к вектору Ко (рнс. 9.4). Эта плоскость (ее называют плоскостью Лапласа) имеет большое значение в астрономии, так как относительно нее ориентируют орбиты планет.
  2. Скамейка Н. Е. Жуковского. Для демонстрации теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы и ее следстс;п! Н. Е. Жуковский построил прибор, состоящий из горизонтальной платформы, которая может вращаться вокруг вертикальной оси с пренебрежимо малым трением. Мы опишем два опыта, хорошо иллюстрирующих теорему.
  174
------------ page 175 --------------
  а) В примере 1 § 8.4 было показано, что при отсутствии внешних сил человек не может изменить положения своего центра тяжести. Покажем, что, находясь в аналогичных условиях, человек может повернуться. Предположим, что человек стоит на скамейке Н. Е. Жуковского и держит над головой колесо или какой-нибудь другой предмет, который может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 9.5).
  Будем считать, что вся система, состоящая из человека, платформы и колеса, сначала находилась в покое; затем внутренними силами колесо раскручивается (это можно сделать, например, второй рукой). Так как моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю (силы тяжести параллельны оси вращения, а линии действия реакции опор платформы пересекают ее), то момент количеств движения Кг всей системы относительно этой оси должен сохранять постоянное значение, равное начальному,
  К,
  ¦K]z + K22 = 0.
  (9.13)
  г\
  где Кг и К; — моменты количеств движения относительно оси г колеса и человека с платформой.
  Равенство (9.13) должно сохраняться все время. Поэтому, если одно из слагаемых, например /ti, положительно, то второе слагаемое отрицательно. Это означает, что при вращении колеса в одном направлении человек вместе с платформой будет вращаться в обратном направлении. Если, повернув колесо на некоторый угол, затем прекратить его вращение, то платформа с человеком, повернувшись в обратном направлении на некоторый другой угол, также прекратит свое вращение.
  В § 9.8 будет показано, как используется этот метод космонавтами для поворота и ориентации при свободном полете в космосе.
  б) Второй опыт, хорошо демонстрируемый на скамейке Жуковского, состоит в следующем. Человек сто* ит на платформе, держа в руках гантели. Его раскручивают, после чего вращение происходит по инерции. Моменты внешних сил, действующих на систему «человек — платформа», относительно вертикальной оси вращения равны нулю. Поэтому момент количеств движения Кг системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Предположим, что человек, держа руки с гантелями по швам, вращается с угловой скоростью о)] (рис. 9.6,а). Обозначим момент инерции всей системы в этом положении через /j. Тогда согласно формуле (9.4) будем иметь: Kz = /icoj. Если человек, расста-вив руки с гантелями, будет держать их на уровне плеч (рис. 9.6,6), то момент инерции всей системы относительно оси вращения z увеличится (увеличатся расстояния от гантелей до оси г). Обозначим новый
  а)
  Ф
  Рис. 9.6.
  175
------------ page 176 --------------
  момент инерции через /2 и новую угловую скорость через о>2. Согласно той же формуле (9.4) в новом положении Кг = /г^г- Так как момент количеств движения Кг относительно оси вращения не изменяется, то
  /2g>2 = Л©1.
  Из этого равенства следует, что о>2 < Wi (ибо /2>Л). Таким образом, человек, поднимая руки до уровня плеч, уменьшает свою угловую скорость, а при опускании рук увеличивает ее.
  Задача 49. Тележка D поворотного подъемного крана движется с постоянной по модулю скоростью и относительно стрелы ВС крана. Мотор, вращающий кран, создает относительно оси вращения АВ крана постоянный момент МВр. Определить угловую скорость со вращения крана в зависимости от расстояния s
  тележки D до оси А В, если вес тележки вместе с грузом равен Р, а момент инерции крана (без тележки и груза) относительно оси вращения АВ равен /. Вращение крана начинается в момент времени, когда тележка находилась на расстоянии sQ от оси АВ (рис. 9.7).
  Рассмотрим систему, состоящую из вращающейся части крана и тележки с грузом. Для решения задачи применим теорему об изменении момента количеств движения системы относительно неподвижной оси вращения крана [см. третье уравнение (9.10)]:
  dKz
  dt
  -Mi
  (9.14)
  На рассматриваемую систему действуют следующие внешние силы и моменты: сила тя- рис 9.7. жести тележки с грузом Р, сила тяжести кра
  на Q, вращающий момент Мвр и реакции опор А и В крана (на рис. 9.7 показаны их составляющие). Моменты относительно оси г сил тяжести Р и Q и реакций опор А и В равны нулю (силы Р и Q параллельны оси z, а линии действия реакций пересекают ее). Поэтому
  М; = М,
  ер*
  (9.15)
  Перейдем теперь к определению момента количеств движения Кг системы относительно оси вращения крана. Система состоит из двух движущихся тел: вращающегося крана и тележки с грузом (тележка и груз движутся одинаково и их можно рассматривать как одно тело). Следовательно,
  Кг = К« + Ктг,
  (9.16)
  где Ккг и К\ — моменты количеств движения относительно оси г крана и тележки соответственно.
  Кран представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Поэтому согласно формуле (9.4) К* = /сог.
  Тележка участвует в сложном движении. Ее относительная скорость равна и, а модуль переносной скорости ve равен 5со2, где s — расстояние от тележки до оси вращения крана (размерами тележки пренебрегаем). Абсолютная скорость тележки
  v = и -f ve, а количество ее движения
  ///и = /на + tnve,
  17G
------------ page 177 --------------
  Следовательно,
  Кг = %1г + Kle>
  где К\г и /Cjg— моменты количеств относительного и переносного движений тележки относительно оси z.
  Так как вектор ти пересекает ось z% то КТгг = 0. Вектор количества переносного движения mve находится в горизонтальной плоскости и перпендикулярен к оси z. Поэтому
  или, учитывая, что ve ~ o>2s,
  КI — tmozS2.
  Внося найденные значения для Ки и Кт в (9.16), найдем
  Кг = '©г + ™<o2s2 = (/ + tns2) юг. (9.17)
  Подставив выражения (9.15) и (9.17) в равенство (9.14), получим дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы
  ^[(/ + ms2)co2] = MBp. (9.18)
  В этом уравнении величина s является переменной, причем s = м«, где и8 — проекция относительной скорости и тележки на ось стрелы ВС (и9 = ы, если тележка удаляется от оси вращения крана, и ия » — и в противном случае). Так как по условию задачи и — величина постоянная, то
  s — s0 e "s*.
  Интегрируя уравнение (9.18), получим
  (/ + ms2) <a2 = Mzt + С. (9.19)
  В начальный момент (/« 0) по условию задачи <ог — 0. Поэтому из формулы (9.19) следует, что С = 0. Заменим в равенстве (9.19) время t через расстояние s и найдем <о*:
  «s(/ + ms2) Угловая скорость может быть выражена так же как функция времени:
  - -р (9.21)
  wz I + m(s0 + usty В частности, при неподвижной тележке и» — 0
  / + т^5
  Из соотношений (9.20) и (9.21) видно, что знак сог совпадает со знаком Мг. Это означает, что направление вращения крана всегда совпадает с направлением вращающего момента Мя —- факт физически очевидный.
  177
------------ page 178 --------------
  § 9.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
  Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z.
  Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси обеспечивается специальными приспособлениями (подшипниками и подпятниками). Освободимся мысленно от связей и, заменив их соответствующими реакциями, будем в дальнейшем считать вращающееся тело свободным. Обозначим через /г момент инерции этого тела относительно оси вращения и через сог — проекцию его угловой скорости на ту же ось. Тогда момент количеств движения Кг твердого тела относительно оси вращения будет равен [см. формулу (9.4)]
  Внося это выражение в третье равенство (9.10), получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
  1,^-М1. (9.22)
  При вычислении главного момента всех внешних сил, приложенных к твердому телу, относительно оси вращения, нужно учитывать, что реакции идеальных (без трения) опор в уравнение (9.22) не войдут, так как линии их действия пересекают ось вращения и, следовательно, их моменты относительно этой оси равны нулю. Если же опоры создают моменты трения, то последние необходимо учитывать.
  Сравним дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с дифференциальным уравнением прямолинейного поступательного движения твердого тела
  М4± = Я. (9.23)
  Сравнивая уравнения (9.22) и (9.23), видим, что между ними можно провести глубокую аналогию: линейной скорости v поступательного движения тела соответствует его угловая скорость (о при вращении вокруг неподвижной оси (в уравнениях рассматриваются соответствующие проекции скоростей); силам, вызывающим поступательное движение тела, соответствуют моменты сил, вызывающих его вращение; массе тела в уравнении (9.23) соответствует момент инерции в уравнении (9.22). Так как масса тела представляет меру его инерции в поступательном движении, то из сделанного сопоставления следует, что момент инерции тела представляет меру его инерции во ера- щательном движении.
  178
------------ page 179 --------------
  Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (9.22) полезно сопоставить с формулировкой второго закона Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех сил, приложенных к телу. Аналогично можно прочитать и уравнение (9.22): произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу.
  Задача 50. К ротору электромотора приложен вращающий момент Мвр, изменяющийся по закону Мвр — М0 — хсо, где М0 и х— некоторые положительные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная х называется крутизной характеристики мотора), а со— угловая скорость ротора. Определить закон изменения угловой скорости со в период разгона ротора, если его момент инерции относительно оси вращения равен /.
  Совместим положительное направление оси вращения z с направлением вращающего момента Мвр. Тогда Mz = Мвр = М0 — хсо и со* = со (направление вектора угловой скорости в период разгона ротора совпадает, конечно, с направлением вращающего момента).
  Силы трения учтены постоянными М0 и х, поэтому сумма моментов всех внешних сил, приложенных к ротору, будет равна Мвр = М0— хсо. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела (9.22) в данном случае принимает вид
  /i^. = M0-xco. (9.24)
  Для определения закона изменения угловой скорости со от времени нужно решить это дифференциальное уравнение. Для этого разделим переменные
  Af0-x и проинтегрируем обе части равенства
  -— 1п(М0-хсо) = / + С.
  В начале разгона при / = 0 со = 0. Подставляя это условие в полученный первый интеграл, найдем постоянную интегрирования
  С = - — In М0.
  Подставим это значение для С в последнее равенство
   In Ш0 — хсо) = t In Мл.
  X X
  Группируя члены с логарифмами, получим
  М0 — ха) _ х
  "т^=-т'- ^
  Отсюда
  и, следовательно,
  1 --Г7- <*=*е J
  MQ
  «-^(l-e^). (9-26)
  179
------------ page 180 --------------
  Это равенство и определяет закон изменения угловой скорости. С ростом времени / второй член в скобках стремится к нулю. Поэтому угловая скорость ротора, монотонно увеличиваясь, стремится к своему предельному значению» соответствующему установившемуся режиму
  М0
  (9.27)
  Процесс разгона двигателя называется переходным процессом (его график показан на рис. 9.8). Переходный процесс считается для большинства электродвигателей законченным, когда угловая скорость со достигнет 0,95 своего предельного значения. Продолжительность /Пер переходного процесса
  легко определить, пользуясь формулой (9.25). Имеем:
  /» -JLjn/l--^— V (9.28)
  * I «уст /
  При (о/соуст = 0,95 время t = fnep. Следовательно,
  /., -±1п20—^-.
  пер х н
  Рис. 9.8.
  Момент инерции ротора / и крутизну
  характеристики двигателя к подбирают из
  условия, чтобы время переходного процесса находилось в заданных
  пределах (для электроприводов большинства механизмов ?Пер не превышает
  2—3 секунд).
  § 9.6. Момент количеств движения системы, участвующей в сложном движении
  Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей рационально представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом
  очень часто удается упростить вычисление момента количеств движения.
  Введем подвижные координатные оси Сх2у2^ перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей OiX\ij\Z\\ начало отсчета подвижных осей совместим с центром масс С материальной системы (рис. 9.9). Будем рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей 0\X\tj\Z\i так и относительно поступательно перемещающихся осей Сх2у2?2' Пусть Mk — одна из точек материальной системы. Введем обозначения: тк — масса точки Мк, гк — ее радиус-вектор, проведенный из начала 0\ неподвижных осей, Р/, — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала С
  i.
  V
  м„ 2г
  2^/
  
  С " Уг
  У?
  Рис. 9.9.
  180
------------ page 181 --------------
  подвижных осей, гс — радиус-вектор начала подвижных осей (т. е. центра масс) в системе 0\X\ij\Z\. Очевидно, что
  rk = rc + Qk. (9.29)
  Из кинематики известно, что скорость vh точки Mk относительно неподвижных осей складывается из переносной veh и относительной vrk скоростей
  vk = vek + vrk.
  Учитывая, что подвижные оси перемещаются поступательно, будем иметь
  Следовательно,
  vk = vc + vrk. (9 30)
  Момент количеств абсолютного движения Кох материальной системы относительно неподвижного центра 0\ равен
  п
  K0l= ЪгкХ mkvk. (9.31)
  Аналогичным образом определяется момент количеств относительного движения Кс материальной системы относительно начала С подвижных осей Сх2у2^2 (абсолютная скорость Vk заменяется относительной скоростью vrky абсолютный радиус-вектор rk точки Mh ее радиусом-вектором р* в подвижной системе координат)
  п
  Кс = 2 Р* X mkvrk. (9.32)
  Установиьг два тождества, которым должны удовлетворять радиусы-векторы pk и относительные скорости vrh. Положение центра масс системы в осях Сл^да^ определяется равенством [см. формулу (7.2)]
  п
  1 v
  Так как начало подвижной системы координат совпадает с центром масс, то рс = 0; следовательно,
  п
  2 ткрк = 0. (9.33)
  Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во внимание, что -%f = vrk> получим
  п
  2mft*7ft = 0. (9.34)
  181
------------ page 182 --------------
  Таким образом, движение любой материальной системы в поступательно перемещающихся осях, начало которых совпадает с центром масс системы, удовлетворяет тождествам (9.33) и (9.34).
  Преобразуем теперь выражение для момента количеств абсолютного движения Ког Для этого внесем в формулу (9.31) значения г* и vh из равенств (9.29) и (9.30)
  п
  Ког = 2 {гс + 9k) X mk (vc 4- vrk).
  Раскроем в правой части скобки и разобьем все выражение на четыре суммы:
  п п п
  К0х = 2 гс X mkvc + 2 9k X m^c + 2 гс X mfevrft +
  й=1 й=1 fe=l
  + 2 P* X m*tFrft.
  k=\
  Учтем следующие обстоятельства: а) множители гс и vc не зависят от индекса суммирования k и их можно вынести за знак суммы; б) скалярный множитель mh можно отнести к любому векторному множителю; в) последняя сумма в правой части в соответствии с (9.32) равна Кс. На этом основании выражение для Кох можно представить в виде
  /Co, = rcx(2 mJvc + ( 2 mkQk)xvc + rcX 2 mkvrk + K[. \fe=i / \ft=»i / k=\
  Согласно тождествам (9.33) и (9.34) второе и третье сла-
  п
  гаемые равны нулю, а 2 mk = M, где М — масса всей си-
  стемы. Следовательно,
  K0l = гс X Mvc + Кс (9.35)
  или
  K0l=M0l(Mvc) + Krc (9.36)
  Это равенство можно прочитать следующим образом: момент количеств абсолютного движения Ко, относительно неподвижного центра 0\ равен сумме момента относительно того же центра количества движения центра масс системы, в предположении, что в нем сосредоточена вся ее масса, и момента относительно центра масс количеств относительного движения системы, причем последнее движение рассматривается по отношению к поступательно перемещающимся координатным осям, начало которых совпадает с центром масс системы.
  .182
------------ page 183 --------------
  В проекциях на неподвижные оси координат векторное равенство (9.36) эквивалентно трем скалярным:
  KXl"MXt{Mvc) + Kcxl9
  Kyi = Myi(Mvc) + Krcyi, K2i = Mz,(Mvc) + Kc^
  (9.37)
  Задача 51. Эпициклический механизм состоит из неподвижной шестерни /, кривошипа 0\С и сателлита // (рис. 9.10). Кривошип 0\С массы пг} вращается с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через центр 0\. шестерни / радиусом R. Считая сателлит // однородным диском массы т2 и радиуса г, а кривошип однородным тонким стержнем длины /==/? + г, определить момент количеств движения механизма относительно неподвижной оси вращения кривошипа.
  Построим две системы координат: неподвижную 0\Xiy\Z\ и поступательно перемещающуюся систему Cx2y2z2, начало которой совпадает с центром тяжести сателлита подвижной шестерни //; координатные оси 0\Z\ и Cz2 направлены на читателя. Так как шестерня / неподвижна, то момент количеств движения /С?, эпициклического механизма относительно неподвижной оси zx будет
  *«-*?+*?
  Рис. 9.10.
  где /С*р и Кgf — моменты количеств движения относительно оси 0\Z\ кривошипа и сателлита соответственно.
  Кривошип представляет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси 0\Z\. На основании формулы (9.4) имеем
  КУ - /*рсо,
  где со
  coz — проекция угловой скорости кривошипа на ось z\% а /*р -
  момент инерции относительно той же оси. Для однородного тонкого стержня согласно формуле (9.5) /*Ря- -^nt\l2 — -?r m\ {R + r)2. Следовательно,
  Подвижная шестерня участвует в сложном движении. Поэтому для вычисления момента количеств движения сателлита относительно оси 0\ZX воспользуемся третьей формулой (9.37):
  -Построим в центре тяжести С шестерни // вектор количества движения m2vc (см. рис. 9.10). Плечо вектора m2vc относительно оси Oxz\ равно / = R + г. Следовательно,
  Mzx(m2vc)~m2vc 1Я + 0-
  183^
------------ page 184 --------------
  Движение шестерни // относительно осей Сх2у2г2 представляет вращение вокруг оси Сг2. Поэтому согласно формуле (9.4)
  В этом равенстве I!J2 «= -у т2г2 — момент инерции относительно оси Сг2 шестерни // [см. формулу (9.7)] и (Оц —ее угловая скорость. Внося Mz (m2vc) и КгСгг в выражение для К1/, получим
  К" - т2 W + г) vc + ~-m2r2co7/.
  Для полного решения задачи нам осталось вычислить модуль скорости t>c центра тяжести С шестерни // и ее угловую скорость сои.
  Точка С принадлежит одновременно и кривошипу 0{С. Поэтому
  vc = со (R + г).
  Мгновенный центр скоростей Р шестерни // совпадает с точкой касания обеих шестерней. Скорость точки С, как точки шестерни //, определяется равенством
  vc = r(i>ir
  Сравнивая оба выражения для скорости точки С, найдем
  Я + г со,,¦» со.
  " Г
  Подставим значение для vc и со/7 в выражение для К*2\ и сгруппируем члены
  J#-m2(* + /•)(*+4 г).
  Теперь найдем момент количеств движения /Сг> всего механизма относительно оси OiZ\
  KZy = (R + г) [1 m, (Л + г) + т2 (« + -| г)] ш. Это выражение можно записать в форме (9.4)
  где величина
  4 -(* + ') [у «| (Я + О + /"2 (* + 4 ')] <9-39)
  называется приведенным к оси 0j2i моментом инерции механизма.
  Заметим, что приведение момента инерции механизма к одной и той же оси можно производить различными методами. В данном примере это приведение выполнено при вычислении момента количеств движения системы.
  § 9.7. Теорема об изменении момента количеств относительного движения материальной системы
  Доказанная в § 9.3 теорема относилась к абсолютному движению, т. е. к движению материальной системы относительно инерциальных осей. Кроме того, предполагалось, что точка, относительно которой вычислялся момент количеств движения,
  184
------------ page 185 --------------
  неподвижна. Эти ограничения вносят известные неудобства при изучении вращательных движений тел, не имеющих неподвижных точек (самолеты, корабли, ракеты, приборы, установленные на них и т. п.). В этом параграфе мы рассмотрим, какой вид принимает теорема об изменении момента количеств движения для относительного движения.
  Будем изучать движение материальной системы относительно подвижных осей 02Х2У2^ перемещающихся поступательно относительно инерциальных осей 0\X\tj\Z\. Напомним, что все законы динамики, установленные для материальной точки, движущейся в инерциальной системе отсчета, остаются справедливыми для ее относительного движения, если только к силам, действующим на точку, присоединить переносную и кориолисову силы инерции (см. главу VI).
  Подвижные оси
  02Х2У2%2 перемещаются по условию поступательно. Поэтому ускорения Кориолиса whc и соответствующие силы инерции, хь mhWkc, равны нулю. Кроме того, при поступательном движении подвижных осей Ог-ад^г переносные ускорения всех точек одинаковы и равны ускорению w0^
  Wke = W0>
  Следовательно, переносная сила инерции k-й точки определяется равенством
  he = - mkWke = - ™kWOS (9.40,
  где rrik — масса точки.
  На рис. 9.11 показаны координатные оси 0\X\yxZ\ и 02х2у2^2г ускорение полюса wo2 и &-я точка материальной системы, к внешней F% и внутренней F? силам которой присоединена переносная сила инерции — tnkwQ .
  Теперь координатные оси ОгОДг^г можно считать неподвижными. В применении к теореме об изменении момента количеств движения это означает, что в равенстве (9.9) момент количеств абсолютного движения Ко вычисленный относительно неподвижной точки, нужно заменить на момент количеств относительного движения Ко[ вычисленный относительно начала 02 подвижных осей O2X2IJ2Z2, и к моментам внешних сил нужно присоединить моменты сил инерции переносного ускорения всех точек
  185
  4i*=-4*% if/
  Рис. 9.11.
------------ page 186 --------------
  системы
  dKb
  ^ - Mo,+ S^o.. (/*.). (9.41)
  dt Согласно (9.40) имеем (см. рис. 9.11)
  %МоХ'»)-%»>*{-mk»ob
  Скалярный множитель тк отнесем к вектору рЛ, а общий множитель— wo, вынесем за знак суммы
  п п
  В соответствии с формулой (7.2) сумма, стоящая в скобках, равна Мрс, где М — масса всей системы, а рс — радиус-вектор центра масс в подвижной системе координат. Следовательно,
  2 Щ, (he) = «Рс X ( ~ Ш01) - рс X ( - MWQ).
  Произведение — Mwot назовем переносной силой инерции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса М всей системы. (При поступательном движении осей 02Х2У2?2 переносное ускорение центра масс С равно ускорению полюса Wot.) Будем считать, что сила инерции — Mwo2 приложена в центре масс. Тогда произведение РСХ( — MwQ^ представляет собой момент силы — Mwo2 относительно подвижного центра 02
  мо. (- Mwo) - Рс X (" Mwo> (9-42)
  Учитывая введенные обозначения, равенству (9.41) можн<} придать следующий вид:
  dKrr
  о,
  dt
  = Me(h + Mo~(-Mw0i). (9.43)
  Это уравнение представляет математическую запись в векторной форме теоремы об изменении момента количеств относительного движения. В проекциях на поступательно перемещающиеся оси JC2, У2, z2 оно дает следующие три скалярные уравнения:
  ^-ЛС + ЛМ-Mwo,), f^-A^ + AM-Afwo,),
  (9.44)
  186
------------ page 187 --------------
  В частном, но весьма важном случае, когда начало 02 поступательно перемещающихся осей совмещено с центром масс С материальной системы, уравнение (9.43) существенно упрощается. Действительно, в этом случае рс = О,
  МоА- Mwo,) = PcX(- м*>о,) = 0 и уравнение (9.13) принимает вид
  ^ = Мес. (9.45>
  В проекциях на поступательно перемещающиеся оси х2, у2, г2 будем иметь:
  ^f = ЛС ^f = <, ^jf-Aft. (9.46>
  Сравним уравнение (9.9) с уравнениями (9.43) и (9.45). В первом из них при вычислении момента количеств движения Ко, учитываются абсолютные скорости точек материальной системы и за центр выбирается неподвижная точка. В уравнениях (9.43) и (9.45) при вычислении момента количеств движения /Со, учитываются скорости точек материальной системы относительно поступательно перемещающихся осей 02x2y2z2 (или Cx2y2z2) и за центр выбирается начало подвижной системы координат.
  В правой части уравнения (9.43) к моментам внешних сил нужно присоединить момент относительно подвижного центра переносной силы инерции — Mwo*.
  Отметим, что если за полюс выбрать центр масс, то теорема об изменении момента количеств относительного движения [уравнение (9.45)] по своей форме полностью совпадает с аналогичной теоремой об изменении момента количеств абсолютного движения [уравнение (9.9)].
  Остановимся подробнее на уравнении (9.45). Так как оно по своей форме в точности совпадает с уравнением (9.9), то движение материальной системы относительно ее центра масс происходит так же, как если бы последний был неподвижен. Все следствия теоремы моментов количеств движения относительно неподвижной точки остаются справедливыми и для момента количеств движения относительно центра масс. В частности, если сумма моментов всех внешних сил относительно центра масс равна нулю, то момент количеств движения / с сохраняет постоянную величину и направление; если сум г-н моментов всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс и перемещающейся поступательно, равна нулю, то момент количеств движения относительно этой оси сохраняет свое первоначальное значение.
  187
------------ page 188 --------------
  § 9.8. Примеры
  Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих доказанные теоремы.
  1. Поворот космонавта. Предположим, что космонавт вышел из космического корабля и совершает свободный полет. Будем считать, что космонавт отделился от корабля без вращения и что силы тяготения небесных тел (например, Земли), действующие на космонавта, сводятся к одной равнодействующей /\ проходящей через его центр масс С. Тогда момент сил тяготения относительно центра масс С будет равен нулю и, следовательно, момент количеств движения относительно точки С сохраняет постоянную величину и направление. Возникает вопрос: может ли космонавт без применения реактивных микродвигателей повернуться в нужном направлении?
  Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый опыт на скамейке Жуковского, в котором поворот человека достигался поворотом колеса (или руки). Так как движение материальной системы относительно центра масс происходит по тем же законам, что и относительно неподвижной точки, то любая прямая, проходящая через центр масс космонавта и перемещающаяся поступательно, играет ту же роль, что и ось скамейки Жуковского. Поэтому поворотом руки космонавт может повернуть свое тело в противоположном направлении.
  2. Изменение угловой скорости спортсмена. Рассмотрим вращение спортсмена, совершающего прыжок с вышки в воду. Во время прыжка на спортсмена действует одна внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебрегаем)— сила тяжести. Эта сила приложена к центру масс С спортсмена и, следовательно, она не создает момента относительно точки С. Поэтому момент количеств движения КГ?г спортсмена относительно горизонтальной оси г, проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости движения, остается без изменения
  КгСу =* const.
  Движение спортсмена относительно поступательно перемещающейся оси z представляет собой вращение вокруг этой оси. Тогда согласно формуле (9.4)
  где ICz — момент инерции спортсмена относительно горизонтальной оси г, а а) — угловая скорость спортсмена (направление оси z выберем так, чтобы со — со2).
  В начале прыжка спортсмен, отталкиваясь от трамплина, сообщает телу угловую скорость ©I, имея момент инерции 1Cz= Л- Затем в процессе прыжка он группируется (складывается), уменьшая тем самым момент инерции /Сг = /2. Учитывая, что Кс2 e const, получим
  /2(02 — Л®1'
  Так как /2 < Л, то о)2 > соь т. е. в середине прыжка, когда спортсмен группируется, его угловая скорость увеличивается.
  Перед входом в воду спортсмен снова выпрямляется, увеличивая момент инерции / и уменьшая тем самым свою угловую скорость.
  Весь процесс изменения угловой скорости спортсмена за счет изменения его момента инерции совпадает со вторым опытом на скамейке Жуковского (см. § 9.4). Роль оси скамейки играет горизонтальная ось г, проходящая через центр масс спортсмена.
  3. Методы стабилизации вращения космического аппарата. В силу различных случайных причин космический аппарат при отделении от последней
  188
------------ page 189 --------------
  Рис. 9.12.
  ступени ракеты получает небольшую угловую скорость Q0. Для выполнения различных работ (фотографирование небесных тел, изменения орбиты, мягкой посадки и т. п.) космический аппарат необходимо надлежащим образом ориентировать, для чего прежде всего нужно прекратить его вращение.
  Рассмотрим два метода, с помощью которых можно остановить вращательное движение аппарата.
  а) Первый метод основан на введении реактивного момента Мр. Предположим, что космический аппарат вращается вокруг оси Сг2, проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инерциальных осей координат. Два параллельно расположенных сопла реактивного микродвигателя устанавливаются на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 9.12 ось Cz2 направлена на читателя, а сопла А и В находятся в плоскости рисунка). При отделении продуктов сгорания создается реактивный момент Afp (см. главу XI), управляя которым можно сначала остановить вращение космического аппарата, а затем повернуть его таким образом, чтобы ось Сл\ жестко связанная с ним, приняла нужное направление (например, была бы направлена по вектору скорости центра масс, или на какое-нибудь небесное тело).
  Так как вращение космического аппарата может происходить вокруг любой оси, то он должен иметь три пары таких реактивных двигателей, расположенных в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.
  б) Второй метод основан на применении вращающихся масс. Пусть по- прежнему космический аппарат вращается с угловой скоростью ft вокруг поступательно перемещающейся оси Cz2, проходящей через центр масс аппарата С. Будем считать, что силы притяжения, действующие на космический аппарат, приводятся к одной равнодействующей F, проходящей через точку С. Тогда момент внешних сил (сил притяжения) относительно центра масс С будет равен нулю.
  Поместим внутри космического аппарата небольшой маховичок Г. Для простоты будем считать, что жестко связанная с аппаратом ось вращения маховичка Г совмещена с осью Cz2 (рис. 9.13).
  Рассмотрим систему, состоящую из маховичка Г и космического аппарата (без маховичка). Так как сумма моментов всех внешних сил относительно поступательно перемещающейся оси Cz2 равна нулю, то момент количеств движения всей системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Поэтому, если заставить
  вращаться маховичок Г в ту же сторону, что и космический аппарат, вращение последнего начнет тормозиться.
  Остановимся на этом явлении несколько подробнее.
  Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг поступательно перемещающейся оси Cz2. Момент количеств движения всей системы КГс2г относительно оси Cz2 будет равен сумме моментов количеств движения относительно этой же оси космического аппарата и маховичка Г. В соответствии с формулой (9.4) будем иметь
  Кс*-'(? + '№+¦©),
  Рис. 9.13.
  189
------------ page 190 --------------
  = Q0
  co =
  /
  /o + /
  ^ФЧ.
  где /о и / — моменты инерции относительно оси Cz2 космического аппарата (без маховичка Г) и маховичка Г соответственно, й — угловая скорость космического аппарата относительно системы осей Схгдаг, перемещающихся поступательно в инерциальной системе отсчета, и (о — угловая скорость маховичка Г относительно космического аппарата; при этом предполагаем, что оба тела вращаются в одну сторону, QZj = Q и а>г2 = со.
  Так как Кгс^ =* const, то
  /0Й т- / (Q + <о) « /0Q0 + / (Go + ©о)- (9-47)
  Здесь Q0 и (до — начальные значения Q и (о.
  Будем отсчитывать время с момента запуска маховичка. Тогда (о0 = 0. Решим теперь полученное уравнение относительно Q:
  (9.48)
  '0Т«
  Положив Q = 0, найдем
  7.-4- /
  (9.49)
  Таким образом, для того чтобы остановить вращение космического аппарата (Q = 0), маховичку Г необходимо сообщить угловую скорость о), определяемую равенством (9.49), причем вращение маховичка должно происходить в ту же сторону, что и вращение космического аппарата (знаки (о и Q0 одинаковы). Отметим, что торможение космического корабля происходит не за счет сил трения, а путем использования динамического эффекта, при котором осуществляется перераспределение угловых скоростей тел, входящих в систему. Конечно, так же как и в первом методе, на космическом аппарате нужно установить три маховичка, оси вращения которых должны быть взаимно перпендикулярны.
  Первый способ стабилизации, в отличие от второго, требует одновременной затраты энергии. В этом состоит основное его преимущество.
  Покажем, что с помощью маховичков космический аппарат можно повернуть на заданный угол.
  Предположим, что до запуска маховичка Г космический аппарат не вращался (Q0 = 0). Тогда равенство (9.47) примет вид (<о0 = 0)
  (10 + /) Q + /со = 0, или
  Здесь i|? — угол поворота космического аппарата, отсчитываемый в поступательно перемещающейся системе отсчета Сх2у2, а (р — угол поворота маховичка относительно аппарата.
  Интегрируя последнее равенство, получим
  (/о + /)(*- *о) + / (<Р - Фо) - 0, где \|?о и (fo — начальные значения углов \|э и ф. Отсюда
  Ф - Фо = -j— (У - *о).
  т. е. для того, чтобы повернуть космический аппарат на угол ф — \|?о, нужно повернуть маховичок в противоположную сторону на угол -~— (\J) — фо).
------------ page 191 --------------
  ГЛАВА X
  ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  § 10.1. Кинетическая энергия материальной системы и способы ее вычисления
  Как известно, кинетической энергией одной материальной точки называется половина произведения массы т точки на квадрат ее скорости. Кинетической энергией материальной системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему. Обозначается кинетическая энергия символом Т. По определению имеем:
  г-f? "»*<*• <101>
  Стоящие в этом выражении скорости vk точек материальной системы определяются относительно инерциальной системы отсчета.
  Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей целесообразно представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом очень часто удается упростить вычисление кинетической энергии системы.
  Введем подвижные координатные оси Одздг^, перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей 0\X\y\Z\. Будем рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей 0\XXy\Z\, так и относительно поступательно перемещающихся осей Ox2y2Z2. Пусть Mk — одна из точек материальной системы массы тъ. Введем обозначения: rh — радиус-вектор точки Mhy проведенный из начала 0\ неподвижных осей, pk — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала О подвижных осей, г0 — радиус-вектор начала подвижных осей в системе OiX\y\Z\ (рис. 10.1).
  191
------------ page 192 --------------
  В соответствии с формулой (9.30)
  vk^v0 + vkr9 (10.2)
  где Vk — скорость точки Mhl v0 — скорость начала О подвижных осей, vkr — скорость точки Mk относительно поступательно перемещающихся осей Ох2у2^2>
  Под кинетической энергией относительного движения будем понимать выражение
  Tr = Y%mkv
  2
  (10.3)
  fc=l
  получающееся из (10.1) заменой абсолютной скорости vh точки Mk ее относительной скоростью vhr.
  Учтем теперь, что скалярный квадрат любого вектора равен квадрату его модуля, т. е. а2 = а2. Поэтому выражение (10.1)
  для кинетической энергии можно записать следующим образом:
  Рис. 10.1.
  или, пользуясь равенством (10.2),
  п
  fe-i
  Возведем скобку в квадрат и разобьем сумму на три части:
  п
  T-^rnk{vl + 2v0.vkr + v\r)^
  П
  =у 2 m*vo+2 тл> • vkr+12 тЛг
  Последняя сумма равна кинетической энергии ТТ относительного движения; в первой и второй суммах множители v20 и vQ не зависят от индекса суммирования и их можно вынести за знаки сумм:
  п п
  Л=-1
  Л-1
  Выражение 2 mk равно массе всей системы М, а 2 m>kvkr =
  /г=1
  *-1
  MvCn где гСг — скорость центра масс С относительно посту-
  192
------------ page 193 --------------
  пательно перемещающихся осей Ox2t/2Z2- Докажем последнее утверждение.
  В соответствии с формулой (7.2) имеем
  л
  где рс — относительный радиус-вектор центра масс. Дифференцируя по времени, получим
  dt ~~ M 2jnik dt 9 или
  n
  что и доказывает справедливость сделанного замечания.
  На этом основании последнее выражение для кинетической энергии можно привести к следующему виду:
  Г-1Д1^ + Л1р0.рсг + Гг. (10.4)
  Если начало подвижных осей О совпадает с центром масс С системы, то v0 = vc и vCr = 0. В этом случае последнее равенство упрощается:
  Г-уА*о| + Гг. (10.5)
  Словами его можно прочитать следующим образом (теорема Кенига): кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном движении складывается из кинетической энергии 1уЛ1у2] центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии Тг системы в ее движении относительно поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с центром масс осей
  СХ2У222-
  В следующем параграфе мы рассмотрим, как используются полученные формулы для определения кинетической энергии материальной системы.
  § 10.2. Кинетическая энергия твердого тела
  Очень часто материальная система представляет твердое тело или совокупность твердых тел. В связи с этим нужно уметь определять кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения.
  7 Н. В. Бутении и др., т. 2 193
------------ page 194 --------------
  Так как твердое тело рассматривается как непрерывно распределенная масса, то все суммы, входящие в выражения для кинетической энергии материальной системы, переходят в интегралы, а масса тк отдельной точки заменяется дифференциалом dm. Поэтому для твердого тела формула (ЮЛ) примет вид
  -¦-j) v2dmt
  (10.6)
  где интегрирование производится по массе всего тела.
  1. Кинетическая энергия твердого Рис- 10-2- тела, движущегося поступательно. При
  поступательном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы (рис. 10.2). Вынося v2 в формуле (10.6) за знак интеграла, получим
  Т = 1 v2 J dm , учитывая, что Г dm = M, где М — масса всего тела,
  или
  Т = ± Mv\
  (10.7)
  Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
  Формула (10.7) применима также для случая, когда скорости всех точек материальной системы равны между собой по модулю. Например, по такой формуле можно вычислить кинетическую энергию ремня, участвующего в передаче вращения от одного шкива к другому.
  2. Кинетическая энергия твердого гела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Модуль скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен coh:> где оз — модуль угловой скорости твердого тела, a hz — расстояние от точки до оси вращения г (рис. 10.3). Подставляя в формулу (10.6) значение скорости точки v = соЛг, получим
  R Рис. 10.3.
  T = j\ ^А^от,
  194
------------ page 195 --------------
  или, вынося за знак интеграла со2 (угловая скорость одинакова для всех точек тела и от переменной интегрирования не зависит),
  4<ф*
  dm.
  Полученный интеграл согласно формуле (9.3) представляет момент инерции тела /г относительно оси вращения. Следовательно,
  Г = у/*со2, (10.8)
  т. е. кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
  3. Кинетическая энергия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. При сферическом движении твердого тела модуль скорости любой его точки М определяется равенством (рис. 10.4)
  v = (uAw,
  где со — угловая скорость тела, а Л© — рас- Рис* 10*4-
  стояние от точки М тела до его мгновенной оси вращения. Сравнивая с предыдущим случаем, когда v = о>Лг, получим выражение для кинетической энергии твердого тела при его сферическом движении
  7, = у/(0ш2, (10.9)
  где /о — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.
  Заметим, что, несмотря на внешнее сходство формул (10.8) и (10.9), между ними имеется и существенное различие. Положение оси вращения z неизменно относительно тела, поэтому момент инерции /2 в формуле (10.8) с течением времени не меняется. Положение мгновенной оси вращения в общем случае меняется относительно тела, вследствие чего момент инерции в формуле (10.9) есть величина переменная.
  4. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося произвольным образом. Пусть твердое тело движется произвольным образом относительно инерциальных осей. Введем поступательно перемещающуюся систему координат Сх2у2^ начало которой совместим с центром масс С тела, и воспользуемся теоремой Кенига [формула (10.5)]:
  T = ±Mv*c + Tr.
  7*
  195
------------ page 196 --------------
  Движение тела относительно поступательно перемещающихся осей Сх2у2?2 представляет собой вращение с угловой скоростью со (рис. 10.5). Поэтому кинетическая энергия относительного движения определится формулой (10.9)
  TV^tW»2
  2Л
  где /са> — момент инерции тела относительно оси, проходящей
  через его центр масс С и совпадающей с вектором угловой скорости (О.
  Подставляя значение Тг в выражение для Г, получим
  ^
  Уг
  T = ±Mv*+±I
  «G)~
  (10.10)
  Л/
  Рис. 10.5.
  Это равенство представляет математическую запись теоремы Кенига для свободного твердого тела, которую можно прочитать следующим образом: кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в его движении относительно центра масс.
  В общем случае момент инерции /C(D представляет переменную величину.
  5. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении. При плоском движении твердого тела вектор угловой скорости со всегда перпендикулярен к плоскости движения, совпадая с поступательно перемещающейся координатной осью Cz2 (на рис. 10.6 оси 0\Z\ и Cz2 не показаны). Заменив в моменте инерции 1Сш формулы (10.10) нижний индекс Со) на С?2, получим выражение для кинетической энергии твердого тела в случае плоского движения:
  Vi
  Ot
  я,
  Рис. 10.6.
  Г = ^М4 + |/Сгу. (10.11)
  Ось Сг2 не меняет своего положения относительно тела и, следовательно, момент инерции lcz% не меняется с течением времени. Это обстоятельство существенно упрощает все вычисления.
  Прежде чем перейти к примерам, сделаем два замечания.
  а) При вычислении кинетической энергии твердого тела, движущегося произвольным образом или участвующего в плос-
  196
------------ page 197 --------------
  ком движении, формулы (10.10) и (10.11) не всегда являются самыми простыми. Иногда удобнее пользоваться более общей формулой (10.4); см. пример в конце параграфа.
  б) Если материальная система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия Т будет равна сумме кинетических энергий Т5 всех тел, входящих в систему (это непосредственно вытекает из определения)
  Т = Г, + Т2 +
  + Тп.
  (10.12)
  Рассмотрим пример на вычисление кинетической энергии материальной системы.
  Задача 52. Каток К массой т\ лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через блок Б радиуса г. К свободному концу троса прикреплен груз Г, массой т3. При опускании груза со скоростью v трос, разматываясь, приводит в качение без скольжения каток К (рис. 10.7). Определить кинетическую энергию системы, если момент инерции блока Б относительно оси вращения равен h\ каток считать однородным круглым цилиндром, массой троса пренебречь.
  Система состоит из трех тел: катка К, блока Б и груза Г. Поэтому ее кинетическая энергия Т будет равна
  Щт
  Рис. 10.7.
  где 7^, Тъ и Тг — кинетические энергии катка, блока и груза соответственно. Груз Г движется поступательно. Его кинетическая энергия Тг согласно формуле (10.7) будет равна
  Блок Б вращается вокруг неподвижной оси. Согласно формуле (10.8) его кинетическая энергия
  где соБ — угловая скорость блока.
  Скорость точки касания блока с тросом равна скорости v груза Г. Следовательно, v = го) г. Отсюда со Б = и/г и
  УБ~ 2 2 Г2 *
  Каток К участвует в плоском движении. Кинетическую энергию Тк катка найдем по теореме Кенига [см. формулу (10.11)]:
  197
------------ page 198 --------------
  где vc — скорость центра С катка, © к — угловая скорость катка, ICz2 — его момент инерции относительно оси Сг2 (на рис. 10.7 ось Сг2 направлена на читателя).
  Скорость верхней точки Е катка К равна v. Точка Р касания катка с горизонтальной плоскостью является мгновенным центром скоростей. Поэтому
  v
  vc"T9
  Угловую скорость <ок найдем из равенства
  vc - /?сок,
  где R — радиус катка. Отсюда
  «к—в""
  V
  ~2/Г
  Момент инерции катка относительно его оси Cz2 определяется формулой (9.7)
  Внося значения vc, преобразований получим
  'Czi 2 и ICzt в выражение для Гк>
  гк—[бт1°2-
  после очевидных
  Теперь находим кинетическую энергию Г всей системы
  3 _, . 1
  4
  
  Л>
  Г #4
  
  
  4
  ?у
  \tf\
  1
  «8?
  
  
  
  
  У и У г r vCr!*7ifi
   -Щ,
  
  или
  Хб^^ + у^тг + у^Л
  T^±M^v\
  (10.13)
  где величина
  г'пр
  —|m,+-? + m, (10.14)
  называется приведенной массой системы.
  Рассмотрим задачу на применение формулы (10.4). Рис. 10.8. Задача 53. Твердое тело массой
  М вращается вокруг горизонтальной оси 0Zj (ось 0Zi перпендикулярна к плоскости рис. 10.8); момент инерции тела относительно оси вращения Ого равен /. Определить кинетическую энергию тела, если ось подвеса Ог? перемещается горизонтально со скоростью Vo (эта скорость может быть переменной).
  Построим неподвижные оси 0[Х\у\ и подвижные оси Ох2у2. Движение тела относительно осей Ох2у2 представляет вращение вокруг оси 02г. Обозначив через ф угол между осью х2 и прямой ОС, где С — центр тя«* жести тела, найдем кинетическую энергию в относительном движении
  198
------------ page 199 --------------
  Модуль скорости точки С относительно осей Ox2t/2 равен Лф (считаем ф>0); направление скорости Vcr показано на рис. 10.6. Скалярное произведение векторов Vq.h vСг будет: vQ • vCr = vQh^> cos ср. Пользуясь формулой (10.4), найдем кинетическую энергию тела
  Т«-i- Mv20 + Af0oAq>cosq> + ^- /ф2. (10.15)
  Применение теоремы Кенига потребовало бы больших выкладок, так как нужно было бы определить абсолютную скорость точки С и перейти от момента инерции относительно оси Cz к заданному моменту инерции относительно оси Ог2.
  § 10.3. Работа сил, приложенных к материальной системе
  В дальнейшем нам нужно будет вычислять суммарную работу внешних и внутренних сил, приложенных к материальной системе. При этом возникает ряд особенностей, на которых полезно остановиться подробнее.
  Предположим, что при своем движении материальная система перешла из одного положения, которое она занимала в момент времени to, в другое положение, соответствующее моменту времени /. Обозначим через А полную работу, которую совершают при этом перемещении системы все приложенные к ней силы, причем работы внешних и внутренних сил будем обозначать соответственно через Ае и А\ так что
  А~А' + А\ (10.16)
  Если через At и А{ обозначить работу, которую совершают внешние и внутренние силы, приложенные к точкам системы, при переходе ее из первого положения во второе, то по определению будем иметь
  Ае=%А1 A'-SAl
  1. Работа сил тяжести. Если материальная система находится в однородном поле тяжести, то на каждую ее точку Mh массой mk действует внешняя сила F\=tnkg, элементарная работа d А% которой равна m^g'drh. Направим ось z вертикально вверх.
  Тогда проекции силы Fk будут равны 0, 0, —rtikg и
  d' А\ = rtikg - drk= - mkg dzk-
  Найдем теперь сумму элементарных работ всех сил тяжести, приложенных к системе;
  п п п
  2 d'Al = - 2 rrikg dzk = - gd 2 mkzkt
  199
------------ page 200 --------------
  или, учитывая третье равенство (7.3), будем иметь
  где М — масса всей системы, a zc — аппликата ее центра тяжести.
  Полная работа сил тяжести при переходе системы из первого положения во второе определится равенством
  zc Ае= -Mg J* dzc = - Mg {zc - zoc)
  zoc или
  A* = Mg (zoc -zc) = P (zoc - *c). (Ю-17)
  В этом равенстве zc и zoc — значения аппликаты центра тяжести системы в ее конечном и начальном положениях, а Р — вес всей системы.
  Таким образом, полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы, умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести.
  2. Работа внутренних сил твердого тела. Докажем, что сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.
  Пусть F\ и Fl2— внутренние силы взаимодействия точек В и D твердого тела (рис. 10.9). По третьему закону Ньютона они равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны:
  Рг--Р\. (10.18)
  Составим сумму мощностей этих сил:
  Л'* = F[ • vB + Fi • vD = F{ • vB - F\ • vD = F{. (vB - vD),
  где vB и vD — скорости точек В и D соответственно.
  Примем точку D за полюс. Тогда согласно известной формуле кинематики
  ^ = ^ + ©Х DB,
  где <о— угловая скорость тела. Внося это значение для скорости точки В в последнее равенство, получим
  JV' = JPf.(©XjDB).
  Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов Р\ и (о X DB равно нулю (так как вектор со X ?В
  200
------------ page 201 --------------
  перпендикулярен к вектору DB, коллинеарному с силой F\). Поэтому
  #'=J]A'} = 0,
  причем полную мощность можно распространить, конечно, на все внутренние силы твердого тела (они входят попарно).
  Так как сумма мощностей внутренних сил твердого тела равна нулю, то будет равна нулю и сумма работ этих сил
  /«1
  (10.19)
  что доказывает сделанное утверждение.
  Аналогично можно доказать (мы не будем останавливаться на этом), что сумма работ внутренних сил абсолютно гибкой и нерастяжимой нити равна нулю.
  3. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Пусть сила Fe приложена к некоторой точке тела, отстоящей от неподвижной оси вращения z на расстоянии h. Точка приложения силы описывает при движении тела окружность
  радиуса Л. Разложим силу Fe по осям естественного трехгранника и обозначим ее составляющие через F%, Fen и Ft (рис. 10.10). Работа составляющих сил Fen и Fl равна нулю, так как эти силы перпендикулярны к перемещению точки их приложения. Следовательно, работа силы F1' равна работе ее
  касательной составляющей F%. Для элементарной работы будем иметь
  d'A'-F%ds~F\hd4,
  где ds = hdy— дифференциал дуговой координаты точки приложения силы, а Лр — дифференциал угла поворота тела.
  Учитывая, что произведение F%h равно моменту силы Fe относительно оси вращения тела, получим
  d'Ae = Mldy,
  (10.20)
  т. е. элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту этой силы относительно оси вращения, умноженному на дифференциал угла поворота тела.
  201
------------ page 202 --------------
  Работа силы Р на конечном угле поворота определится равенством
  ф
  Ае= J Mezd4> (10.21)
  Фо
  где фо и ф — начальное и конечное значения угла ф, определяющего положение тела (если момент Ml зависит не только от угла поворота ф, но также от угловой скорости о> и времени t, то нужно перейти к новой переменной интегрирования).
  Если момент внешней силы не изменяется во время движения тела, т. е. Mez = const, то
  Л'-М^ф-фо). (10.22)
  Деля обе части равенства (10.20) на dt, получим выражение для мощности силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
  Ne = Mez<oz. (10.23)
  4. Работа консервативных сил. Понятие консервативных сил, действующих на систему материальных точек, вводится как естественное обобщение понятия консервативной силы для одной материальной точки.
  Силы называются консервативными, если существует такая функция координат х$, у-), Zj, называемая потенциальной энергией системы,
  n = ri(*i, yh zu ..., xm yn, zn\
  частные производные которой, взятые с обратным знаком, равны соответствующим проекциям силы
  V-f-. Г,~%. 2,--||. (.0.24)
  Так же как и для одной точки, легко показать, что полная работа консервативных сил, приложенных к системе, определяется равенством
  Л = П,-И, (10.25)
  где По и П — значения потенциальной энергии системы в ее начальном и конечном положениях. Из этой формулы следует, что полная работа консервативных сил не зависит от того, каким путем система перешла из одного положения в другое.
  Эта же формула дает возможность определить потенциальную энергию как работу всех консервативных сил при переходе системы из данного положения в положение, условно принимаемое за нулевое (положение, при котором П = 0)
  11 = Л. (10.26)
  202
------------ page 203 --------------
  V
  
  
  с
  в
  Рис.
  —^U
  % \
  10.11.
  Часто можно найти потенциальную энергию отдельных сил, входящих в систему. В этом случае потенциальная энергия системы будет равна сумме потенциальных энергий
  П=2ГЬ. (10.27)
  /-1
  Наконец, во многих случаях полезно разделить потенциальную энергию на энергию внутренних и внешних сил. Общая потенциальная энергия будет равна их сумме
  П-ГГ + ПЛ (10.28)
  5. Работа внутренних сил трения скольжения сочлененных тел. В различных устройствах между движущимися телами возникают силы трения скольжения. Эти силы приложены к обоим трущимся телам. Вычислим полную работу внутренних сил трения сочлененных тел.
  Предположим, что тело В движется поступательно со скоростью v, а тело С скользит по нему с относительной скоростью и (рис. 10.11). Между этими телами возникают силы трения Ftp и FTp> работу которых нужно определить.
  При указанном на рис. 10.11 направлении относительной скорости и сила трения Flp будет приложена к телу С, а сила трения FTp к телу В. Конечно,
  FT'?=-FTP. (10.29)
  Мощность Л^тр этих сил будет равна
  Л4Р = N'1 + N) = Ftp •(« + *) + FTP • v;
  при этом учтено, что абсолютная скорость тела С равна и ¦+• v (направление скорости v тела В не имеет значения). Принимая во внимание равенство (10.29), получим
  Л4 = FT'p. (и + v) - FTP. v = Ftp • и.
  Сила трения Frp, приложенная к телу С, направлена всегда в сторону, противоположную относительной скорости и. Следовательно, угол между векторами FTp и и равен 180° и их скалярное произведение будет равно — F^u. Таким образом,
  JVfP--Ffp«if (10.30)
  203
------------ page 204 --------------
  т. е. полная мощность внутренних сил трения скольжения двух сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля силы трения на модуль относительной скорости.
  Из равенства (10.30) найдем сумму элементарных работ с1'А1тр внутренних сил
  трения (d'A = Ndt и W = -^"J
  d'AlT[>=-Fipdxr, (10.31)
  где dxr — элементарное относительное перемещение.
  Рис. 10.12. Аналогично доказывается, что для вра
  щающихся сочлененных тел (рис. 10.12)
  полная мощность и элементарная работа всех внутренних сил
  трения определяются равенствами
  Wxp= -MTpG)r, (10.32)
  /ЛтР= -Mrpdq>r, (10.33)
  где jWTp — модуль момента сил трения относительно оси вращения, сог — модуль относительной угловой скорости и dq>r — элементарное относительное угловое перемещение тела С.
  § 10.4 Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
  Рассмотрев методы вычисления работы сил, приложенных к материальной системе, и ее кинетической энергии, перейдем к установлению зависимостей, связывающих эти величины. Для этого освободимся мысленно от связей, заменив их соответствующими реакциями. Обозначим через F% и Flk равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной точке Mk системы. Рассмотрим два момента времени: начальный t0 и текущий (или конечный) t. Пусть модуль скорости точки Mh в момент времени /0 равняется vohi а в момент времени / — vh. Тогда для каждой точки материальной системы будет справедлива теорема об изменении кинетической энергии:
  Щ"\ тА\ Ае, Ai —^ g— — А\ + Ль
  lnVl mnvln _ Ae . Ai
  2 2 — п п}
  где А% и Ai— работа сил F\ и F* на действительном перемещении точки Mk.
  204
------------ page 205 --------------
  Складывая почленно все равенства, получим
  fe=i л=1 k=i k=\
  или, учитывая выражение для кинетической энергии (10.1),
  Т-Т0 = Ае + А\ (10.34)
  где Г0 — начальное значение кинетической энергии, а Ае и А1 — работа всех внешних и внутренних сил системы.
  Равенство (10.34) предстанл лет математическую запись теоремы об изменении кинетк лс :;ой энергии материальной системы: изменение кинетичесг.ои энергии материальной системы при переходе ее из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы.
  Продифференцируем равенство (10.34) по времени:
  dT dtf_ , dti_
  dt ~ dt "*" dt '
  Учитывая, что производная от работы по времени равна мощности Nk силы Fft, получим
  M- = N' + Nl. (10.35)
  Это уравнение представляет собой аналитическую запись тег- ремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: полная производная кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.
  Необходимо подчеркнуть, что в правую часть равенства (10.34) входит работа [в равенство (10.35)—мощность] всех внутренних и внешних сил, приложенных к системе.
  Рассмотрим несколько простых примеров.
  При движении автомобиля, оснащенного двигателем внутреннего сгорания, движущей силой является сила трения F2 между ведущими колесами и полотном шоссе (рис. 7.1). Без этой силы движение автомобиля осуществить нельзя (см. задачу 44 § 8.4). Однако сила трения F2 при отсутствии проскальзывания колес работу не производит (так как эта сила приложена в хмгновенном центре скоростей Р ведущего колеса, элементарное перемещение drP которого равно нулю). Полезную работу при перемещении автомобиля производят внутренние силы давления газов, образовавшиеся при сгорании горючей смеси.
  Точно так же при движении человека по горизонтальному полу или при его подъеме по лестнице движущими силами являются силы трения между полом и подошвами ног человека,
  205
------------ page 206 --------------
  или реакции ступеней лестницы. Однако полезную работу производят не эти внешние силы, а внутренние мускульные усилия человека.
  Прежде чем перейти к задачам, отметим два класса сил, которые не нужно учитывать при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы (так как их работа равна нулю):
  1) реакции связей без трения;
  2) внутренние силы абсолютно твердого тела и абсолютно гибкой и нерастяжимой нити (см. п. 2 § 10.3).
  § 10.5. Задачи
  С помощью теоремы о конечном изменении кинетической энергии определяют:
  скорости точек материальной системы (в тех случаях, когда, зная перемещение системы, можно вычислить работу всех приложенных к ней сил);
  работу одной из сил, приложенных к системе (когда по условию задачи скорости точек материальной системы известны, или их можно определить другими методами).
  Дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической энергии системы применяется для составления дифференциальных уравнений движения, а также для определения ускорений (линейных, или угловых).
  Мы начнем с задачи, иллюстрирующей метод определения скоростей.
  Задача 54. В системе, рассмотренной в § 10.2, груз Г под действием силы тяжести опускается из состояния покоя вниз. Определить скорость v груза Г
  при опускании его на высоту h. Трением качения катка и трением на оси блока пренебречь.
  Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. На груз Г действует сила тяжести т3?, на блок Б действует сила тяжести m2g и реакция опоры (на рис. 10.13 показаны их составляющие X и У), накаток К действует сила тяжести m.g и реакция горизонтальной плоскости, которая разложена на нормальную Рис. 10.13. составляющую N и силу трения F
  (без силы трения F каток не катился бы, а скользил). Внутренние силы учитывать не нужно, так как согласно § 10.3 сумма их работ равна нулю.
  Применим теорему о конечном изменении кинетической энергии материальной системы
  Т _ Г0 - Л*.
  Воспользуемся выражением для кинетической энергии рассматриваемой системы (10.13)
  Т = y iWflpU*
  206
------------ page 207 --------------
  где приведенная масса определяется равенством (10.14)
  Мпр — -g- тх + у? + m3.
  Движение начинается из состояния покоя; поэтому Т0 — 0. Перейдем к вычислению работ сил, приложенных к системе. Работа сил m2g, X и Y равна нулю, так как точка их приложения неподвижна. Работа силы тяжести mig катка К равна нулю, так как эта сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения С. Работа нормальной реакции N и силы трения F равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенном центре скоростей Р катка К, элементарное перемещение которого drP = 0. Таким образом, осталась одна сила тяжести m3g груза Г, работа которой равна rtizgh. Итак,
  Ае e mzgh.
  Внося выражения для Т и Ав в уравнение энергии и учитывая, что Т0 = 0, получим
  у Afnptf2 - mzgh. Отсюда находим скорость груза в зависимости от высоты h
  Y
  2m3g/i
  Мпр
  Простота решения задачи объясняется прежде всего тем, что все элементы, входящие в уравнение (10.34) (работа сил и кинетическая энергия системы), вычисляются без интегрирования дифференциальных уравнений.
  Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда с помощью теоремы о конечном изменении кинетической энергии материальной системы вычисляется работа сил.
  Задача 55. Космический аппарат вращается вокруг оси Cz2, проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инер- циальной системы координат. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы с помощью вращающегося маховичка Г прекратить вращение космического аппарата (см. рис. 9.13). Угловая скорость вращения космического аппарата до запуска маховичка равнялась Q0, его момент инерции (без маховичка) относительно оси вращения Cz2 равен /о; маховик вращается относительно оси Cz2\ его момент инерции относительно этой оси равен / (см. §9.8).
  Маховичок Г вращается под действием внутренних сил для системы космический аппарат — маховичок. Характер этих сил нам неизвестен, поэтому вычислить их работу непосредственно мы не можем. Так как работа сил вхо» дит в уравнение (10.34), которое при Ае — 0 принимает вид
  Т-Т0 = А1,
  то будет естественно воспользоваться им для определения искомой величины.
  Внутренние силы, под действием которых вращается маховичок Г, не изменяют движение центра масс С системы, поэтому при вычислении кинетической энергии достаточно учесть только ее вращательное движение.
  Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг оси Сг2. Ее кинетическая энергия Т определяется равенством
  Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия аппарата, второе — кинетическая энергия маховичка, Q — угловая скорость аппарата относительно
  207
------------ page 208 --------------
  инерциальной системы координат, со — угловая скорость маховичка относительно аппарата.
  В начальный момент до запуска маховичка Q = Йо и со = 0. Поэтому
  В момент прекращения вращения космического аппарата Q — 0. Следовательно, для этого момента времени
  Внося эти выражения в Т — Т0 = А \ получим
  1/cd2-I(/0 + /)qS=a<,
  где А1 — искомая работа внутренних сил системы.
  Для полного решения задачи необходимо знать величину угловой скорости со, которую нужно сообщить маховичку, чтобы остановить вращение
  космического аппарата. Для этого достаточно воспользоваться теоремой об изменении момента количеств движения относительно оси Cz2. Такая задача решалась нами в § 9.8. Воспользуемся полученной там формулой (9.49):
  СО = т Щ.
  После подстановки значения со и элементарных преобразований найдем
  Такую работу должны совершить внутренние силы системы, приводящие во вращательное движение маховичок, чтобы прекратить вращение космического аппарата (конечно, здесь учтена только полезная работа).
  В заключение этого параграфа рассмотрим задачу на составление дифференциального уравнения движения материальной системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
  Задача 56. Груз Г весом Р поднимается с помощью электрической лебедки (рис. 10.14). Барабан Б приводится во вращение электромотором, который создает вращающий момент AiBP. изменяющийся по закону
  Рис. 10.14.
  Л1 вр = М0
  -хсо,
  где Л/о и х — положительные постоянные, характеризующие мотор, а со — угловая скорость барабаиа.
  Моменты инерции блока В и барабаиа Б относительно их осей вращения соответственно равны /2 и Л; радиус блока равен г, радиус барабана R. Определить закон движения груза и натяжение троса. В начальный момент система находилась в покое: массой троса пренебречь.
  Для того чтобы определить характер движения груза, нужно прежде всего составить дифференциальное уравнение движения всей системы. Конечно,
  208
------------ page 209 --------------
  для этого можно расчленить систему, мысленно разрезав трос, ввести силы натяжения троса и затем составить три дифференциальных уравнения движения: одно для вращения барабана, второе для вращения блока и третье — для прямолинейного движения груза. Все уравнения нужно решать совместно, причем прежде всего необходимо исключить силы натяжения троса. Такой метод решения задачи требует хотя и не сложных, но утомительных преобразований.
  Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы в дифференциальной форме
  at
  представляет большие удобства, так как в это уравнение не войдут силы натяжения троса (сумма работ, а следовательно, и мощностей реакций троса и других внутренних сил равна нулю).
  Воспользуемся этим уравнением. Кинетическая энергия рассматриваемой системы
  Т =7*, + T2+TZt
  где Ти Т2 и Т$ — кинетические энергии барабана, блока и груза соответственно.
  Барабан Б и блок В вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому согласно формуле (10.8)
  Г,—g-'i»*. Г2 = 1/2(й|.
  где сов— угловая скорость блока. Очевидно, что сов — — со; следовательно,
  1 R2
  Груз Г движется прямолинейно и поступательно со скоростью v = R<o\ его кинетическая энергия
  Подставляя значения Ти Т2 и Тъ в выражение для кинетической энергии системы, получим
  Г-у/пр»».
  где приведенный к оси вращения барабана момент инерции системы опреде. ляется равенством
  R2 Р
  'np«/i+-?-'2 + Y*2-
  Перейдем к вычислению мощностей. Мощность сил тяжести барабана и блока, а также реакций их опор равна нулю, так как точки приложения этих гил неподвижны. Мощность N{ силы тяжести Р груза Г будет
  Nl=P-v = Pv cos 180°= -Pv = -Pflco.
  Мощность N2 сил, создающих вращающий момент ЛТБр, вычислим по формуле (10.23)
  N2 = ЛГпрСО = (М0 — хо))со.
  Таким образом,
  Ne - (Мо - PR - жо) со.
  209
------------ page 210 --------------
  ит Подставляя значения Ги ^в уравнение —гт- •=» Ne + Nl и учитывая, что
  в данном примере N* — 0, получим
  da di
  /пр ю-^г - (А*о - Р* - х©) со,
  или, сокращая на со,
  Это дифференциальное уравнение движения системы отличается от рассмотренного ранее уравнения (9.24) только значением входящих в него постоянных. Поэтому воспользуемся решением ; (9.26) уравнения (9.24), сделав в нем соот-
  i \(?Л ветствующие замены:
  '* /Г
  
  W .~*^.(.-.-'*').
  X
  1/7 Груз Г будет подниматься со скоростью
  a) ф
  0 _ Mo-PR
  _ v = ®R = R—2
  Рис. 10.15. к
  u-n
  -г-'
  По прошествии некоторого промежутка времени член е пр сделается ничтожно малым и движение груза будет происходить практически с постоянной скоростью
  Mo-PR
  Сует-А -
  Перейдем к вычислению сил натяжения троса на участке груз — блок. Мысленно разрежем трос и заменим его действие реакцией S\. Теперь груз Г движется под действием силы тяжести Р и натяжения троса S\ (рис. 10.15, а).
  dv — Груз движется вверх с ускорением w = —rj-. Составим дифференциальное
  уравнение движения груза в проекции на ось у, направленную вертикально вверх. Имеем
  Р dv
  S dt Отсюда
  = S,-P.
  '-'(¦¦т?)-
  Вычислим производную скорости ио времени
  dv _ М0 - PR /пр dt * /пп
  и подставим ее в выражение для Sj
  S 'пр
  ?').
  210
------------ page 211 --------------
  Для вычисления силы натяжения троса на участке барабан — блок мысленно разрежем трос в двух местах (иа участке барабан — блок и на участке блок — груз), заменив его реакциями S\ и S^ (рис 10.15,6). Составим дифференциальное уравнение вращения блока вокруг неподвижной оси
  Учитывая, что Sj«S,, получим
  Л d(au
  s>-s> + -r-ir-
  Имеем
  R «>а - — ®»
  rfoB R d® R Mq-PR ~7^'
  Пользуясь выражением для 5Ь найдем натяжение троса иа участке барабан — блок
  С течением времени множитель е 1ф станет достаточно малым и в установившемся режиме S\ = 5'2 = Р.
  § 10.6. Закон сохранения полной механической энергии материальной системы
  Из теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы вытекает закон сохранения полной механической энергии.
  Предположим, что все силы (внешние и внутренние), действующие на систему, консервативны. Пусть система под действием этих сил перешла из начального в некоторое текущее положение. Обозначим значение кинетической энергии системы в начальном положении через Т0, а в рассматриваемом через 7\ Применим к этой системе теорему о конечном изменении кинетической энергии
  Т- Т «Л' + Л'-Л.
  Так как по условию силы, действующие на систему, консервативны, то будет справедливо равенство (10.25)
  Л = И, -11,
  где По и П — значения потенциальной энергии в начальном и текущем положениях.
  211
------------ page 212 --------------
  Тогда будем иметь или где постоянная
  Г-Г0=П0-П Г + П = й,
  А = Т0 + По
  (10.36)
  равна начальному значению полной механической энергии (напомним, что полной механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергий).
  Уравнение (10.36) называется интегралом энергии и оно выражает закон сохранения полной механической энергии системы: если система движется под действием одних консервативных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. Интеграл энергии (10.36) и некоторые его обобщения имеют большое значение в теории устойчивости движения.
  Рассмотрим пример на применение интеграла энергии.
  Задача 57. Однородный тонкий стержень АВ длиной / движется в вертикальной плоскости, скользя своим концом А по гладкой горизонтальной прямой (рис. 10.16). Определить угло- yV J& вую скорость движения стержня, ес
  ли в начальный момент она равнялась ф0 и стержень составлял с горизонтом угол фо.
  Освободимся мысленно от связи (гладкой горизонтальной плоскости) и заменим ее реакцией NЛ. Теперь можно считать стержень свободным, находящимся под действием двух вертикально направленных сил: силы тяжести стержня Mg и реакции Мл. Работа реакции NA равна нулю, а сила тяжести Mg — консервативная сила. Поэтому будет справедлив интеграл энергии (10.36)
  Т + П = Л.
  Выбрав за нулевое положение горизонтальную плоскость, по которой движется точка А стержня, найдем потенциальную энергию силы тяжести Mg
  где ус — ордината центра тяжести стержня. Имеем (см. рис. 10.16)
  /
  Рис. 10.16.
  Я
  следовательно,
  уС " Т sm Ф»
  П = — Mgl sin <р.
  Кинетическую энергию стержня найдем, пользуясь теоремой Кенига для плоского движения твердого тела [см. формулу (10.11)]:
  Г =
  2^'с + у'сгФ2-
  212
------------ page 213 --------------
  Здесь Ус —скорость центра масс С стержня, а /с* — его момент инерции относительно оси, проходящей через точку С, перпендикулярно плоскости движения.
  Согласно формуле (9.6) ICz = -ту Ml2. Кроме того, v2c = x2c + y2c, где хс -
  / /
  абсцисса центра масс стержня. Так как ус = — sin ср, то yQ = — совф • ф. Внося
  эти значения для ICz, v2c и ус в выражение для кинетической энергии, получим
  Г = \ М (ж2 + ? ф2 cos2 „) + ± MlV или
  7> = ^М4 + ^1(1+Зсоз2ф)ф2.
  Учитывая полученные выражения для Т и П, найдем интеграл энергии для рассматриваемой системы
  ±Mx2c + ^(\ + 3cos2<v)q>2 + ±Mglsm<v = h,
  где А — постоянная энергии, которую можно найти из начальных условий: при /-0 Ф = <р0, Ф = Ф0, xc=^xQC;
  здесь хос — начальное значение проекции скорости центра масс стержня на ось х (эта величина по условию задачи не задана).
  Внося начальные условия в интеграл энергии, получим
  h = у Мх20С + -24- (l+3 cos2 ф0) 4>l + -cjr Mgl sin ф0.
  После подстановки найденного значения h в интеграл энергии, приведем последний к виду
  12 /2
  *с + "iy О + 3 cos2 ф) Ф2 + gl sin ф = *ос + Т2" (* + 3 cos2 ф°) ф° + g/ sin Фо*
  Покажем, что проекция хс скорости vc центра масс С стержня остается постоянной во время движения. Действительно, сумма проекций всех внешних сил на неподвижную ось х равна нулю. Поэтому согласно третьему следствию теоремы о движении центра масс [см. формулу (8.19)]
  иСх~~лС хс = х{
  ¦¦ const,
  Тогда последнее выражение для интеграла энергии упрощается и принимает вид
  -J2" (l + 3 cos2 ф) ф2 + g sin ф «-jy (l + 3 cos2 ф0) ф2, + gsin <p0. Отсюда найдем угловую скорость стержня
  ¦-i/*1
  3 cos2 ф0) /ф2) + \2g (sin ф0 — sin ф) /(1+Зсо82ф)
  21&
------------ page 214 --------------
  В момент падения на горизонтальную плоскость (<р «= 0) угловая скорость стержня будет
  Ф - у IM1 + 3 cos2 Фо) Фо + 12 f sin 'Ро- Любопытно отметить, что угловая скорость стержня не зависит от начальной скорости его центра масс (если бы горизонтальная плоскость была не абсолютно гладкой, то это было бы несправедливо).
  В заключение этого параграфа сделаем одно замечание.
  Интеграл энергии в форме (10.36) имеет место для систем, движение которых определяется только консервативными силами. Если помимо консервативных сил система подвержена действию сил сопротивления, то происходит убывание полной механической энергии, если же материальная система соединена с источником энергии (например, двигателем), то полная механическая энергия возрастает.
  § 10.7. Теорема об изменении кинетической энергии относительного движения
  Если движение материальной системы рассматривается относительно системы координат Oxyz, перемещающейся по данному закону относительно инерциальной системы отсчета, то в правую часть уравнения энергии (10.34) необходимо ввести работу переносных и кориолисовых сил инерции, а в левую часть должна входить кинетическая энергия относительного движения системы. Тогда вместо уравнения (10.34) получим
  Гг- Тг0= Ае + Л'Ч 2 Акш+ 2 А*,
  где Ake и Акс — работа переносных и кориолисовых сил инерции. Но в соответствии с результатами § 6.4 работа кориолисовых сил инерции равна нулю. Поэтому уравнение энергии примет вид
  Тг - Тг0 « Л' + Л' + 2 Ake. (10.37)
  fe-i
  Если подвижные оси координат перемещаются поступательно относительно инерциальной системы отсчета, то последнюю сумму в (10.37) можно упростить. Действительно, в этом случае переносные ускорения всех точек будут одинаковы и равны ускорению начала подвижных осей О, т. е. wke = wQ. Имеем (для поступательно движущихся осей dp = dy)
  п п п п
  2 d'Akg в2^-^=~2 fnkwke. dpk « - 2 mkwQ • dp*.
  ?-1 fe-1 ft-1 fe-1
  214
------------ page 215 --------------
  Так как ускорение w0 полюса О от индекса суммирования не зависит, то его можно вынести за знак суммы
  п п
  2 d'Ake« - 2 mkdpk • w0.
  Из формулы (7.2) следует 2 rnhdph = Mdpc* где Af — масса всей системы, а рс — радиус-вектор ее центра масс в подвижной системе координат. Поэтому
  п
  3jd'Ake= -Mw0dpc.
  При переходе системы из начального положения в текущее- положение сумма работ переносных сил инерции будет равна
  п п
  где символом А(—Mw0) обозначена работа переносной силы инерции центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы.
  Уравнение (10.37) можно записать теперь в следующей форме:
  Tr -Trz = Ae+Al + A (-AftPo). (10.38)
  В этом равенстве кинетическая энергия и работа всех сил, включая переносную силу инерции центра масс, вычисляются для движения системы относительно подвижных осей Oxyz, перемещающихся поступательно относительно инерциальной системы отсчета.
  В дифференциальной форме уравнение (10,38) принимает вид
  ?±-N' + Nl- Mw0 • vrC, (10.39)
  где vrC — относительная скорость центра масс.
  Если w0 = const, т. е. ускорение полюса постоянно по модулю и направлению, то сила инерции переносного ускорения центра масс будет консервативна с потенциальной энергией
  II* = -Afwo-p. (10.40)
  Если, кроме того, силы, приложенные к системе, тоже потенциальны, то будем иметь интеграл энергии
  ГГ + П + 1Г = А, (10.41)
  где П — потенциальная энергия всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.
  215
------------ page 216 --------------
  Задача 58. К потолку железнодорожного вагона подвешен физический маятник (твердое тело, имеющее горизонтальную ось вращения, вокруг которой оно колеблется под действием силы тяжести). В начальный момент маятник удерживался в положении, при котором прямая ОС была горизонтальна (см. рис. 10.17; Ог — ось вращения, С — центр масс маятника). Затем маятник был отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость маятника в момент прохождения его центра масс через вертикаль, если масса маятника равна М, его момент инерции относительно оси вращения равен /, а железнодорожный вагон движется прямолинейно с постоянным ускорением w и ОС « /.
  Пусть ось z укреплена на движущемся вагоне (на рис. 10.17 вагон не показан). Направим подвижную ось у горизонтально в сторону ускорения
  вагона w, а подвижную ось х вертикально вниз. Мысленно будем считать вагон неподвижным, введя одновременно переносную силу —т инерции центра масс маятника —Mw. Кине- " тическая энергия Тг относительного движения маятника вычисляется по формуле (10.8) как кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси z:
  В начальный момент прямая ОС была горизонтальна, в конечный момент — вертикальна. Работа силы тяжести Mg на заданном перемещении будет равна Mgl, а работа силы инерции ±Mwl (знак + , если в начальный
  момент центр масс С находился на положительной части оси у, и знак —
  в противоположном случае). Поэтому (Гг0 = 0)
  — /ф2 = Mgl ± Mwl;
  Рис. 10.17.
  отсюда найдем угловую скорость маятника в момент прохождения им вертикали
  / 2Ml(g±w)
  Ф- у / •
  Для рассматриваемой системы имеет место интеграл энергии (10.41). Примем положение маятника, при котором прямая ОС горизонтальна и ордината точки С положительна, за нулевое. Тогда, при перемещении маятника из данного положения в нулевое, работа сил Mg и —Mw будет
  Ag=^Ug^ — Mgl cos ф, Aw = П* = —Mwl (1 — sin <p). Следовательно, интеграл энергии (10.41) примет вид
  1
  или
  — /ф2 — Mgl cos ф — Mwl (1 — sin ф) = hi
  — /ф2 — Ml (g cos ф — w sin ф) — h
  где к - hi + Mvl.
------------ page 217 --------------
  ГЛАВА XI
  ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
  § 11.1 Понятие тела переменной массы
  В теоретической механике, как правило, рассматривается движение материальных систем и твердых тел, масса которых предполагается постоянной. Однако можно привести большое количество примеров, когда при движении тела его масса вследствие присоединения или отделения от него материальных ча* стиц значительно изменяется. Например, на активном участке движения ракеты от нее отделяются продукты сгорания топлива, составляющего значительную часть исходной массы заправленной ракеты на старте. Решение задачи о движении ракеты как о движении тела постоянной массы в этом случае будет неверным.
  В связи с этим возникает проблема разработки методов решения задач на движение тел с переменной массой, т. е. задач механики тела переменной массы*).
  Перейдем теперь к определению понятия «тела переменной массы».
  Будем считать массу материальных точек, из которых состоит тело, постоянной. Исходя из этого, под телом переменной массы будем понимать тело, масса которого изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к нему материальных точек.
  Это значит, что точки, изменяющие массу тела, не возникают и не исчезают, а лишь вводятся в рассмотрение или исключаются из него.
  Введенное определение тела переменной массы позволяет рассматривать механику тела переменной массы как один из разделов механики системы материальных точек, так как все исследования движения такого тела можно выполнить методами классической механики.
  *) В настоящее время вместо термина «тело переменной массы» часто пользуются термином «тело переменного состава».
  217
------------ page 218 --------------
  В дальнейшем рассматривается только тот случай, когда весьма малы как масса каждой отделяющейся или присоединяющейся точки, так и время между последовательными отделениями или присоединениями точек. Это предположение делает возможным такую предельную идеализацию процесса изменения массы, при которой последняя может быть принята непрерывной и дифференцируемой функцией времени.
  Хотя при мгновенном изменении массы тела на величину массы отделяющейся или присоединяющейся частицы скорость тела меняется скачкообразно, величина этого изменения также будет убывать с убыванием массы этой точки, и в пределе скорость тела можно считать также непрерывной и дифференцируемой функцией времени.
  Пусть масса тела в начальный момент t = О равна т0. Обозначим через m,\(t) массу отделившихся от тела частиц к моменту времени / и через m2(t)—массу присоединившихся к телу частиц к этому же моменту времени t. Отметим, что при t = О mi(0) = 0 и m2(0)= 0.
  Рассмотрим сначала простейший случай, когда тело переменной массы можно принять за материальную точку. Пусть масса точки в момент времени t равна т, а скорость в момент времени / равна v. Тогда количество движения Q рассматриваемой точки будет равно
  Q = mv.
  Предположим теперь, что за время dt отделилась частица массы dm\ и приобрела скорость щ, а скорость самой точки изменилась на величину dv и сделалась равной v + dv. Количество движения системы в момент времени t + dt определится равенством
  Q' = (т + dm) (v + dv) — щ dm,
  так как согласно предположению /л2 = 0 и в соответствии с равенствами т(/) = т0 — m\(t) dm\ = —dm.
  По теореме об изменении количества движения будем иметь
  где F — равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.
  Подставим в последнее равенство значения Q' и Q
  (т + dm) (v + dv) — uxdm — mv = Fdt или, после очевидных упрощений,
  г* , dm
  mw^F + v^-^-.
  о dv
  Здесь w=*-jt—ускорение в момент времени t точки переменной массы, a v\r = их— v — относительная скорость отделяющейся частицы.
  218
------------ page 219 --------------
  В этом уравнении, полученном впервые И. В. Мещерским, второе слагаемое правой части равенства называется реактивной силой. Более подробно уравнение И. В. Мещерского будет рассмотрено в § 11.4.
  § 11.2. Количество движения тела переменной массы
  Рассмотрим общий случай и не будем считать тело переменной массы материальной точкой. Кроме того, будем считать, что частицы не только отделяются, но и присоединяются к телу.
  Переменная масса тела в момент времени t определяется равенством
  m (t) ^nto-tux (t) + m2 (t). (11.1)
  Согласно формуле (8.2) количество движения любой системы материальных точек постоянной массы, а следовательно, и твердого тела, вычисляется по формуле
  Q = tnvCy (11.2)
  где m — масса материальной системы, a vc — скорость центра масс этой системы.
  Рассмотрим теперь тело переменной массы. Благодаря процессу присоединения и отделения частиц, в теле происходит перераспределение масс и поэтому центр масс тела может не оставаться в какой-либо фиксированной точке тела. Он будет совершать сложное движение: будет двигаться со всем телом (переносное движение) и будет перемещаться по отношению к телу (относительное движение). Так, например, по мере выгорания топлива центр масс ракеты перемещается относительно ее корпуса.
  Итак, абсолютную скорость центра масс можно представить формулой
  VC = VeC + VrC> (П.З)
  где veC — переносная скорость центра масс тела, т. е. скорость той точки тела, с которой в данный момент t совпадает центр масс, a vrC — скорость центра масс по отношению к телу, т. е по отношению к системе координат, жестко связанной с телом- Рассмотрим наряду с телом переменной массы тело постояв* ной массы и предположим, что в момент времени t массы точек, их расположение и скорости для обоих тел одинаковы. Тогда количество движения определится равенством
  где п — число точек, составляющих тело, Ши — масса А-й точки, a vh — ее скорость. Так как, по предположению, массы и
  219
------------ page 220 --------------
  скорости точек обоих тел одинаковы, то количества движения этих тел также будут равны.
  Поэтому количество движения тела переменной массы будет определяться формулой (8.2), но вместо скорости vc следует поставить Vec, так как для тела переменной массы это и есть скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент времени центр масс тела. Следовательно, количество движения тела переменной массы будет равно
  Q = mveC.
  Эта формула, конечно, верна и для тела постоянной массы, так как для этого случая vc = veC.
  Если тело движется поступательно, то veC = v, где v — скорость тела, и следовательно, количество движения определится формулой
  Q = mv. (11.4)
  § 11.3. Теорема об изменении количества движения тела переменной массы
  Для системы материальных точек постоянной массы теорема об изменении количества движения [см. формулу (8.5)] имеет вид
  ^=г. (п.б)
  где <?о — количество движения, Fe — главный вектор всех внешних сил. Эту формулу можно записать в виде
  ИГЛ <М/ + А/)-<?о(/)=Г< (пв)
  Рассмотрим теперь тело переменной массы. Предположим, что в процессе движения этого тела к нему присоединяются и одновременно отделяются от него частицы. Одновременно с этим телом рассмотрим систему постоянной массы, причем предположим, что в момент времени t обе эти системы совпадают, т. е. массы и скорости точек этих систем одинаковы.
  Следовательно, количества движения тел переменной и постоянной масс в момент времени t будут равны
  <?(0 = <?о(0, (11.7)
  где Q(t)—количество движения тела переменной массы.
  Пусть к моменту времени t H- At от тела отделятся частицы с общей массой, равной Лть и присоединятся частицы с общей массой, равной Лт2. Тогда в момент времени t + At масса тела будет равна
  т (/ + At) = т (t) - Ат{ + Ат2. (11.8)
  220
------------ page 221 --------------
  Если обозначить через Q\(t + At) количество движения в момент времени t + At всех частиц, отделившихся за время At, а через Q2(t 4- At)—количество движения в момент времени / + At всех частиц, присоединившихся за время А/, то количество движения системы постоянной массы в момент времени / + At будет равно
  Q0(t + At) = Q(t + At) + Q^t + At)- Q2(t + At), (И.9)
  где Q(t + At)—количество движения тела переменной массы в момент времени t + At.
  Обозначим через и\ скорость в момент времени t + At центра масс отделившихся частиц, а через и2 — скорость в тот же момент времени центра масс присоединившихся частиц; тогда на основании формулы (11.4) получим
  Q, (t + At) - Ат{и\у Q2 (t + At) = Am2u'r
  Используя эти выражения, перепишем равенство (11.9) в виде
  Q0 (t + АО = Q (t + АО + Атхи\ - Ат2и'г
  Подставляя теперь это выражение в формулу (11.6) и учитывая равенство (11.7), получим
  f. Q (t + А/) - Q (0 + Am,»; - Am2i4 _
  или
  , Qg + ^QM.y, Hm J*". „; + lim A-, .,
  откуда
  dQ _pe dmx dm2 (\\ \r\\
  где U) и u2 — скорости центров масс соответственно отделяющихся и присоединяющихся частиц в момент времени t.
  Соотношение (11.10) и представляет собой математическую запись теоремы об изменении количества движения тела переменной массы.
  Для случая только одного отделения частиц тела будет
  т = m0 — mx (t) и, следовательно,
  dm dm{ dm2 __ ^
  dt ~ dt > dt ~~U*
  Тогда уравнение (11.10) примет вид
  $-*•+¦$-.,. (или
  221
------------ page 222 --------------
  Для случая только присоединения частиц
  т — т0 + m2(t) и
  dm2 dm dmx ~
  tit — Л f dt eU'
  а уравнение (11.10) будет
  -f-=F< + ^-«2. (11.12>
  Для случая равенства секундного расхода и секундного прироста масс
  -mi(t) + m2(t) = 0, *?--*%¦
  И
  ^-^ + •^(«2-».). 01.13)
  В заключение этого параграфа отметим, что вывод теоремы об изменении количества движения тела переменной массы нами получен в предположении, что отделившиеся частицы сразу же после отделения прекращают свое взаимодействие с точками тела переменной массы, а влияние присоединившихся частиц начинается только с момента их присоединения к телу.
  § 11.4. Уравнение Мещерского
  Пусть тело переменной массы движется поступательно, тогда согласно формуле (11.4) имеем
  <?-/ш>. (11.14)
  Дифференцируя это соотношение по времени, получим
  dt или, так как согласно (11.1)
  a w = dv/dt — ускорение тела, то
  dQ dmx , dm*
  Подставляя это выражение в уравнение (11.10), будем иметь
  ««-^-^(«r'J + ^l»»-»). 01.15)
  dQ _
  dt
  (11.1)
  dm
  dt -
  dm dt
  
  — -
  -v-f-rn
  
  dmx ,
  ~dT +
  dv dt '
  
  dm2
  dt ¦
  222
------------ page 223 --------------
  Это уравнение впервые получено И. В. Мещерским. Векторная величина
  *=-^(ui-v) + ^(u2-v) (11.16)
  называется реактивной силой.
  В дальнейшем будем рассматривать только случай отделения частиц, имеющий наибольший технический интерес. Для него уравнение (11.15) сводится к виду
  Fe dttl\ / ч
  Так как V\T = щ—v есть относительная скорость отделяющихся частиц, а
  dntj __ dm dt e dt %
  то предыдущее уравнение движения можно записать следующим образом:
  mw-F'+^-i^-JP + O, (11.17)
  где
  ф-1Г*1г (11.18J
  есть реактивная сила. Так как при отделении частиц --гг <0Э
  то реактивная сила направлена в сторону, противоположную направлению скорости vlr.
  § 11.5. Задача Циолковского
  Рассмотрим движение ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх (рис. 11.1). Будем предполагать, что ракета движется поступательно. Движение ракеты будем рассматривать в системе координат с началом в точке пуска, ось х которой направлена вертикально вверх.
  В проекции на ось х уравнение (11.17) будет
  mi-F'x—^STVin (11.19)
  так как vXr направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси х. Здесь FeK представляет собой результирующую силу земного притяжения и силу аэродинамического сопротивления атмосферы. Реактивная сила
  223
------------ page 224 --------------
  будет направлена в сторону положительного направления оси*,
  dm ^ Л
  так как -тг <0. at
  Как уже было сказано, при доказательстве теоремы об изменении количества движения предполагалось, что отделившиеся частицы между собой и телом не взаимодействуют. Но в действительности в отбрасываемой газовой струе частицы взаимодействуют друг с другом и с ракетой.
  Кроме того, на ракету действует сила атмосферного давления, зависящая от высоты х над поверхностью Земли. Эта сила не входит в состав силы аэродинамического сопротивления и не зависит от скорости ракеты v.
  Пусть s — площадь выходного сечения сопла, р— давление в газовом потоке на срезе сопла, а р(х) — статическое атмосферное давление. Тогда сила, обусловленная давлением газового потока и статическим давлением атмосферы будет
  s[p-p(x)].
  Прибавляя эту силу к реактивной силе, получим тягу двигателя
  Рх = - -7Г V*r + s IP - Р Ml-
  Рис. 11.1,
  При движении в пустоте р(х) = 0 и тяга будет
  dm ,
  Рх= dfVlr + Sp.
  Это соотношение записывают в виде
  где
  dm
  , sp dm . Л ve = vlr + —t q= oT>0-
  Величина ve называется эффективной скоростью истечения (ve > v\r).
  Таким образом, при решении задачи о движении ракеты нужно вместо уравнения (11.19) взять следующее:
  mx = Fex--?-vlr + s[p-p (x)].
  Решение этого уравнения в общем виде представляет значительные трудности из-за сложности закона изменения аэродинамического сопротивления, входящего в Fex, и выходит за рамки курса теоретической механики.
  224
------------ page 225 --------------
  При отсутствии атмосферы это уравнение примет вид
  mx~Fl-l?-ve, (11.20)
  *де Fx представляет собой силу тяготения.
  Если пренебречь силой притяжения Земли и сопротивлением атмосферы, то уравнение (11.20) упрощается:
  dv dm
  Поставленную таким образом задачу впервые решил К. Э. Циолковский.
  Предположим, что масса ракеты m = m(t) является непрерывной функцией времени, а эффективная скорость истечения постоянна (ve = const). Отметим, что т(0) = т0 — стартовая масса ракеты.
  Перепишем уравнение движения ракеты в виде
  * dm
  CIV = —Ve .
  Интегрируя это уравнение, получим
  u(/) = — ve\nm-YCy
  где С — произвольная постоянная интегрирования. По условию, при / = 0 v (0) = 0; тогда
  0= — ve\nm,Q + C и, следовательно,
  С = ve In m0.
  Итак, скорость ракеты в момент времени / равна
  v (/) = ve\n
  т0 т (О
  Эта формула называется формулой Циолковского. Пусть к моменту времени t = /к произошло полное сгорание топлива в ракете. Скорость ракеты в этот момент времени будет
  v(tK) = veln-^%
  к/ е т >
  где шк= m(tK)—масса ракеты без топлива. Введем в рассмотрение число Циолковского
  т0
  Z=r. й
  тк
  тогда формула для скорости ракеты в момент сгорания всего топлива примет вид
  v = ve\nz. (11.21)
  8 Н. В. Бутенин и др., т. 2 225
------------ page 226 --------------
  Эта формула также называется формулой Циолковского.
  Из рассмотрения формулы (11.21) следует, что скорость ракеты в момент, когда весь запас топлива будет израсходован, пропорциональна эффективной скорости истечения газов и натуральному логарифму от числа Циолковского.
  Формула Циолковского (11.21) указывает на два возможных пути увеличения скорости ракеты к моменту сгорания топлива. Первый путь — это увеличение эффективной скорости истечения газов, второй путь — увеличение числа Циолковского.
  В настоящее время для используемых в ракетах химических топлив эффективная скорость истечения газов ve« 2500 м/сек и несколько выше. Получение химических топлив, позволяющих получить более высокую эффективную скорость истечения газов, связано с большими трудностями. Увеличение числа z также представляет трудную техническую задачу.
  Найдем, каким должно быть г, чтобы ракета к моменту сгорания топлива при ve = 2400 м/сек получила первую космическую скорость («8000м/сек).
  При рассмотрении этой задачи, запуская ракету с Земли, нужно иметь в виду, что вследствие земного тяготения, сопротивления атмосферы, затрат на осуществление программного движения ракеты, фактическая скорость ракеты после сгорания топлива будет меньше скорости, даваемой формулой (11.21). По некоторым данным потери в скорости составляют 10—15%. Поэтому определение числа z проведем, исходя из необходимости получения скорости v = 9000 м/сек.
  Согласно формуле (11.21) найдем
  о 2 = ^^=^3.75^42,5.
  Это значит, что т0 = 42,5тк, т. е. стартовая масса ракеты должна быть в 42,5 раза больше массы ракеты без топлива. Иначе говоря, вес топлива должен составлять примерно 98% от стартового веса ракеты. Для современных ракет число Циолковского значительно меньше 42,5.
  Как следует из приведенного расчета, получение космических скоростей с помощью одноступенчатой ракеты в настоящее время вряд ли возможно. Для этих целей используются многоступенчатые ракеты.
  § 11.6. Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты
  Ыа рис. 11.2 приведена примерная схема многоступенчатой ракеты.
  Многоступенчатая ракета состоит из нескольких ступеней и полезного груза.
  226
------------ page 227 --------------
  После израсходования топлива в ступени она отделяется от остальной конструкции.
  Введем понятие субракеты. Под субракетой понимается совокупность работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая субракета рассчитывается как одноступенчатая ракета. На рис. 11.2 указана нумерация ступеней и субракет.
  Применяя формулу Циолковского (1121) к каждой субракете, получим:
  после полной отработки первой ступени скорость второй субракеты
  Vl = V{e)\nZU
  где 1>У} — эффективная скорость истечения в первой ступени, Z\ — число Циолковского для первой субракеты;
  после отработки второй ступени скорость третьей субракеты
  V2=V{ + Уе2)1П22==
  = v? In zx + v? In гъ ** WW*
  „(->>
  Лолезнь/й
  груз
  п-я ступень
  (п-7)~я ступень
  1-я ступень
  Рис. 11.2.
  где Ve — эффективная скорость истечения во второй ступени, z2 — число Циолковского для второй субракеты;
  наконец, после отработки лг-й ступени скорость полезного груза
  (11.22)
  ГМ
  где ve —эффективная скорость истечения из п-й ступени, гЛ — число Циолковского для /г-й субракеты.
  Если приближенно считать, что для всех ступеней относительная скорость истечения одинакова
  t,"W2,=
  о?»-о.
  то согласно формуле (11.22) будем иметь
  v = vg In (zu z2 ... zn) = ve In Z, где
  Z = Z\Z2 ... zn.
  Для упрощения выкладок положим, что у всех субракет числа Циолковского также одинаковы
  (11.23) (11.24)
  ¦z2-
  = zn
  8*
  227
------------ page 228 --------------
  тогда формула (11.23) примет вид
  v = nve\nz. (11.25)
  Отсюда видно, что конечная скорость полезного груза пропорциональна числу ступеней (конечно, при условии, что v{J] и Zi одинаковы).
  Найдем число z, которое должна иметь каждая ракета для достижения полезным грузом скорости v = 9000 м/сек (ve = 2400 м/сек),
  При п == 1 (одноступенчатая ракета)
  9000
  z = e2400~42,5, при п = 2 (двухступенчатая ракета)
  9000
  z = e2-2400~6,48, при л = 3 (трехступенчатая ракета)
  9000
  г = е3.24оо^3,49.
  Из этих данных видно, что при реальных числах Циолковского космических скоростей можно достигнуть, применяя только многоступенчатые ракеты.
  § 11.7. Задачи
  Задача 59. Ракета движется в однородном поле тяжести вертикально вверх с постоянным ускорением w (см. рис. 11.1). Сопротивлением атмосферы пренебрегаем. Эффективную скорость истечения газов ve считаем постоянной. Определить: 1) закон изменения массы ракеты; 2) время 7\ за которое масса ракеты уменьшится вдвое. Определить также закон изменения массы при отсутствии поля тяготения.
  В рассматриваемой задаче F^ — — tng (g-—ускорение силы тяжести), поэтому уравнение (11.20) имеет вид
  dm
  mw — —-т— ve — mg.
  Разделяя в этом уравнении переменные, получим
  dm = __ w + g d( m ve
  Интегрируя и принимая во внимание, что стартовая масса ракеты т(0) = т0, будем иметь
  In ш — In ш0 = — /,
  ve откуда
  и> + в ( ш = m0e e
  228
------------ page 229 --------------
  Для момента времени Т по условию задачи
  w+g T
  «, следовательно.
  Т 5—In 2.
  w + g
  Если ракета движется вне поля тяготения, то g =* 0 и
  m — m0e e .
  Задача 60. Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Изменение массы ракеты происходит по закону
  m — mQe~~at
  (а и т0 — постоянные величины).
  К моменту времени / = /к топливо сгорает. Определить, при каком значении а ракета достигнет максимальной высоты подъема*).
  Уравнение движения ракеты (11.20) для рассматриваемого случая имеет вид
  mQe~atx= — m0e"atg + am0e~at ve или
  x = -g + ac^ = (fc~ l)?. где
  s
  Интегрируя, получим
  jc-(*-!)# +0O. (П.23)
  где Vq—начальная скорость ракеты. Считая, что при * = 0 * = 0, найдем
  *-(*-!)-??+0о*. (П.27)
  Полученное выражение описывает движение ракеты при работающем двигателе.
  Пусть масса ракеты после сгорания топлива равна /лк; тогда момент времени сгорания Л< найдется из условия
  тк « т0е к. откуда
  a mK a'
  где ц — In z (г — число Циолковского).
  Скорость ракеты в момент времени / = /к определится из формулы (11.26)
  *i - (* - I U'^c + »в - (* - 1) -^ + »о-
  *) А. А. К о с м о д е м ь я н с к и й, Экстремальные задачи для точки переменной массы, ДАН СССР 53, № 1, 17—19, 1946.
  229
------------ page 230 --------------
  К этому моменту времени высота подъема ракеты согласно уравнению (11.27) будет равна
  Начиная с момента времени / = /к, ракета будет двигаться только под действием силы притяжения Земли. Высота, на которую поднимется ракета после момента времени / == fK, равна
  Таким образом, полная высота подъема ракеты будет
  Найдем теперь максимальную высоту подъема, считая Н функцией а. Применяя обычный способ отыскания максимума функции, т. е. находя производную от Я по а и приравнивая ее нулю, мы определим значение а, при котором достигается максимальная высота подъема. Эта максимальная высота равна
  tfmax = - 2g
  и достигается при а = оо, т. е. при мгновенном сгорании топлива. Мгновенное сгорание топлива влечет за собой бесконечно большое ускорение ракеты в начале движения и, следовательно, полученное условие максимального подъема ракеты (а = оо) практически невыполнимо и недопустимо.
  При постепенном сгорании топлива ускорение ракеты будет конечным, но при этом неизбежен проигрыш в достигаемой высоте. Коэффициент k = ave/g называется коэффициентом перегрузки (давление любого груза в ракете на свою опору точно в k раз превосходит величину силы притяжения груза к Земле) *).
  Зададимся каким-либо фиксированным значением коэффициента перегрузки k. Тогда а = kg/ve. При этом значении а и при v0 = О высота подъема ракеты будет
  2 2
  При Vq = О
  "max Следовательно,
  Н = Н
  max
  2g*
  2 2
  k '
  Из этой формулы (формулы Космодемьянского) следует, что уменьшение коэффициента перегрузки влечет за собой уменьшение максимальной высоты подъема ракеты. При k = 4 она будет на 25% меньше, чем //щах-
  Задача 61. Ракета движется вертикально вверх с постоянной скоростью Со (см. рис. 11.1). Эффективная скорость истечения газов постоянна. Сила
  *) Пусть груз, находящийся в ракете, имеет массу т\\ тогда на основании принципа Даламбера имеем
  — /я,# {k - 1) - mlfj + R = 0.
  где R — реакция, действующая на груз. Следовательно, R = km\g,
  230
------------ page 231 --------------
  притяжения к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния от ракеты до центра Земли. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Определить закон изменения массы ракеты.
  Так как для рассматриваемой задачи
  '* (R + x)2' w U*
  то уравнение (11.20) будет иметь вид
  dm_ mgR2 (
  Srv'-(R + x)* 0ш (11'28)
  По условию задачи скорость ракеты v0 постоянна, т. е.
  dx .
  -^- = Ooe const,
  откуда
  х = v0t + С.
  При / = 0 х = 0, следовательно, С = 0 и
  Подставляя это выражение в соотношение (11.28), получим
  JL — = g/?2
  т dt ~ ve(R + v0t)2 * Интегрирование дает
  In /л ~ ??- -г- + С,.
  Так как при f = 0 т (0) = т0, то
  С, — 1п/н0-
  0оз*
  Подставляя это значение С\ в предыдущее равенство, найдем после очевидных преобразований закон изменения массы ракеты
  gRt
  т = mQe ex ° '.
  Задача 62. Ракета движется в поле земного тяготения вертикально вверх так, что ее масса изменяется по закону т « m0e~at, где а и /но — постоянные величины. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Начальная скорость равна нулю (и0 = 0). Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить скорость ракеты как функцию х, где х — высота подъема ракеты над поверхностью Земли (см. рис. 11.1).
  _ „» mgR2 /.. ЛЛ
  По условию Fx = — . * . 2 ; уравнение движения ракеты (11.20) имеет
  вид
  dv _ mgR2 dm
  т~Ш~-~ (R + x)2 ~4TVe-
  Так как m = m0e""a', то после подстановки получим
  dv _ gR2 ,
  ~dt~~ (R + x)2 +av*
  231
------------ page 232 --------------
  Принимая во внимание, что dx = v dt, и умножая обе части полученного уравнения на v dt, будем иметь
  
  v dv = — ,~ .2 dx + ave dx.
  Интегрируя уравнение
  v х х
  о о
  о получим
  отсюда найдем закон изменения скорости ракеты от высоты х ее подъема
  или
  »-/**(тгЬ-т)+***
  v V R(R + x) *'
------------ page 233 --------------
  ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
  ГЛАВА XII ГЕОМЕТРИЯ МАСС
  § 12.1. Введение
  Динамика твердого тела является важным разделом теоретической механики, что объясняется прежде всего теми приложениями, которые она имеет в самых различных вопросах техники. Так, например, конструирование и расчет станков, железнодорожного и автомобильного транспорта, управление полетом самолетов и космических аппаратов, борьба с качкой судна, конструирование и расчет гироскопических приборов, сохраняющих заданную ориентацию или автономно определяющих нужное па- правление (гироскопические компасы, гировертикали), и т. п. основаны на динамике твердого тела.
  Движение тел существенным образом зависит от характера распределения масс. В этом мы уже убедились на ряде примеров. Так, спортсмен при прыжке в воду, группируясь (т. е. меняя распределение масс), увеличивает свою угловую скорость (см. пример на стр. 188); время установления угловой скорости ротора электромотора зависит от момента инерции ротора (см. пример на стр. 179); скорость вращения маховичка, которую необходимо сообщить ему для прекращения вращательного движения космического аппарата, зависит от соотношения моментов инерции (см. пример на стр. 188—190) и т. д. Поэтому изучение динамики твердого тела начинается, как правило, с вводной главы, посвященной геометрии масс. Из самого названия видно, что в этой главе изучается не движение твердого тела, а только характер распределения его массы.
  § 12.2. Основные определения
  В теоретической механике считается, что масса твердого тела распределена непрерывно. Конечно, это предположение не является абсолютно строгим, но погрешности, которые вносятся этой гипотезой, ничтожно малы и ими можно пренебречь.
  233
------------ page 234 --------------
  Возьмем в теле некоторую точку и выделим небольшой объем Ду с массой Am так, чтобы выбранная точка находилась внутри этого объема. Отношение
  _ Am
  YcP~ Ди
  называется средней плотностью объема Да тела, а предел этого отношения
  Y=lim -?2- (12.1)
  — плотностью тела в данной точке (предполагается, что при Дс-*0 выбранная точка остается все время внутри объема Ди). Если тело неоднородно, то его плотность меняется от точки к точке. Отнесем тело к системе координат Oxyz. Тогда для неоднородного тела плотность у будет функцией координат
  Y = Y (*, У, г)-
  Масса неоднородного тела вычисляется по формуле
  М
  в JY dv = J J J Y (*» У* *}dx dy dz-
  Плотность однородного тела одинакова во всех его точках, причем
  м .
  У — -st = COnst,
  (12.2)
  где М — масса тела, а V — его объем.
  В § 9.2 было дано определение момента инерции относительно оси: моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма произведений масс точек системы на квадраты расстояний от точек до оси. При непрерывном распределении массы сумма переходит в интеграл.
  Возьмем в теле элемент с массой dm = fdv и координатами л*, у, z. Квадраты расстояний от этого элемента, до координатных осей л\ у, z будут соответственно равны (рис. 12.1)
  hx = if + z , hy
  2 2 . ° 2 9
  '¦ 2 + Х\ Кг = ЛГ + у2.
  Следовательно, моменты инерции тела относительно координатных осей определяются равенствами
  1Х = J (if + z2) dm, Iy = J* (г2 + x2) dm, 1г = J* (*2 + y2) dm.
  (12.3)
  В этих формулах под символом F(x, г/, z)dm подразумевается интеграл, распространенный по массе всего тела. Такое 234
------------ page 235 --------------
  условное обозначение вводится для простоты записи. Конечно, при непосредственном вычислении интеграла нужно перейти к тройным интегралам по объему, причем дифференциал массы dm = y dv = \dxdy dz. В дальнейшем будет показано, что в некоторых случаях тройной интеграл можно заменить двойным, или даже обычным определенным интегралом.
  Одновременно с осевыми моментами инерции введем полярный момент 10> определив его как сумму произведений масс точек материальной системы на квадраты их расстояний до данного полюса О. Если за полюс взять начало координат О, то квадрат расстояния от элемента dm до точки О будет равен г2 = х2 + у2 + z2 и, следовательно, полярный момент инерции твердого тела можно вычислить по формуле
  Л> = j(x2 + y2 + z2)dm. (12.4)
  По самому определению полярный момент инерции зависит только от выбора полюса и не зависит от направления координатных осей.
  Сравнивая равенства (12.3) и (12.4), легко установить формулу
  /* + /, + /,-2/0. (12.5)
  Отметим два свойства моментов инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей.
  1. Момент инерции относительно любой из осей всегда меньше суммы моментов инерции относительно двух других осей, но больше их разности.
  Действительно, например,
  Ix + Iy-I2 = 2 f z2dm>0, Ix-Iy-I2=-2 f x*dm<0;
  отсюда
  /*</* + /* lz>Ix-'y. (12.6)
  Этому свойству можно дать простое геометрическое толкование: из трех отрезков, длины которых пропорциональны моментам инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, всегда можно построить треугольник.
  2. Сумма моментов инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей не зависит от направления этих осей.
  Это свойство вытекает из равенства (12.5).
  Из первого свойства следует, что моменты инерции тела относителып трех взаимно перпендикулярных осей нельзя задать произвольно — они должны удовлетворять соотношениям (12.6).
  Напомним, что радиусом инерции тела относительно данной оси называется расстояние р от оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу М всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции / тела относительно той же оси:
  / = А/р2. (12.7)
  235
------------ page 236 --------------
  Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны» так как они представляют сумму положительных чисел. В нуль осевой момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда все материальные точки системы расположены на оси, относительно которой вычисляется момент инерции.
  Кроме осевых и полярных моментов инерции, введем еще центробежные моменты инерции (они называются иногда про- извещениями инерции), определив их равенствами
  1ху= \ xydtn, 1уг = J ijzdm, 1гх= \ zxdm. (12.8)
  Как видно из (12.8), центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов
  'ху^'ух* *уг = *гу> ' гх === ' хг*
  Центробежные моменты нельзя задавать произвольно. Действительно, из неравенства
  J (x-y)2dm>Q
  следует
  Г (лг*+у2)Лл>2 Г xydm
  или, пользуясь формулами (12.3) и (12.8),
  Ixy ^ *2" h* lyt^-^lx* tzx^-nly
  (два других неравенства получаются аналогично).
  Центробежные моменты инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат. В связи с этим часто говорят о центробежных моментах инерции в данной точке, понимая под этим, что начало координат совпадаеч с дайной точкой.
  В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могуг иметь любой знак и обращаться в нуль. Если оба центробежных момента инерции, содержащих в индексах значок некоторой координатной осп, равны нулю, то эга ось называется главной осью инерции тела в данной точке. Например, если 1хг = 1уг = О, то ось z — главная ось инерции. Если к тому же эта ось проходит через центр масс тела, то она называется главной цент- ральной осью инерции.
  Отмстим два частных случая, когда можно сразу определить характер оси.
  I. Если тело имеет плоскость материальной симметрии *), то для всех ее точек ось, перпендикулярная к плоскости симметрии, является главной осью инерции.
  *) Под материальной симметрией понимается не только геометрическая симметрия, но н симметричное распределение плотности.
  236
------------ page 237 --------------
  2. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции и называется осью динамической симметрии.
  Докажем для примера второе свойство (первое доказывается аналогично). Возьмем на оси материальной симметрии произвольную точку О и построим систему координат с началом в этой точке, направив ось z по оси симметрии, а оси х и у перпендикулярно к оси z произвольным образом. В силу материальной симметрии относительно оси z каждой точке А тела с координатами (хл, уА, zA) и массой dm будет соответствовать другая точка В такой же массы и с координатами (—А'Л, — yAi zA), см. рис. 12.2. При составлении интегральных сумм для центробежных моментов инерции Ixz и Iyz будем иметь
  xz dm + (— jc) z dm = О,
  yz dm + (— y)z dm = 0.
  Следовательно,
  /«-0, /„ = 0,
  **?*
  Рис. 12.2.
  т. е. ось z — главная центральная ось инерции (она будет центральной, так как центр масс тела находится на оси симметрии).
  Осевые и центробежные моменты инерции часто обозначаются первыми буквами латинского алфавита
  Ix — At /у —В, 12 — С, IyZ — D, 1гх — Е,
  Ixy~F.
  (12.9)
  Таблица, составленная из осевых 1Х> 1У, 1г и взятых с обратным знаком центробежных моментов инерции —1ху, —lyz, —1гх, называется тензором инерции в данной точке *)
  / / / = | -/
  УХ
  ' ху 'х
  ' ZX 'ZIJ
  1 yz
  (12.10)
  В силу симметрии центробежных моментов инерции этот тензор имеет шесть составляющих. Тензор инерции
  *) Для того чтобы таблица (матрица) была тензором, необходимо, чтобы ее элементы (в данном случае моменты инерции) удовлетворяли некоторым условиям инвариантности относительно преобразования поворота осей координат. Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данного курса. Заметим только, что моменты инерции удовлетворяют этим условиям.
  237
------------ page 238 --------------
  характеризует распределение масс тела относительно данной точки.
  Размерность всех моментов инерции (осевых, полярных и центробежных) в международной системе СИ равна кем2, а в технической — кГм сек2.
  § 12.3. Примеры вычисления моментов инерции
  Приведем несколько примеров на вычисление моментов инерции.
  1. Моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда. Вы-
  числим моменты инерции относительно осей Сх, Су, Cz, проведенных через центр масс параллельно ребрам; масса параллелепипеда — М, длины ребер
  — 2я, 2Ь, 2с (рис. 12.3).
  Воспользуемся первой формулой (12.3)
  
  т
  1
  3
  1
  
  
  Z
  ^
  
  
  
  V-
  
  
  м °h
  Рис
  12.3.
  
  ^
  
  /w
  
  
  
  У
  У
  Y
  
  /*-J (y2 + z*)dm.
  Заменим дифференциал массы dm на
  A J J J MM
  \dv = \dxdydz, где Y=-prs=-g^-» и перейдем к тройному интегралу
  /г-J J J \(y2 + z2)dxdydz = M
  8abc
  -a —b —c Этот интеграл можно представить следующим образом:
  а с b а Ь
  М Sabc
  J J J w+z2)dxdydz-
  Ix =
  [а с b a b с -x
  j dx J dz J tfdy+ J dx j dy j z*dz\ —a — с -b —a —6 — с J
  или, интегрируя,
  /jr-
  M 8abc
  [2a2c2 ¦—- + 2a262 —-] - ~- (b2 + *2).
  Таким образом, моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно центральных осей определяются равенствами (/у и /г получены круговой перестановкой букв)
  Ix—^-W + C*),
  Iu
  м_
  3
  (с2 + a2), U
  M
  (а2 + 62).
  (12.11)
  Из этих формул следует, что момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно к некоторой грани, равен одной трети массы тела, умноженной на квадрат половины гипотенузы рассматриваемой грани.
  Центробежные моменты инерции равны нулю, так как координатные плоскости являются плоскостями материальной симметрии.
  Очень часто выбором соответствующего элемента можно сразу свести вычисление момента инерции к обычному интегралу.
  Проиллюстрируем это на следующих примерах.
  2. Момент инерции однородного цилиндра относительно его оси. Пусть радиус цилиндра равен R, а его масса М. Построим цилиндрическую трубку
  238
------------ page 239 --------------
  радиуса р (р < R) и толщиной dp (рис. 12.4). За элемент массы dm возьмем массу этой трубки. Такой выбор элемента массы объясняется тем, что расстояния от всех его точек до оси цилиндра одинаковы и равны р. Объем трубки с точностью до членов высшего порядка равен
  dv « 2ярА dp, а ее масса
  dm — ydv~ y2nph dp.
  В этих равенствах h — высота цилиндра, а у — ег° плотность. Объем всего цилиндра V = nR2h. Следовательно,
  М
  м
  nR2h
  dm=*
  2Mpdp
  R2
  Умножим элемент массы на квадрат его расстояния до оси цилиндра р2. Тогда
  R
  /-Jp»rfm--^Ljp»rfp.
  Вычислив интеграл, найдем момент инерции однородного круглого цилиндра относительно его оси
  ¦^MRK
  (12.12)
  3. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Построим прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с центром шара О. В силу симметрии все три осевых момента инерции, /ж, 1У и /г, равны между собой:
  где / — их общее значение. Из формулы (12.5) найдем
  3/ - 2/Л1
  отсюда
  '-7V
  (12.13)
  Рис. 12.4.
  Таким образом, задача свелась к вычислению полярного момента инерции шара относительно его центра.
  За элемент массы возьмем массу шарового слоя радиусом р и толщиной dp. Выбор такого элемента массы объясняется тем, что расстояния от всех точек шарового слоя до его центра О равны р.
  Объем слоя dv = 4яр2 dp, а его масса dm = у di\ где
  М Y-TT--
  М
  3
  лА>3
  Здесь М — масса шара, у — его плотность и R — радиус шара. Полярный момент инерции шарового слоя относительно его центра О равен р2 dm, следовательно,
  Л
  ,-J p*rf//i- j р21-^4яо2ф = 3-^ j ow/p,
  239
------------ page 240 --------------
  Таблица моментов инерции
  Тело
  X'
  
  
  От резон прямой
  * Л
  
  Момент инерции
  l*=l2m*> '*'=kMP
  
  
  //.
  \
  гь \
  
  'шщаОь пр.
  
  С
  нмоуголмина
  
  
  - 2 а —
  
  X
  
  1Х = -^МЬ\ ly=jMa\
  Площадь эллипса
  С а
  1х = \ш\ 1у~±Ма\
  Прямоугольный параллелепипед
  &г\
  /X/
  -2Ъ-
  /д-{м (62 + с'), 1у- 1 м (а2 + с2). /г= jAf(a2 + 62).
  Прямоугольная пирамида
  
  5
  240
------------ page 241 --------------
  Продолжение
  Тело
  Момент инерции
  Прямой круглый цилиндр
  *1
  /х-/,-1м (!«* + *¦). /г = 1
  MR2
  Прямой круглый конус
  h-h- 20 М
  (|я2 + Я2). /г=4Л1^
  Эллипсоид
  
  /,= М ^2+^.г2
  241
------------ page 242 --------------
  или
  i0-tm*-
  Зная полярный момент, найдем из равенства (12.13) момент инерции / однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
  1 = 2-MR2. (12.14)
  о
  На стр. 240 и 241 приведена таблица моментов инерции простейших однородных тел.
  § 12.4. Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса — Штейнера)
  Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Эта связь устанавливается теоремой Гюйгенса—
  Штейнера: момент инерции I тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции 1С тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
  Действительно, пусть оси I и II параллельны, причем ось / проходит через центр масс С тела. Возьмем начало координат в точке С, совместим ось z с осью /, а ось у направим так, чтобы она пересекала ось // (рис. 12.5). Выделим в теле произвольный элемент массой dm и опустим из него перпендикуляры на оси / и //, обозначив их соответственно через р и рь Согласно определению моментов инерции будем иметь
  Ic = J p2dm, I = J p2 dm.
  По теореме косинусов найдем
  p2 = p2-f-d2-2pdcosa
  или, учитывая, что р cos a =//, где # —ордината элемента,
  p2 = p2 + d2-2dy.
  Подставим это выражение для р2 в формулу, определяющую момент инерции /,
  Рис. 12.5.
  /= j(92-rd2-2yd)dm= j92dm + d2 J dm-2dj ydm.
  242
------------ page 243 --------------
  Первый интеграл равен /с, второй — массе тела М, а третий—нулю (согласно формуле (7.3), \ ydm = Мус = 0, так как начало координат совпадает с центром масс). Следовательно,
  / = /с + ЛЫ2, (12.1L)
  что доказывает теорему.
  Формула (12.15) широко используется в практических расчетах при определении моментов инерции тел относительно осей, не проходящих через центр масс. Кроме того, применяя метод разбиения, с помощью этой формулы можно определить осевые моменты инерции тел сложной формы. Поясним это примером.
  Задача 63. Маятник, изображенный на рис. 12.6, состоит из тонкого однородного стержня длиной / и массой mi и круглого однородного диска радиусом R и массой т2. Определить момент инерции 1г маятника относительно оси его вращения Oz (ось Oz направлена перпенди- у/(3"
  кулярно к плоскости рисунка). \Q
  Маятник состоит из двух тел: стержня и диска. Поэтому
  lz lz ^lz>
  где lczT и l\ — моменты инерции относительно оси соответствующих тел.
  Момент инерции стержня /?т ^-q" я^ > а момент инерции
  диска найдем по формуле (12.15)
  0
  1%-1% + т?% Рис. 12.6.
  где /?« — m2R — момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси Oz, a d = / + R— расстояние от центра диска до оси Oz. Имеем:
  /* = y»z2#4m2(/-r/?)2.
  Пользуясь выражениями для моментов инерции стержня и диска, найдем момент инерции маятника относительно оси Oz:
  7'~з
  mil2 + m2[jR* + (l + R)2].
  § 12.5. Момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через данную точку
  Возьмем в теле точку О и примем ее за начало системы координат Oxyz. Проведем через точку О произвольную прямую OL, составляющую с осями дс, yt z углы а, р и у соответственно. Требуется определить момент инерции / тела относительно оси OL, считая, что известны его осевые IXf /w, /r и центробежные Ixyy !уг и lzx моменты инерции.
  243
------------ page 244 --------------
  Для решения задачи возьмем в теле произвольную точку N массой dm и с координатами х, у, z н опустим из нее перпендикуляр NP на прямую OL (рис. 12.7). Момент инерции тела относительно оси OL определяется равенством
  Г р2 dm,
  где р — длина отрезка NP.
  Из треугольника ONP найдем
  где ON2 = х2 + у2 + z2 — квадрат модуля радиуса-вектора г точки N, а ОР — проекция г на ось OL.
  По формуле аналитической геометрии имеем
  ОР = х cos а + у cos Р + z cos у.
  Подставляя выражения для ON и ОР в предыдущее равенство, получим
  — (* cos a + у cos р + z cos y)2
  или, раскрывая скобки и группируя члены,
  p2^l-cos2a)*2 + (l-cos2p)f/2 + Рис- 127' + (1 - cos2 у) г2 - 2ху cos a cos р -
  — 2*/г cos p cos y — 2zx cos y cos a.
  Воспользуемся известным равенством, которому удовлетворяют направляющие косинусы
  cos2a-f-cos2p-f cos2y= l. Отсюда
  1 — cos2 a = cos2 p H- cos2 y, 1
  1
  cos2 p = cos2 a + cos2 yt cos2 y = cos2 a + cos2 p.
  Подставим эти выражения в равенство для р2:
  р2 « (cos2 р + cos2 y) х2 + (cos2 a + cos2 y) y2 + (cos2 a + cos2 p) z2 —
  — 2xy cos a cos p — 2yz cos P cos y — 2zx cos a cos y или
  p^ = (tf + z1) cos2 a + (z2 + .v2) cos2 p + {x2 + y2) cos2 Y -
  — 2xy cos a cos p — 2yz cos p cos y — 2zx cos y cos a.
  Подставим это значение для р2 в выражение для момента инерции /, разобьем интеграл на сумму интегралов и вынесем
  244
------------ page 245 --------------
  в каждом из них cos a, cosp и cosy за знаки интегралов. Тогда получим
  / - cos2a J (t? + z2)dm + cos2p J (z2 + x2)dm +
  + cos2 y J (x2 + #2) dm —2 cos a cos p J xtj dm —
  — 2 cos p cos у J yz dm — 2 cos у cosa J zxdm.
  С помощью соотношений (12.3) и (12.8) найдем / = Ix cos2 a +1у cos2 p + /2 cos2 y — 21 ху cos a cos p —
  - 2/уг cos p cos y — 2/ZJC cos y cos a. (12.16
  Формула (12.16) является искомой. Пользуясь ею, можно найти момент инерции / относительно оси OL, зная осевые и центробежные моменты инерции.
  Если координатные оси являются главными относительно своего начала, то центробежные моменты будут равны нулю и формула (12.16) примет более простой вид:
  I = Ixcos2a +1ycos2$ + Izcos2у. (12.17)
  Задача 64. Дана однородная прямоугольная пластинка с массой М и сторонами 2а и 2Ь. Требуется определить момент инерции / относительно диагонали.
  Построим систему координат Схуг с началом в центре масс пластинки. Ось х направим параллельно стороне 2а, ось у —- параллельно стороне 2Ь, а ось г — перпендикулярно к плоскости пластинки (на рис. 12.8 ось г не показана — она направлена на читателя).
  Координатные оси являются главными центральными осями инерции, так как тело симметрично относительив этих осей. Имеем (рис, 12.8)
  Рис. 12.8.
  cosP =
  Va2+b2 ' Va2 + b2
  Пользуясь таблицей моментов инерции, найдем
  Y-90c, cosy-0.
  /r-yMW /„--g-Afa»
  1г-^М(а2 + Ь2).
  Внося эти значения в формулу (12.17), получим момент инерции однородной пластинки относительно ее диагонали
  Л а2 + Ь2 3 а2 + Ь2
  или, после упрощения,
  / 2 „ vb2
  240
------------ page 246 --------------
  § 12.6. Эллипсоид инерции
  Возьмем в теле точку О и проведем через нее ось OL. Пусть момент инерции тела относительно этой оси равен /. При изменении направления оси OL будет изменяться момент инерции /. Простое и вместе с тем очень наглядное представление
  об изменении момента инерции в зависимости от изменения положения оси, проходящей через данную точку О, дает следующее геометрическое построение.
  Отложим на прямой OL отрезок ОМ (рис. 12.9), длину которого в соответствующем масштабе определим равенством
  ОМ-г--±г. (12.18)
  Обозначим координаты точки М через х% уу г. Так как эта точка лежит на прямой OL, то будем иметь
  cos а = — = х VI, cos р = у = у \/7, cos Y = у e z УЛ
  где а, р и у — углы, определяющие направление оси OL.
  Внесем эти выражения для направляющих косинусов прямой OL в формулу (12.16) и сократим полученное выражение на / (для осевых моментов инерции введен дополнительный индекс — штрих):
  I'xx* + I'jf + I'zz* - 2Ixyxy - 2Iyzyz - 2Izxzx - 1. (12.19)
  Этому уравнению второго порядка удовлетворяют координаты точки М на прямой OL. Следовательно, оно определяет поверхность, которую описывает точка М при изменении направления прямой OL.
  Расстояние от начала координат О до точки Л1, принадлежащей поверхности (12.19), определяется равенством (12.18). Так как момент инерции / тела относительно любой оси всегда положителен и в нуль не обращается, то все точки поверхности (12.19) находятся на конечном расстоянии от начала координат (случай бесконечно тонкого стержня из рассмотрения временно исключается). Из всех поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только эллипсоид. Поэтому построенная указанным образом поверхность называется эллипсоидом инерции.
  Из аналитической геометрии известно, что уравнение эллипсоида может быть упрощено, если за координатные оси взять три взаимно перпендикулярных направления главных диаметров
  Рис. 12.9.
  246
------------ page 247 --------------
  поверхности. В таких осях уравнение эллипсоида не содержит членов с произведениями координат и имеет вид
  /х*2 + /у + /2г2=1. (12.20)
  На рис. 12.9 показан эллипсоид инерции, построенный для точки О.
  Из формы уравнения видно, что в этих осях все центробежные моменты равны нулю. Следовательно, для каждой точки существуют три главные оси инерции.
  Сравнивая уравнение эллипсоида в канонической форме
  ^+j? + —=1 а2 ^ Ь2 ^ с2
  с уравнением эллипсоида инерции (12.20), отнесенного к главным осям инерции, найдем
  e"vb b = Wy> С=77Г (,2-21)
  Из этих равенств следует, что большему главному моменту инерции соответствует меньшая ось эллипсоида инерции.
  Если среди моментов инерции тела относительно главных осей в данной точке нет равных, то эллипсоид инерции называется трехосным. При двух равных моментах инерции (например, 1Х = lv) эллипсоид инерции превращается в эллипсоид вращения. Если же 1Х = /у = /г, то эллипсоид инерции вырождается в сферу; соответствующие точки называются шаровыми.
  Так как между моментами инерции 1Ху 1У и /2 должны существовать соотношения (12.6)
  Ix + Iy>I2, Iy + Iz>Ix, I2 + Ix>Iy,
  то не всякий эллипсоид может служить эллипсоидом инерции. Для бесконечно тонкого стержня эллипсоид инерции вырождается в бесконечный круговой цилиндр.
  В заключение этого параграфа отметим, что для эллипсоида вращения любая ось, лежащая в экваториальной плоскости (плоскости равных полуосей эллипсоида) и проходящая через данную точку, является главной осью инерции. Это следует из того, что за главный диаметр эллипсоида вращения можно взять любой диаметр, лежащий в экваториальной плоскости. Этот же результат можно получить и из формулы (12.17).
  § 12.7. Свойства главных осей инерции
  В предыдущем параграфе было показано, что в каждой точке можно построить главные оси инерции, т. е. оси, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю.
  Пусть некоторая ось, например, ось г, является главной для точки О. Поставим следующий вопрос. Существуют ли на этой
  247
------------ page 248 --------------
  оси точки, для которых ось Oz также будет главной осью инерции? Для решения этой задачи построим в точке О главные оси инерции Oxyz. По определению главных осей будем иметь
  *ху = \ xydm = 0, 1уг = | уг dm = О, IZX = j* zx dm = 0. (12.22)
  Предположим, что на оси z существует точка /(, для которой ось z совпадает с главной осью инерции; пусть две другие главные оси для точки К будут х' и у' (рис. 12.10). Так как ось z' совпадает с осью г, то координатная плоскость Кх'у' параллельна плоскости Оху. Что касается направления осей х' и у\ то в общем случае нельзя считать, что они параллельны
  осям х и у соответственно. Обозначим угол между направлениями осей х и х' через 0, а длину отрезка ОК через h.
  Возьмем в теле произвольную точку N. Между ее координатами л\ у, z и х\ у\ zf существует очевидная связь:
  х' = *cos0H-#sin0,
  //' = — х sin 9 4- у cos 9, z' = z — ft.
  По предположению оси Кх\ Ку' и Kz' являются главными осями инерции. Поэтому все центробежные моменты инерции для новых осей должны равняться нулю
  /Л.у = J x't/ dm = 0, /^v = J У'г' dm, 1г>х> = Г z'x' dm = 0.
  Подставим сюда значения л:', // и z' из формул преобразования, раскроем скобки и сгруппируем члены:
  (cos2 0 - sin2 0) [ ху dm + sin 9 cos 0 [ {у2 - x2) dm = 0,
  — sin0 ) xzdm -f cos0 | zydm + li sin 0 J x dm —cosд J ydm\ = 09
  cos0 j xz dm + sin Q |//г dm — ft cos 9 J л; dm + sin 9 J ydm\=^0.
  Воспользуемся равенствами (12.22) и (7.3). Кроме того, и первом соотношении добавим и вычтем z2 под знаком второго интеграла и разобьем его на две части. Тогда получим:
  ¦» sin20 [ j (if -l- г2) dm - J (a*2 + г2) dm] = 0, Л1Л (.vc sin 0 - yc cos 0) = 0, Mil (xc cos 0 -I- yc sin 0) = 0.
  248
  Рис. 12.10.
------------ page 249 --------------
  В этих уравнениях М — масса тела, а хс и ус — координаты его центра масс.
  Интегралы, стоящие в квадратных скобках, равны моментам инерции 1Х и /у тела относительно осей хну. Поэтому, сокращая последние два уравнения на Му а первое на -j, будем
  иметь:
  (/*- 1У) sin 26 = 0, |
  A(jtcsine-#ccose) = 0, I (12.23)
  h (xc cos Э + ус sin 6) = 0. )
  Последние два уравнения имеют следующие независимые решения (при любом угле 6):
  1. Л = 0, 2. хс = Ус = 0.
  Предположим, что ось z не проходит через центр масс тела. Тогда Л'с и ус не могут равняться нулю одновременно и имеет место первое решение (А = 0), т. е. точка К совпадает с точкой О. Это означает, что главная ось инерции для точки О не имеет других точек, для которых она служила бы главной осью.
  Предположим теперь, что ось Oz— главная центральная ось инерции. Тогда хс = ус = 0 и, следовательно, последние два уравнения системы (12.23) удовлетворяются при любом h. Это означает, что главная центральная ось инерции остается главной осью для всех своих точек.
  Рассмотрим, какие направления должны иметь в этом случае две другие главные оси инерции. Для этого обратимся к первому уравнению системы (12.23). Если 1хф1и, то имеется одно решение 6 = 0 (случай 6 = л/2 не имеет принципиального значения, так как при этом оси х/ и у' поменяются местами). Следовательно, при 1хФ1у главные оси х' и у' должны быть параллельны главным осям х и у. Если же 1Х = /у> то первое уравнение удовлетворяется при любом 6. Поэтому направления осей х' и у' можно выбрать произвольно (так же, как оси х и у).
  § 12.8. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей
  При вычислении моментов инерции обычно стремятся воспользоваться таблицами моментов инерции и теоремой Гюйгенса— Штейнера. Однако очень часто ось, относительно которой необходимо определить момент инерции, не параллельна ни одной из главных центральных осей инерции и не проходит через центр масс. В этих случаях наиболее рационально комбинировать формулу (12.17) с теоремой Гюйгенса — Штейнера и данными таблиц.
  Пусть для тела известны главные центральные моменты инерции /jc, 1У и 1г. Предположим далее, что дана прямая LL\
  249-
------------ page 250 --------------
  Рис. 12.11.
  относительно которой требуется вычислить момент инерции /
  тела.
  Проведем через центр масс тела прямую //', параллельную
  LL'. Так как прямая LU задана, то должны быть известны
  углы а, р, у между этой прямой (или, что то же самое, прямой IV) и главными осями инерции х, у и z (рис. 12.11). Вычислим по формуле (12.17) момент инерции Л тела относительно оси //':
  lx = /xcos2cc +
  + /j,cos2P + /2cos2y. (12.24)
  Тогда по теореме Гюйгенса — Штейнера момент инерции относительно оси LL' будет равен
  /==/, + Mrf2, (12.25)
  где М — масса тела, a d — расстояние между осями LL' и //'. Углы а, р и у» а также расстояние d необходимо определить из условия задания прямой LL'. Конечно, не представляет труда найти эти величины, если заданы уравнения прямой LL', но обычно их значительно проще определить из условий задачи.
  Задача 65. Требуется определить момент инер* ции / прямого кругового конуса относительно образующей SB (рис. 12.12); радиус основания конуса равен R, высота равна Н.
  Построим систему координат Cxyz. Центр масс С конуса находится на его высоте OS, причем
  ОС = — OS^-j-H. Ось г направим по оси конуса,
  ось у — параллельно основанию так, чтобы она пересекла образующую SB, ось х — перпендикулярно к плоскости у г. Координатные плоскости у г и хг являются плоскостями симметрии, поэтому оси х, у иг — главные центральные оси инерции конуса. Построим прямую sb, параллельную образующей SB; углы между прямой sb и осями х% у, г соответственно равны: а = 90°, (5 = 90° + ф, у = <р, где <р —
  угол полураствора конуса. Внося эти значения углов а, р и у в формулу
  (12.24), получим
  /, — 1у sin2 ф + /2 cos2 ф.
  По таблице моментов инерции найдем 3
  Рис. 12.12.
  '*~ям
  (тЯ2+*2)> '*--&№.
  Из рис. 12.12 определяем
  81Пф =
  УИ2 + R2
  COS ф =
  И
  VTPTR2'
  250
------------ page 251 --------------
  Подставляя эти выражения в Л, получим /,~ 20
  Л,^тж(тЯ2+4
  Расстояние d от центра масс С конуса до образующей найдем из треугольника CES:
  Теперь с помощью формулы (12.25) легко находим момент инерции / конуса относительно его образующей:
  1 = -?гМ
  20 Я2 + R2
  (6#2 + #2).
  2 к
  0
  У
  Хм
  Рис. 12.13.
  § 12.9. Вычисление тензора инерции
  При решении различных задач динамики, в частности, при определении динамических реакций опор твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, необходимо знать не только осевые, но и центробежные моменты инерции относительно вполне определенных координатных осей, короче говоря, необходимо знать тензор инерции / в произвольно выбранной координатной системы [см. формулу (12.10)]. Конечно, при вычислении составляющих тензора инерции можно пользоваться основными формулами (12.3) и (12.8). Однако, в тех случаях, когда известны моменты инерции тела относительно главных центральных осей, задача может быть существенно упрощена.
  Пусть тензор инерции / тела требуется определить для прямоугольной системы координат Oxyz. Будем считать, что нам известно положение центра масс С тела, т. е. известны координаты *с, Ус zc в системе Oxyz, направления главных центральных осей инерции х\ у\ z' и соответствующие моменты инерции lx,% ly,, /z,— см. рис. 12.13 (в отличие от ранее применявшихся обозначений главные центральные оси обозначены штрихами).
  Построим вспомогательную систему координат Cx"y"z'\ оси которой параллельны соответствующим осям системы Oxyz. Тогда направления главных центральных осей Cx'y'zf будут определяться таблицей направляющих косинусов:
  (12.26)
  z, 2 a3i <*з2 а33
  В этой таблице a, j —- косинусы углов между соответствующими осями, так, например, а32 — cos (г, у') « cos (г", у').
  251
  
  *, X"
  * УГ
  х'
  а,,
  a2i
  у'
  «12
  а2г
  Z*
  «13
  а2з
------------ page 252 --------------
  Моменты инерции /х, /„ и /« относительно осей х, у и г можно вычислить по формуле (12.25). По формуле (12.24) имеем
  Квадрат расстояния между осями х и х" равен, очевидно, расстоянию от точки С до оси х, т. е. у2с + z2c. Поэтому согласно формуле (12.25) будем иметь (две другие формулы получаются аналогично)
  1Х - М {у2с + г%) + а2п1х. + a *,/„, + oJ3/^ /„ - ^ (4 + х*с) + аУх, + c&V + <4/г„ /г - Л1 (4 + 4) + «Vx- + «32V + азз7г"
  (12.27)
  Перейдем к вычислению центробежных моментов инерции тела относи* телыю осей ж, у, г. Рассмотрим произвольную точку N тела. Пусть ее координаты в системе Cx'y'z' будут г, у' и г', а в системе Oxyz — x, yt г. Эти координаты связаны формулами преобразования:
  х - *с + an*' + а,2у' + а,,*',
  у~ус+ а2{х' + a22/ + а^г7,
  г-гс + а31х' + аз2»' + аззг'-
  Так как оси *', у', г' являются главными центральными осями инерции тела, то все центробежные моменты инерции относительно этих осей и все статические моменты равны нулю:
  1х'У " J *У dm " a V*' " J У'* dm - °.
  /zV - f г'д:' rfm = 0, С х' dm - 0, f / rfm - 0, ( z> dm=* 0. (12.28)
  По определению центробежных моментов инерции имеем
  1ху = ) ХУ dm-
  Подставим сюда значения х и у из формул преобразования, раскроем -скобки и сгруппируем члены:
  *ху~ХсУс \ dm+(a2l*C + ai^c) J Х'ФП +
  + (a22VC + a!2^c) J У' dm + (tt23*C + а\ъУс) j * dm + «„«21 J **' dm +
  + a12a22 J y'2 dm +ai3a23 I z*2 dm + (ana22 + a12a2i) J x't/dm +
  + (a,,a23 + ai3«2i) J *V dm + (a,2a23 + a13a22) J у'г*dm или, учитывая равенства (12.28),
  'xy ~ Л'ЛС*С + aUa21 / *'' dm + U12a22 J ^ rfm + ai3a23 J *'' ^ ^52
------------ page 253 --------------
  Так как оси х и у взаимно перпендикулярны, то ana2i + сцгвгг + «13^23 = 0;
  отсюда
  а^агз^ — (аиа2| + а12а22). Подставим это выражение в последнее равенство для 1ху:
  1ху = МхСУС + °11°21 J Х'2 dtU + а12а22 J У'2 dm " (а| 1а21 + а12а22) J ^ dm
  или, группируя члены,
  1ху = Мхсус + аиа21 J (x''2-z/2)dm + al2a22 j (у'2 - г'2) dm.
  ,2 .*
  Добавляя и вычитая в первом интеграле*/ , а во втором х , будем иметь 1ху = Мхсус + а,,а2, [ J (х'2 + t/)dm - \ (z'2 + у'2) d:ti\ +
  + «i2a22 [ [ (у'2 + х'2)dm - j" (г'2 + х'2) <///Л.
  Пользуясь выражениями (12.3) для осевых моментов инерции, найдем (две другие формулы получены аналогичным методом;:
  1ху = МХСУС + tt! 1а21 (V ~ V) + а12а22 (V - V >' V " МУС2С + а21а31 (7г' ~ 7*') + а22«32 (V ~ V)' 7гх " ЛгЛ + °11а31 (7г' - 7х') + а12«.Ч2 (V - *у\
  (12.29)
  Формулы (12.27) и (12.29) дают решение поставленной задачи об определении тензора инерции / в произвольной системе координат Охуг.
  § 12.10. Задачи на вычисление моментов инерции
  Задача об определении тензора инерции сводится к определению осевых и центробежных моментов инерции. Если нам известен тензор инерции для главных центральных осей инерции, то его составляющие для произвольных осей определяются формулами (12.27) и (12.29). Однако нередко направления главных центральных осей инерции нам неизвестны. В этих случаях приходится прибегать к основным формулам (12.3) и (12.8).
  Задача 66. Однородный диск D радиусом г и с массой М насажен на вал, установленный в подшипниках А и В (рис. 12.14). При сборке были допущены погрешности, в результате которых ось вала пересекает плоскость диска в точке О, не совпадающей с центром С диска; кроме того, ось вала пе перпендикулярна к плоскости диска и составляет с ней угол 90° — а. Определить момент инерции диска
  относительно оси вращения ЛВ и его центробежные моменты инерции !хе и 1и2 (положение осей Ох и Оу будет указано в дальнейшем).
  Пусть прямая ОЕ представляет проекцию оси вращения ЛВ на плоскость диска. Опустим из центра С диска на прямую ОЕ перпендикуляр и примем его за ось Су'\ ось Сх' построим к плоскости диска перпендикулярно к осп Су'\ ось Cz' перпендикулярна к плоскости диска. Очевидно, что осп Сх', Су'
  253
------------ page 254 --------------
  и Cz' — главные центральные оси инерции диска. Через точку С проведем ось Сг", параллельную оси вращения г, ось Су" совместим с осью Су, а ось Сх" проведем перпендикулярно к осям Су" и Cz". При таком построении координатные оси г, г'\ х' и х" будут лежать в одной плоскости, причем угол между осями х' и х" равен а. Оси Ох и Оу параллельны осям Сх" и Су". Таблица направляющих косинусов имеет вид
  
  X, X"
  <Л у"
  2, Z"
  X'
  cos a
  0
  sin а
  У'
  0
  1
  0
  Z*
  — sin а
  0
  cos а
  Обозначим координаты точки О в осях Cx'y'z'^ связанных с диском, через 8, б, 0 (см. рис. 12.14). Тогда координаты центра С диска в системе Охуг будут
  хс = — е cos а, ус *= — б, zc ~ — е sin а.
  Из таблицы моментов инерции найдем (п. 3)
  Воспользуемся далее третьей формулой (12.27)
  h e М (4 + Ус) + «aV*' + <4V + «aW-
  В нашем случае согласно таблице направляющих косинусов аз1 = sin а, аза = 0, а3з = cos а. Пользуясь соответствующими выражениями, получим
  /2 = м (е2 cos2 а + б2) + ~ Mr2 sin2 а + у Mr2 cos2 а
  или, группируя члены,
  /(Z==iw[62 + (e2+Yr2)cos2a + -jr2sin2al. (12.30)
  Теперь с помощью формул (12.29) найдем после очевидных преобразований центробежные моменты
  IXz = - j Me2 sin 2a + ~ Mr2 sin 2a, Iyz - M fie sin a. (12.31)
  При правильной сборке будем иметь: е = б = 0, a = 0. Следовательно, /г= — Mr2, 1хг — /уг = 0, что очевидно.
  Задача 67. Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы KF длиной L и весом С, противовеса D весом Q и груза Е весом Р. Стрела составляет с вертикальной осью вращения угол а. Определить момент инерции 1г крана относительно оси вращения z и центробежные моменты, считая противовес D и груз Е точечными массами, а стрелу — однородной тонкой балкой. Оси координат и геометрические размеры показаны на рис. 12.15, оси х и х/ перпендикулярны к плоскости рисунка.
  Система состоит из трех тел: стрелы Kt\ противовеса D и груза ?. Поэтому
  254
------------ page 255 --------------
  Для точечных масс имеем
  /?--*-tf2, /f = — L2sin?a.
  Момент инерции I%F стрелы KF относительно оси вращения крана вычислим по формуле (12.17)
  /«' - 1У cos2 (*Сг) + iy cos2 (yO) + /f cos2 (гО).
  В нашем случае (*', г) — 90е и cos (*', г) = 0, I$F = 0 (по условию задачи стрела KF представляет собой тонкую балку), cos (z\ z) = sin a и /*/ =
  s= — — ZA Следовательно, момент инерции 1г всего крана относительно
  3 ё оси вращения z будет
  1*=Td2+irsin2a{i+p)' (12'
  32)
  />^
  Рис. 12.15.
  Центробежные моменты инерции 1ху и 1хг %' равны нулю, так как вся система находится в плоскости yz. Учитывая, что система со- д стоит из трех тел, будем иметь
  1 у г ' yz ^ ' уг~* у г4 Для точечных масс D и Е:
  Уг ё
  F Р
  1уг=* — L sin a(/t-/ + L cos a).
  Центробежный момент инерции 1*? стрелы KF найдем путем непосредственного интегрирования. Для этого выделим элемент dif с массой
  dm =* —j- dy\ Координаты этого элемента —
  у — yf sin a, z = у' cos a + h,
  где yf — расстояние вдоль стрелы от точки К до элемента dy*. Имеем L
  Jy* " J yZdm = ТЕ J ^ + #'cosa) y'sina^,==s — sina fy + -3-cosa).
  Для всей системы будем иметь L sin a Г GL
  муг-
  —тг- cos a + Р (L cos a — /) + — f PL sin a + —^— sin a — Qd\
  Если центр масс лежит на оси вращения, то
  с 1 PL sin a -f- —g- sin a — Qd =» 0,
  255
------------ page 256 --------------
  и выражение для центробежного момента упрощается: L sin а Г GL
  /,*~
  8
  • I —г— cos а + Р (L cos а — /) .
  (12.34)
  Задача 68. Определить тензор инерции однородной тонкой пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника, для осей координат, связанных с его катетами; длины катетов равны а и b (рис. 12.16).
  Так как плоскость пластинки совпадает с плоскостью ху, то для всех точек 2 = 0; формулы (12.3) и (12.8) принимают вид
  Лг = Г У2 dm, Iy = Г х2 dm, Iz = Ix + iyt i = J xy dm, lxz = 0, Jyz « 0.
  *xy -
  x Пусть у~ поверхностная плотность пластинки.
  Тогда ее масса М будет равна
  М = -~-уаЬ.
  В качестве элемента пластинки возьмем прямоугольник со сторонами dx и dy\ его масса dm =* у dx dy.
  Уравнение гипотенузы можно записать как уравнение прямой линии в отрезках, отсекаемых на осях
  а Ь
  Отсюда найдем
  у = -(а-х).
  Пусть х будет внешней переменной интегрирования, а у — внутренней. Тогда пределы интегрирования по х будут 0 и а, а пределы интегрирования
  по у суть 0 и — (а — х). Имеем
  л 4- <-*»
  а а
  ± <а-х)
  1Л= ) y2dm = y j dx j y2dy = ^jy3 | dx =
  0 0 0 0
  3a3 j [a x) ax 3(j3 4
  **•
  Так как \ — 2M/abt то
  lx = -jrMb2, Jy = -^Ma2, I2 = i-M(a2 + b2)
  (12.35)
  (lу получено надлежащей заменой букв). 256
------------ page 257 --------------
  Перейдем к вычислению центробежного момента инерции.
  ь
  а ?*-*>
  ¦ (а-х)
  dx =
  fjry-J xydm = y ^ dx J xydy = ^-\ xy2
  0 0 0 0
  a a
  e|jT J x(a"x)2dx==^ \ (a2x-2a*2 + x3)dx=: о о
  \b2 ( 2 x2 2 з , x4\a\
  24
  a262.
  Подставляя значение y» найдем
  M_
  12
  lxy = — ab.
  (12.36)
  Тензор инерции имеет такой вид:
  / =
  М U М 2
  12 а6 Тв °'
  0 0 -^- (а2 4- &2)
  9 Н. В. Бутеиин и др., т. 2
------------ page 258 --------------
  ГЛАВА XIII
  ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
  ТЕЛА
  § 13.1. Основные задачи динамики твердого тела
  В статике нами были рассмотрены условия равновесия систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, и условия, при которых твердое тело находится в покое. Задание движения твердого тела и определение скоростей и ускорений точек твердого тела было рассмотрено в кинематике. При изучении динамики твердого тела встают более сложные задачи. Эти задачи делятся на две основные группы. К одной группе относятся задачи, в которых по заданному движению твердого тела требуется определить систему сил, под действием которых происходит это движение. К другой группе относятся задачи, в которых по заданным силам, действующим на твердое тело, требуется при определенных начальных условиях найти закон движения тела, а для несвободного тела найти также реакции связей.
  Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, следовательно, для определения положения в пространстве требуется шесть независимых между собой параметров. В качестве таких параметров чаще всего выбирают координаты центра масс твердого тела и углы Эйлера или какую-либо другую систему углов, наиболее удобных в рассматриваемой конкретной задаче.
  Пусть твердое тело движется по отношению к неподвижной (инерциальной системе координат 0\X\yxZ\\ рис. 13.1). Предпот ложим, что система координат Сх2у2^ имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно, а система координат Cxyz жестко связана с твердым телом.
  Очевидно, что координаты центра масс (х\С, У\с, ziC) и углы Эйлера 8, i[>, ср, которые составляет система координатных осей Cxyz с осями системы Сх2у2^ полностью определяют положение твердою тела.
  258
------------ page 259 --------------
  Для того чтобы решать сформулированные задачи динамики твердого тела, следует найти уравнения, связывающие эти параметры с силами, действующими на твердое тело. Этих уравнений должно быть шесть, так как число независимых параметров равно шести.
  Для получения этих уравнений воспользуемся теоремой о движении центра масс (§ 8.4) и теоремой об изменении момента количеств движения в относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно и имеющей начало в центре масс твердого тела (§ 9.7)
  Согласно теореме нии центра масс
  Mwc = Fe
  имеем
  Мх]С = Z7*,,
  Mzlc = Fe2l,
  где xiC, yic, Zic — координаты кис- |с,ь
  центра масс в неподвижной системе отсчета Ox\y\ZU a FeXl9 FeVx> FeZl — проекции главного вектора всех внешних сил на те же оси.
  Используя теперь теорему об изменении момента количеств движения в относительном движении (§ 9.7)
  ^ = Мес, (13.2)
  аналогично можно получить три соотношения, связывающие углы Эйлера с моментами сил относительно координатных осей. Вывод этих соотношений будет приведен в главе XIV.
  Эти соотношения и уравнения (13.1) и дают возможность решать сформулированные выше задачи динамики твердого тела.
  § 13.2. Выражения для количества движения, момента
  количеств движения и кинетической энергии
  твердого тела
  Для составления дифференциальных уравнений движения твердого тела при различных случаях его движения нам придется, как уже говорилось, пользоваться общими теоремами динамики системы. Поэтому в этом параграфе приводятся выражения для количества движения, момента количеств движения
  9»
  259
------------ page 260 --------------
  и кинетической энергии твердого тела для различных случаев его движения.
  Количество движения твердого тела выражается в соответствии с формулой (8.2) следующим равенством:
  Q = Mvc, (13.3^
  где М — масса тела, vc — скорость центра масс.
  Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то скорость его центра масс определяется формулой
  vc = (о X гс,
  где «о — угловая скорость, а гс — радиус-вектор центра масс, проведенный из неподвижной точки тела.
  Проекции вектора количества движения на оси координат, имеющих начало в неподвижной точке тела, найдем из соотношения
  I i / k
  Q = M(©Xrc) = M юх toy сог
  I xc Ус zc
  где со*, o)y, o)2 — проекции угловой скорости, xc, у с* *с ~ координаты центра масс, *, /, k—единичные векторы координатных осей. Проекции вектора количества движения будут равны
  Qx = М {(йу2с - (*zyc), | Qy=M{(d2xc-<oxzc), \ (13.4)
  Qz = М (ыхус - (оухс). I
  При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси вектор его угловой скорости направлен по оси вращения. Если теперь ввести систему координат с началом в какой-либо точке оси вращения, а ось z совместить с осью вращения, то вектор угловой скорости представится в виде
  <о = &zk = ф&,
  где ф — угол поворота тела.
  Формулы (13.4) в этом случае будут иметь вид
  Qx=-Myc<$, Qy=Mxcq>, Q2 = 0. (13.5)
  Момент количеств движения системы относительно начала координат определяется формулой (9.1)
  п
  K-SrfeX mkvk9
  где rk — радиус-вектор k-\\ точки системы, тк и и*— ее масса и скорость.
  260
------------ page 261 --------------
  Проекции момента количеств движения на координатные оси имеют следующий вид (9.2) :
  Кх = S mk (ykvkz - zkvky),
  n
  Ky=^mk (zkvkx - xkvkz)t k=i
  n
  Кг = 2 rnk{xkvky- ykvkx).
  fe-1
  (13.6)
  Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то скорость его любой точки находится по формуле
  v = © X г,
  где <о — угловая скорость.
  Выражения для проекций скорости v имеют вид
  vx = &yZ - щу,
  Vy = tozX — (uxZt Vz = <йху — (ОуХу
  (13.7)
  где х, у, z — координаты рассматриваемой точки.
  Подставляя эти формулы в первое равенство (13.6) и переходя для твердого тела от суммы к интегралу, получим
  Кх = j [у (<*>хУ - ®уХ) ~ 2 {<й2х - axz)] dm =
  e J [®х (У2 + z2) — ®ухУ — <dzxz] dm.
  Так как со*, ®у и сог не зависят от переменной интегрирования, то
  Кх = <*>* ] (#2 "Г" г2) dm — (йу | xydm — a>z J дсг dm.
  В этом равенстве /^ = Г (*/2 + г2) dm — момент инерции твердого
  тела относительно оси л-, 1ху = | xydm и lxz = | xzdm— центробежные моменты инерции. Проделав аналогичные выкладки с выражениями для Ку и Kz> получим
  Кх = /xcov — /дг^со^ — /хго>2,
  Ку=: - IХу<*х + 'Л ~ ^г®г> Kz= - IXZMX - V^ + ^г^г- '
  (13.8)
  261
------------ page 262 --------------
  Если оси координат, имеющие начало в неподвижной точке О тела, будут главными осями инерции тела, то 1ху = Ixz = Iyz = 0 и формулы (13.8) примут вид
  КХ = 1Х<йХ, Ky^Iytoy, Kz = Iz<UZ- (13.9)
  Формулы (13.8) и (13.9) определяют проекции момента количеств движения абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, на оси координат, жестко связанные с телом. Из формул видно, что в общем случае проекции вектора со и проекции вектора К не пропорциональны между собой, следовательно, направления векторов К и о не совпадают.
  При движении тела вокруг неподвижной оси при условии,, что ось z направлена по оси вращения тела, имеем
  (13.10)
  Перейдем теперь к нахождению кинетической энергии абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинетическая энергия твердого тела определяется формулой (10.6)
  к,-
  *,-
  Kz-
  - Ixz®z =
  ~ Iyz<*z =
  1г(02 = /2ф.
  — /*гФ>
  - 1угЧ>>
  
  Г = у | v^dm
  или (так как v -v = v2)
  Т = у J v . v dm.
  Подставляя в эту формулу выражение для скорости точки твердого тела v = со X г, получим
  Т = у J v - (<й X г) dm.
  Вспоминая свойства скалярно-векторного произведения
  ti.(©Xr) = ©-(rXf), будем иметь
  T = j]<u-(rXv)dm = ±<d-j(rXv)dm,
  но так как К= \ (г X v) dm есть момент количеств движения, то
  Г = ^со./(. (1?.Ц)
  2<)2
------------ page 263 --------------
  Используя формулы (13.8), перепишем выражение (13.11) в виде*)
  Т = у (<*хКх + G>у/Су + (йгКг) =
  = 4"(/ со; + / со2 + / со2-2/ со © -2/ © ю - 2/ © со V (13.12)
  2 \ х * У У zwz ху х у xzwx г уг у г)и \ *"•**'/
  Если оси координат х, у и z совпадают с главными осями инерции, то 1Ху = Ixz = Iyz = 0 и
  г~т(/«®2 + 'Л; + ',»1)- (13.13)
  При вращении тела вокруг неподвижной оси, например, оси 2, имеем
  сох = ©у == О л, следовательно,
  T = ^l^l = jlz?- (13.14)
  Примечание. Из формулы (13.12) следует, что
  -jfo- = lx<*x — 1ху®у — ^хг©2 = КХу
  ~^~ = ~ 1ху®Х + 'Л ~ ^Z^* = ^yi
  "5^" = ~~ lxz®x ~ ^г°>0 + /гС0г = /Сг,
  (13.15)
  т. е. частная производная от кинетической энергии твердого тела, имеющего неподвижную точку, по проекции угловой скорости на какую-либо ось равна моменту количеств движения тела относительно этой оси.
  § 13.3. Поступательное движение твердого тела
  Рассмотрим сначала решение первой задачи динамики. Пусть тело движется поступательно и координаты центра масс тела являются известными функциями времени. Это значит, что относительно поступательно движущейся системы координат Cx2y2Z2
  *) Формулу (13.12) можно получить и другим путем. Представив выражение для кинетической энергии в виде
  Г~1 J (о*+ „?, + «$ An
  « подставляя сюда выражения для vx, vv и vz из (13.7), получим формулу (13.12).
  263
------------ page 264 --------------
  тело находится в покое. Следовательно, угловая скорость и момент количеств движения тела относительно центра масс равны нулю и в соответствии с (13.2)
  Мес = 0.
  Таким образом, для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен нулю.
  Отметим, что условие Мс = 0 не является достаточным для поступательного движения тела, так как при этом тело может совершать движение относительно центра масс. Характер этого движения будет рассмотрен подробно в главе XIV.
  Легко показать (мы не будем останавливаться на этом), что если главный момент всех внешних сил относительно центра масс и начальная угловая скорость тела равны нулю, то тело будет двигаться поступательно (необходимое и достаточное условие поступательного движения).
  Так как координаты центра масс (*ic, #ic> Zic) являются известными функциями времени, то, вычисляя вторые производные {х1Су ylc, zic) и используя соотношения (13.1), получим проекции главного вектора всех внешних сил (F*„ Feyi, Fez).
  При решении второй задачи динамики, если заданы FeXx, Feyx и Fe2i> соотношения (13.1) будут представлять собой уже дифференциальные уравнения движения, и решение их при определенных начальных условиях определит движение центра масс.
  Если заранее известно, что тело движется поступательно, то на уравнения (13.1) можно смотреть как на дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.
  § 13.4. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
  вокруг неподвижной оси и уравнения для определения
  реакций подшипников
  Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, является примером несвободного твердого тела. Следовательно, при изучении его движения необходимо применить принцип освобождаемое™, т. е. действие связей (в данном случае подшипников) следует заменить реакциями этих связей и рассматривать твердое тело как свободное.
  Введем две системы координат с началом в какой-либо точке О оси вращения (рис. 13.2): одну неподвижную Ox\yxzu где ось z совпадает с осью вращения тела, и подвижную систему Oxyzy жестко связанную с твердым телом (ось z совпадает с осью вращения тела). Положение тела будем определять углом ф между плоскостями X\Oz\ и xOz.
  264
------------ page 265 --------------
  Отметим, что направления реакций подшипников заранее не известны. Пусть ХА, YA, ZA — проекции реакции RA; ХВу YBt ZB— проекции реакции RB на оси подвижной системы координат Oxyz; тогда можно записать
  RA^XAi + YA1 + ZAk9
  (13.16)
  где i, /, к — единичные векторы осей Oxyz.
  Для нахождения закона движения тела и реакций подшипников воспользуемся теоремами об изменении количества движения и момента количеств движения системы
  dQ_
  dt
  -1* + Л. + Л
  в>
  (13.17)
  ^2. = Ме0 + М0 (На) + М0 (Rb).
  (13.18)
  Чтобы получить уравнения для определения движения и реакций подшипников, необходимо векторные уравнения (13.17) и (13.18) записать в проекциях на оси координат.
  Так как координаты центра масс хСу Ус и центробежные моменты инерции Ixz и 1уг в подвижной си- Рис. 13.2.
  стеме координат будут постоянными, то векторные уравнения (13.17) и 13.18) целесообразнее проектировать на оси подвижной системы координат.
  Итак, определяем векторы Q и Ко в подвижной системе координат
  Q = Qxi + Qyj + Qzk, (13.19)
  Ко = Kxl + Kyi + Kzk. (13.20)
  Из курса кинематики известно, что если какой-либо вектор а задан в подвижной системе координат, то абсолютная производная от этого вектора
  da da , ^ v
  (13.21)
  где da
  а) —угловая скорость подвижной системы координат;
  dax
  da и
  daz
  — = -7т- I + —~- j + ~тг k — относительная производная.
  dt
  dt
  dt
  265
------------ page 266 --------------
  Поскольку векторы Q и Ко определены в подвижной системе координат, то согласно формуле (13.21) имеем
  dKn dKn ,
  (13.22)
  где со — угловая скорость твердого тела (система Oxyz с ним жестко связана), причем
  dQ _ dQA
  ~df^
  dt ^"ЗГ'-
  ак,
  dKv
  dKu
  dQz dt
  *,
  i 4- y i -J- z b dt dt l^ dt '^ dt Kt
  (13.23)
  Уравнения (13.17) и (13.18) с учетом (13.22) принимают
  вид
  Щ- + ъХЯ = Г + ПА + *в,
  dt
  ?5
  dt
  f- + со X Ко = Aft + Mo (Ял) + Mo (*в).
  (13.24)
  Пусть координаты подшипников Л и 5 соответственно будут О, 0, zA и 0, 0, 2я (на рис. 13.2 приведен случай, когда zA = — а, zB = b); тогда
  Моменты реакций подшипников определяются по формулам
  i j k
  M0(RA) = rAxRA = M0(RB) = rBxRB =
  О 0 zA
  %А Y A %А
  i j k
  О 0 zB
  хв ув zB
  откуда
  Mx(Ra)=-*aYa> My(RA) = zAXAi Mz(RA)=09 Mx{*b)=-*bYb. My(RB) = zBXB, Mz(Rb)
  = o. 1 <13-:
  25)
  Учитывая, что с> = ф&, а также соотношения (13.19), (13.20) и (13.25), запишем уравнения (13.17) и (13.18) в проекциях на
  2bb
------------ page 267 --------------
  оси подвижной системы координат:
  dt
  dQy dt
  
  dKx dt
  dKy
  dt
  
  — фЧГу = ^tAxt Лд,
  + №y-*K + YA + YB9
  0 = Fl + ZA + ZB,
  - q>Ky = Mex- zAYA - zBYB>
  + <$Kx = Mey + zAXA + zBXBt
  -***-« Af!_
  ry + YA + YB,
  (13.26)
  dt "*z- В соответствии с (13.5) и (13.10), получим:
  Мхсф — Мусу2
  0 = Fl + ZA + ZBy
  - /**Ф + /^ф2 = Мех — zAYа - 23Y3,
  - /угф ~ /хгф2 = Меу + ZAXA + ZBXBy
  iz<i> = Mez.
  Последнее уравнение системы (13.26) реакций не содержит и было уже получено раньше (§ 9.5). Оно позволяет по заданному закону вращения тела (р(/) определить момент главного вектора внешних сил Ml относительно оси z или по заданному моменту Ml при заданных начальных условиях определить закон движения тела.
  Первые пять уравнений служат для определения реакций. Продольные реакции ZA и ZB входят только в третье уравнение и от характера движения не зависят, т. е. будут такими же, как и при неподвижном теле. Мы можем определить только их •сумму. Если предположить, что продольная реакция в подшипнике В равна нулю, то реакция ZA = — Fez.
  § 13.5. Добавочные динамические реакции. Статическая и динамическая уравновешенность тела
  Поперечные составляющие реакций, определяемые из первого, второго, четвертого и пятого уравнений (13.26), обусловливаются как приложенными к телу силами, так и характером движения тела. Представим полные реакции как суммы статических реакций, обусловленных приложенными к телу силами,
  267
------------ page 268 --------------
  и добавочных динамических реакций, обусловленных как характером движения тела, так и характером распределения его массы.
  Обозначая через Хса, Хсвт, Yca, Ycb — статические реакции, а через Х\у Ya, Х%, Y% — добавочные динамические реакции, будем иметь
  Ха = Хл+Ха9 Хв = Хсв Л Х'Ъ, | л 3 271
  Га=Ул+Ула, Yb-YV+П. J { ' '"
  Статические реакции определяются из таких уравнений:
  O-Fl + Y'j + YS,
  0 = Mex-zAYAr-zBYB\
  0 = Mey + zAXAT + zBX%\
  (13.28)
  Следовательно, уравнения для определения добавочных динамических реакций получаются из уравнений (13.26), если учесть (13.17) и (13.28):
  Mycii-Mxctf = X* + X%, Mxcv-Myctf-Y*A + Y%,
  — /jcz<P + /угф" = — ZaYa — ZbYb,
  — Iyz(p — 1хгф = zaX'a + zbXb.
  (13.29)
  Найдем теперь условия, при которых добавочные динамические реакции равны нулю.
  Если при вращении твердого тела добавочные динамические реакции равны нулю (Х;\ = Ya = Хв = Y% = О), то уравнения (13.30) принимают следующий вид:
  *сФ - Ус? = 0» ) *сФ2 + УсФ = 0,
  (13.30)
  Эти однородные линейные алгебраические уравнения относительно хСу Ус, /jcz, /j/2 распадаются на две независимые системы. с одинаковым определителем
  Ф Ф2
  ф- Ф
  = ф- + ф4
  268
------------ page 269 --------------
  Так как этот определитель не равен нулю (для вращающегося гела угловая скорость ф и угловое ускорение ф не обращается в нуль одновременно), то уравнения (13.30) имеют единственное решение
  *с = #с = 0, /„-/„-0. (13.31)
  Непосредственными вычислениями легко проверить, что при выполнении этих условий добавочные динамические реакции Ха, Ya, Xb, Y% будут равны нулю.
  Остановимся на условиях (13.31) несколько подробнее. Условие хс = 0, ус = 0 означает, что центр масс тела находится на оси вращения. Если оно выполнено, то говорят, что тело статически уравновешенно. Как видно из приведенного анализа, для уничтожения динамических реакций одной статической уравновешенности тела недостаточно. Необходимо, кроме того, чтобы центробежные моменты инерции относительно оси вращения равнялись нулю (Ixz = 0, !yz = 0). Таким образом, для того чтобы при вращении тела вокруг неподвижной оси не возникали добавочные динамические реакции, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения была главной центральной осью инерции.
  Как будет показано в следующем параграфе, динамические реакции иногда во много раз превосходят статические реакции. Поэтому во всех случаях, когда это возможно, стремятся уменьшить или полностью уничтожить их. В особо важных случаях это достигается специальной балансировкой.
  § 13.6. Задачи
  Задача 69. Центр тяжести махового колеса, вес которого Р — 3000 кГ, находится на расстоянии 1 мм от горизонталык,": оси вала; расстояния подшипников от колеса равны между собой. Найти реакции подшипников, если вал вращается равномерно, делая п = 1200 об/мин. Маховик имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к оси вращения.
  Возьмем начало координат в точке О пересечения оси вращения с маховиком. Ось л подвижной системы координат направим по прямой, проходящей через точку С. Оси г и Z) направим по оси вращения (рис. 13.3). Очевидно, что при таком выборе подвижной системы координат хс = —1 мм, Рис. 13.3 Ус =0.
  Так как маховик имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к оси вращения, то центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. 1хг = 0,
  1уг = 0.
  Для рассматриваемой задачи
  .. . яп я-1200 ._
  Ф-0. Ф--35- —go--40я <"*'
  269
------------ page 270 --------------
  Поскольку маховик находится в середине между подшипниками, то
  /
  /
  гА ~" 2 f г* ~~ 2 '
  где / — расстояние между подшипниками. Статические реакции равны:
  ХХА -у - - 1500 кГ, Х]В = - -у - - 1500 кГ.
  Для определения добавочных динамических реакций воспользуемся уравнениями (13.29). Для данной задачи они имеют следующий вид:
  O-Vj + yJ,
  Решая эти уравнения, получим
  - 2400 лЛ
  r A
  .Kg-0.
  Таким образом, добавочные динамические реакции в 1,6 раза превосходят статические; направления их линий действия вращаются вместе с маховиком,
  оставаясь все время параллельными линии ОС.
  Задача 70. Вычислить добавочные динамические реакции в подшипниках А и В при вращении вокруг оси А В однородного тонкого кругового диска CD, предполагая, что ось АВ (рис. 13.4) проходит через центр диска, но вследствие неправильного рассверливания втулка составляет с перпендикуляром к плоскости диска угол Z ЛО?= = а = 0,02 рад. Дано: вес диска Р = 3,27 кГ, радиус его г = 20 см, число оборотов п = = 30 000 об/мин, расстояния АО = 50 см, О В = 30 см. Ось А В считать абсолютно твердой и положить sin 2а = 2а. Начало подвижной системы координат Oxyz, жестко связанной с диском, выберем в центре диска О (см. рис. 13.4). Из условий задачи следует:
  Рис. 13.4.
  хс = 0.
  Уг = 0'
  zA = — а = — 50 см,
  гв = Ъ = 30 см.
  Статические реакции равны 1,23 кГ и 2,04 кГ.
  Момент инерции /г диска и его центробежные моменты lxt и /уг были получены в задаче 66 § 12.10. По формулам (12.30) и (12.31) для нашего случая (е = 6 = 0) найдем
  /2 «, JL Mr2 cos2 a + ^Mr2 sin2 a, 2 4
  lxz = _- Mr2 sin 2а,
  /,*-o.
  Так как угол а мал, то, ограничиваясь членами первого порядка малости относительно а, получим
  /* = 7гМг2, 1лг = ~МгЧ, 1
  уг-
  270
------------ page 271 --------------
  Имеем далее: п = 30 000 об/мин,
  ф — -яг- в 1000л сек""1. Уравнения (13.29) примут вид (ф = const и ф =* 0):
  0-** + **, о«
  1
  п+у**
  откуда получим
  0 « aY\ - bY%% - ~ Мг2аф2 « - аХ\ + ЬХ*, Мг2ад>2
  у-д уд .
  Лл~ Лв- 4(а + 6) '
  д д_ /Уаяг-10«
  Л= s 4g(a + 6)
  rws-
  820 жГ.
  Реакции опор свелись к паре сил; модуль каждой реакции в 250 раз превосходит вес самого диска и в 400 раз максимальную статическую реакцию.
  Задача 71. С какой угловой скоростью должна равномерно вращаться вокруг катета АВ *= I однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямоугольного треугольника ABD, чтобы полное боковое давление на нижнюю опору равнялось нулю? Расстояние между опорами считать равным длине катета АВ
  Начало подвижной системы координат возьмем в точке В. Ось z направим по вертикали вверх, а ось у проведем в плоскости пластинки. Следовательно, в этом случае 2 А ¦= — /, гв « 0.
  Из рис. 13.5 следует, что хс — 0, у с — = а/3. Найдем сначала поперечные статические реакции. Уравнения для их определения имеют вид
  Jtf + JT?-0.
  VCT _|_ V"CT
  Y A + Y В '
  ¦0,
  Рис. 13.5.
  К^-Р^-О, -Л^т/«0,
  где Р — вес пластинки.
  Из этих уравнений следует
  уст = yct — n vCT vCT —-
  ЛА ЛВ ""' Y A ГВ-^р
  Так как по условию задачи ф = 0, то уравнения (13.29) запишутся следующим образом:
  0-Х*А + Х%, --g-ф'-ка + К*. 1,г9*-1Г% -1хг<?*--1Х%
  Центробежные моменты инерции были найдены в задаче 68 § 12.10. При равных катетах и выбранном направлении осей из формулы (12.36) найдем
  /*,--
  Ml2 12
  PI2 12*
  Поскольку Ixz^O* T0 будем иметь
  *a-*s-°-
  271
------------ page 272 --------------
  Реакции Y\ и У? определяются из уравнений
  XL
  3g - 'л ' ' в» {2g
  Pl А2 уд , уд ^2 -2 ,уД
  откуда
  y.i
  Ya~ 12*
  Pl .2
  уД « _ ЗР/ <ь2 в 12tf ф
  В задаче требуется определить угловую скорость ф, при которой полная реакция
  ф2 = 0.
  Эту угловую скорость найдем из соотношения
  Р Р1 3 12*
  откуда
  ф-2/f
  Задача 72. Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы KF длиной L, противовеса D и груза Е (рис. 13.6). При включении постоянного по модулю тормозящего момента кран, вращавшийся до этого с угловой скоростью п = 1,5 об/мин, останавливается через две секунды. Считая стрелу KF крана однородной тонкой балкой, а противовес D и груз Е точечными массами, определить динамические реакции опор А и В крана в конце
  его торможения. Длина стрелы L = 30 лс, расстояние между опорами крана Н = 3 м, длина свисающей части троса / = 18 м, вес стрелы G = 8 т, вес груза Р = 10 т, угол а = 45°; центр тяжести всей системы находится на оси вращения крана (предполагается, что груз Е находится все время в плоскости крана).
  Начало подвижной системы координат возьмем в опоре Л, ось z направим по оси вращения вертикально вверх, ось у проведем в плоскости крана. Тогда а = 0, Ь =-- Ы.
  По условию центр тяжести всей системы лежит на оси вращения. Поэтому
  Рис. 13.6.
  = 0,
  ус«0.
  Так как система плоская, то 1хг = 0. Кроме того, в конце вращения крана ф = 0.
  Добавочные динамические реакции опор вращающегося крана найдем из уравнений (13.29), которые в нашем случае примут вид
  o-x-j + .vj.
  0-Y*A + Y%, 0--HYI.
  ¦IV?-HX%.
  Отсюда находим
  уЛ уД _
  ЛА" АВ~
  И
  KJ-KJ-0.
  272
------------ page 273 --------------
  Угловая скорость вращения крана в начале торможения была
  Ф = -30-=20СгК •
  При постоянном по модулю тормозящем моменте <р = const. Так как время торможения / « 2 сек, то
  ф тс _>
  Центробежный момент инерции 1уг для рассматриваемой системы был найден в задаче 67 § 12.10. Для статически уравновешенного крана имеем [см. формулу (12.34)]:
  , L sin а Г GL , п .. .А
  lyz = —«- cos а 4- Р (L cos а — /) .
  Подставляя числовое значение величин, входящих в полученные формулы, найдем
  lyz = 192 тмсек2, ХАА - - Х% = - 5,0 т.
  Таким обпазом, в конце торможения добавочные динамические реакции опор вращающегося крана образуют пару сил, лежащую в плоскости, перпендикулярной ft плоскости крана. В менее благоприятных условиях (например, при меньшем времени торможения, или меньшей длине / свисающего троса) добавочные динамические давления резко возрастают.
  § 13.7. Физический маятник
  Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести. Рассмотрим случай, когда ось вращения горизонтальна. Проведем через центр тяжести С тела плоскость, перпендикулярную к оси вращения. Точка пересечения О этой плоскости с осью вращения называется точкой подвеса. Примем эту точку за начало координат. Ось z направим по оси вращения, оси х и у расположим в плоскости, проходящей через центр тяжести и точку подвеса, перпендикулярно к оси вращения (рис. 13.7). Дифференциальное х7\ уравнение вращения тела вокруг оси z согласно § 9.5 запишется следующим образом:
  /гФ~ЛР2,
  где ср — угол между неподвижной осью хх и линией ОС (рис. 13.7).
  Так как в этом случае
  Мег = — Mga sin ф,
  где .И — масса тела, а — расстояние от точки до центра тяжести (а = ОС), то дифференциальное уравнение движения тела
  273
------------ page 274 --------------
  примет вид
  /гф= — Mga sin ф
  или
  .. , Mga . г,
  фН f— 81Пф = 0.
  * г
  Рассмотрим случай малых колебаний, для которых можно принять БШф^ф. Тогда уравнение движения можно записать в следующей форме:
  Ф + ^-ф-0, (13.32)
  'г
  а его общее решение имеет вид
  ф-Л81п(|/^<+в).
  Отсюда следует, что угол ф изменяется по гармоническому закону с периодом колебаний, равным
  г = 2я/5г- (13-33>
  Сравнивая дифференциальное уравнение движения математического маятника
  qp + -^sinq> = 0 (13.34)
  с уравнением движения физического маятника, можно утверждать, что математический маятник, имеющий длину
  l = lt> 03.35>
  будет двигаться так же, как и физический маятник.
  Величина /, определяемая формулой (13.35), называется приведенной длиной физического маятника.
  Представляя по теореме Гюйгенса — Штейнера (§ 12.4) момент инерции тела относительно оси г в виде
  Iz = Ic + Ma\
  где /с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно оси г, получим для приведенной длины физического маятника выражение
  z-7ta+e- (13*36>
  Откладывая эту величину от точки подвеса в направлении центра тяжести, получим точку 0\ (см. рис. 13.7), которая называется центром качания. Расстояние от центра тяжести до центра качания равно
  «1 = Ж- 03.37)
  274
------------ page 275 --------------
  Покажем, что точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности (теорема Гюйгенса).
  Пусть ось вращения проходит через центр качания; тогда для новой приведенной длины согласно формуле (13.36) получим
  К
  U =
  Мах
  + а,.
  На основании равенства (13.37) имеем
  а ¦
  следовательно,
  Мах » /j = а + a{ ==/.
  Таким образом, если старый центр качания сделать новой точкой подвеса, то старая точка подвеса станет новым центром качания, что и доказывает свойство взаимности.
  § 13.8. Экспериментальное определение моментов инерции
  Рассмотрим два способа экспериментального определения момента инерции неоднородных твердых тел или тел сложной конфигурации: способ качания с использованием теории физического маятника и способ крутильных колебаний.
  Способ качания проиллюстрируем на следующем примере. Пусть требуется найти момент инерции шатуна относительно оси, проходящей через центр тяжести С шатуна параллельно •осям его проушин. Для определения момента инерции шатуна относительно оси, проходящей через точку А параллельно оси проушины, шатун подвешивают на
  призму А (рис. 13.8, а) и, отклонив его на малый угол от положения равновесия, измеряют период колебания шатуна. Зная период колебания, по формуле (13.33) определяют момент инерции шатуна относительно оси качания
  QaT*
  Рис. 13.8.
  и=-
  4я2
  кде а — расстояние центра тяжести шатуна от оси качания, Q вес шатуна.
  275
------------ page 276 --------------
  Затем по теореме Гюйгенса — Штейнера вычисляют момент инерции относительно центральной оси
  Qa
  • IА а- -
  А 8 8
  («—)•
  (13.38)
  Для определения величины а шатун подвешивают на нити в точке В и определяют реакцию R давления шатуна на штырь
  динамометра D (см. рис. 13.8,6). Затем из формулы
  Rl-Q(a-r) = Oy
  где г — радиус проушины, находят величину
  а Q '
  Подставив значения а в формулу (13.38), вычисляют /с.
  В рассмотренной схеме эксперимента наибольшую ошибку дает определение величины а, поэтому применяют иную схему эксперимента. Если требуется найти момент инерции тела относительно произвольной оси (рис. 13.9), то способом качания сначала определяют период колебаний тела относительно оси, на которую жестко насажены два цилиндра, с известными моментами инерции. Затем определяют период колебаний исследуемого тела относительно той же оси без цилиндров. Тогда, если период колебания тела совместно с цилиндрами равен
  Рис 13.9.
  /1п + 2/' Mga *
  а период колебаний тела без цилиндров
  "77"
  Т - 2л у
  Mga *
  ю, исключив величину а, получим
  1п =
  ЩТ1
  •7v2 ^_ у2
  где Г() — момент инерции цилиндра относительно его оси.
  Рассмотрим теперь способ крутильных колебаний.
  При определении момента инерции тела способом крутильных колебаний тело подвешивают на упругом стержне, или струне, так чтобы центр масс тела лежал на продолжении оси
  276
------------ page 277 --------------
  стержня (рис. 13.10). Закрутив стержень, жестко связанный с телом, на малый угол <р, измеряют период колебания системы. Так как при малом угле закручивания момент упругих сил пропорционален углу закручивания, то дифференциальное уравнение крутильных колебаний системы имеет вид
  где к— постоянный коэффициент, характеризующий упругие свойства стержня (струны).
  Период колебаний, очевидно, будет равен
  SSS/S.
  ¦-«./?•
  (13.39)
  ^^2
  Рис. 13.10
  Затем на тот же стержень подвешивают тело (например, диск), момент инерции которого относительно оси ОС известен и равен 1'с. и измеряют период колебаний V в этом случае. Этот период колебаний определяется формулой,, аналогичной формуле (13.39),
  Г
  -2., /4-
  (13.40)
  Исключая из равенств (13.39) и (13.40) неизвестный коэффициент &, получим формулу для определения момента инерции
  / =r(-Y
  § 13.9. Плоское движение абсолютно твердого тела
  Свободное твердое тело будет совершать плоское движение, если в нем существует плоское сечение, относительно которого масса тела распределена симметрично; силы, действующие на тело, расположены в плоскости этого сечения, а начальные скорости всех точек тела расположены в плоскостях, параллельных плоскости сечения. Движение тела может быть плоским также и в силу наложенных на него связей, но это уже будет несвободное движение.
  В кинематике было установлено, что положение твердого тела, совершающего плоское движение, определяется тремя параметрами. За эти параметры выберем координаты центра масс тела и угол поворота тела относительно оси, перпендикулярной к рассматриваемому плоскому сечению тела.
  Пусть система координат C.v2//2, имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно относительно неподвижной
  2/1
------------ page 278 --------------
  системы координат Охх\у\. Положение тела будет полностью определено, если известны координаты центра масс тела (*ic, Ухе) и угол ф между осью Хг и осью х системы координат Сху, жестко связанной с телом и имеющей начало в центре масс тела (рис. 13.11).
  В соответствии с теоремой о движении центра масс из уравнений (13.1) получаем зависимости, связывающие координаты
  центра масс тела и проекции главно-
  Л
  Mw
  го вектора всех внешних сил (FeXl1Feyi), приложенных к твердому телу,
  Мх My
  1С
  1С
  (13.41)
  О,
  Рис. 13.11.
  <Z>
  где М — масса тела.
  Используя теперь теорему об изменении момента количеств движения в относительном движении (13.2), получим зависимость между углом ф поворота тела и силами, действующими на тело.
  Так как в системе координат Сх2у2 твердое тело совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения тела, то момент количеств движения тела относительно этой оси в соответствии с равенством (13.10) будет равен Кс = /сФ- Следовательно, на основании теоремы (§ 9.7) имеем
  /сф = М*,
  (13.42)
  где /с — момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения тела и проходящей через центр масс тела, а Мес — главный момент всех внешних сил относительно той же самой оси. Уравнения (13.41) и (13.42) позволяют решать задачи динамики плоского движения твердого тела.
  Если движение твердого тела задано, т. е. координаты центра масс Х\С, У\с и угол ф являются известными функциями времени, то в результате подстановки вторых производных от этих функций (х\с, УхсЛ) в уравнения (13.41) и (13.42) находятся силы, под действием которых происходит движение тела.
  Если же заданы силы, т. е. известны Т7^, Fe и Мес, то уравнения (13.41) и (13.42)
  /сф = М-, j
  (13.43)
  278
------------ page 279 --------------
  будут представлять уже систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих плоское движение твердого тела*). После решения этих уравнений и определения постоянных интегрирования получим закон плоского движения свободного твердого тела
  *ice*ic(0. У\с = У\с(*)> Ф = ф(0.
  Если тело совершает несвободное движение, то в число действующих сил следует включить реакции связей. Уравнения движения тела в этом случае будут:
  
  (13.44)
  где RX} и Ry, — суммы проекций всех реакций соответственно на оси Х\ и у\у а Мс — сумма моментов всех реакций относительно центра масс. В этих уравнениях F% Т7*, и Мс относятся к внешним активным силам. К уравнениям (13.44) следует еще добавить уравнения связи.
  Заметим, что иногда вместо одного из дифференциальных уравнений (13.44) бывает целесообразно применить теорему об изменении кинетической энергии.
  § 13.10. Задачи
  Задача 73. Однородный стержень длины 2/ и массы Л! за один из своих концов подвешен на нити длины а, массой которой можно пренебречь, к неподвижной точке О. Стержень вместе с нитью отклонили влево от вертикали на угол а и отпустили без начальной скорости (рис. 13.12). В момент, когда стержень, прондя положение равновесия, составляет с вертикалью угол р (Р < а) нить оборвалась. Определить закон движения стержня после обрыва нити.
  Найдем сначала угловую скорость стержня, координаты и проекции скорости центра масс стержня на неподвижные координатные оси Ох\у\ в момент обрыва нити. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии имеем
  -Цг— в Щ (а + /) (cos P - cos a).
  где
  10-1с + М(а + 1У ('С"^Р\
  момент инерции стержня относительно точки О, 1С — момент инерции стержня относительно его центра масс.
  *) Если траектория центра масс задана, то вместо первых двух уравнений системы (13.43) иногда целесообразно взять уравнения в проекциях на касательную и нормаль к траектории центра масс.
  279
------------ page 280 --------------
  Следовательно, угловая скорость стержня в момент обрыва нити равна
  со~ф=* "1/
  2Mg (а 4- /) (cos р — cos a) 1с + М(а + 1)*
  Координаты центра масс стержня в момент обрыва нити будут
  Х\С *= (а + О C0S Р- У\с = (fl + 0 sin p.
  -а проекции его скорости на оси координат
  *1С= — (а + /) cosin р, //1С = (а+ /) cocosp.
  Угол между стержнем и осью х\ в момент обрыва равен ф = р.
  Дифференциальные уравнения движения стержня после обрыва нити имеют вид (единственная внешняя сила — сила тяжести Mg—приложена
  в точке С)
  Мх1С = Mg. Му1С - 0, /сф = О,
  и, следовательно, общее решение этих уравнений будет
  *1С
  *.с =
  
  -gt + cv
  gi2 2
  
  0ic-
  + CJ + C,.
  1 4
  ф =
  Ч + с
  с,
  У 1С
  5-
  Ф = с3.
  = c2t +1
  
  Произвольные постоянные интегрирования определим из начальных условий: при / = О
  Х\С = (а + О C0S Р- Уic в (в + О sin p, *,с = — (а + /) со sin p. f/,c = (a + /)cocosp, Ф = р, ф = со. Значения произвольных постоянных будут
  Сх = - (а + /) со sin р, С2 = (а + /) со cos p, С3 = со, СА = (а + I) cos p. C5 = (a +1) sin P, C6 = p.
  Подставив эти значения в общее решение, получим закон движения стержня после обрыва нити:
  at2 Х\С = ^j- - (а + 0 (со/ sin р - cos Р). у|С « (а + /) (со/ cos р + sin p).
  Ф = со/ + р.
  Задача 74. Конец 5 невесомого стержня АВ соединен шарнирно с непод* впжной опорой. К другому концу стержня прикреплен тяжелый однородный диск радиуса г. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение. Получив ничтожно малую скорость, стержень начинает вращаться вокруг шарнира.
  Определить угловую скорость диска и угол между вертикалью и стержнем в момент, когда составляющая реакции шарнира, направленная вдоль стержня, равна нулю.
  280
------------ page 281 --------------
  Центр масс диска движется по окружности радиуса / + г с центром в точке В, следовательно, уравнение движения центра масс диска в проекции на нормаль к его траектории будет иметь вид (рис. 13.13):
  -JV^ = Pcos* + Rn>
  где Р — вес диска, v — скорость центра масс, Rn — нормальная реакция, направленная от точки В вдоль стержня. Из этой формулы следует, что
  Rn =
  Pv2
  g(r + l)
  — Р cos ф.
  Для определения скорости v в любой момент времени воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
  Так как стержень вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей. через точку В, то
  {/Вф2 = ^(/тГ)(1-С08ф),
  где 1в — момент инерции диска относительно точки В, равный
  Следовательно,
  .2_ 2 (г+ /)/>(! -cos(p)
  1 в
  Принимая во внимание, что v2 = (/ + г)2ф2, имеем
  Отсюда
  #rt= —[4-(4 + /i)coscpl,
  Пусть в момент, когда Rn = 0, угол ср = а, тогда 4 — (4 4- п) cos а = 0.
  4
  cos а = -т-— , 4 + /i
  а угловая скорость в момент, когда /?„ = 0, будет
  Ф-2]/
  (4 + /*)(/ + гГ
  Задача 75. Однородный стержень длины / и веса Р одним концом укреплен при помощи идеального шарнира в точке Л, другой конец стержня удерживается нитью ВС, образующей со стержнем угол 90° (рис. 13.14). Стержень составляет с горизонтом угол а. Определить, насколько изменится давление балки на шарнир А в момент внезапного обрыва нити ВС.
  281
------------ page 282 --------------
  Для определения реакций в шарнире А и натяжения нити составим уравнения статики (рис. 9.14,а):
  Р1
  X?A-RBs\na-
  Y?A + RB cos a - Р - 0, - -к- cos а + RBl - 0.
  откуда
  КД--у(1+8ш2а), *ft—^- sin 2а. /?B«y-cosa.
  Если нить оборвется, то стержень начнет совершать вращательное движение вокруг шарнира А.
  Дифференциальные уравнения движения можно записать в виде *)
  ?-* -X
  g X\C Л\А'
  Р .. у
  Р.
  PL
  ^дФ^-^-СОБф.
  Из очевидных зависимостей
  xiC = Jcos(V' J'lC^T81"*
  найдем
  / ..
  х1С - - -j Ф sin ф - у ф2 cos ф, у,с « -
  / .. / .. .
  «= — ф COS ф — у ф2 Sin i
  Так как в момент разрыва нити ф = а, ф « 0, то
  / ..
  /
  "1С
  - - у ф sin a. yic =— ф cosa.
  (13.45)
  (13.46)
  Теперь из уравнений (13.45) с учетом выражений (13.46) для этого момента времени гсг>чим
  Г, = —т- sin 2a, Y. я = Р — cos2 a.
  \А 8 1Л 4
  Изменение реакций будет равно
  ^М-^М--8"81п2°
  Р ' " ^л-Пл = -тС0$2а-
  Задача 76. Однородное тело, имеющее форму полуцилиндра радиуса R, поставлено на горизонтальную шероховатую плоскость и выведено из состояния равновесия, после чего предоставлено самому себе. Определить период малых колебаний, которые будет совершать тело, если известно, что проскальзывать по плоскости оно не может. Трение качения отсутствует (рис. 13.15).
  Составим дифференциальные уравнения движения тела, учитывая, что на него действуют три внешние силы: сила тяжести Р, сила трения скольжения FT и нормальная составляющая реакции в точке касания N. Выбрав начало координат в точке О касания тела и плоскости в тот момент, когда тело находится в равновесном состоянии, и направив оси координат, как показано на рис. 13.15, получим на основании формул (13.43) следующие три
  *\ Здесь используется то обстоятельство, что точка А неподвижна.
  2Ь2
------------ page 283 --------------
  дифференциальных уравнения движения: AMIC--IV Му1С - - Mg + N, /сф «= FT (/? — a cos ф) — Wa sin ф.
  где 1с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр' масс С перпендикулярно к плоскости тела, а — расстояние DC.
  Исключая FT и N из третьего уравнения при помощи первого и второго, получим
  /СФ = — (/? — a cos ф) Мхс — a sin ф (Мхс + Mg). (13.47}
  Но так как диск перекатывается без скольжения, то
  х]С = #ф — a sin ф, у]С = R — acosq>.
  Ограничиваясь случаем малых колебаний (sin ф « ф, созф«1), находим
  x]C = (R-a)q>, y]C = R-at
  *1С = (/?-а)ф, у1С-0.
  Подставляя последние значения в уравнение (13.47), в котором также полагаем cos ф « 1 и sin ф « ф, получаем у7 \ /сф = — М (R — а)2 ф — Mgaq>
  или
  Mga п
  Ф+/с+(Я_а)2М<Р = °.
  Отсюда находим период малых колебаний диска
  Вычислим теперь величины а и /с.
  Величина а, определяющая положение центра тяжести однородного полудиска, была определена ранее (том I, гл. 8). Она равна
  4R
  Определим момент инерции полукруглого диска относительно оси, проходящей через точку D. Согласно определению момента инерции относительно оси он равен половине момента инерции круглого диска с массой 2Л/ относительно юй же оси. Так как последний равен MR2, то интересующий нас
  момент инерции ID =-^MR2. Воспользовавшись затем теоремой Гюйгенса-^
  Штейнера, имеем
  Следовательно,
  /с = /D - Ма2 « у MR2 - Ma2.
  Используя найденные значения а и /с, получим окончательное выражение периода малых колебаний полукруглого диска
  '—/4G4
  Заметим, что период Т не зависит от массы диска и определяется лишь его радиусом.
------------ page 284 --------------
  ГЛАВА XIV
  ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
  § 14.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
  Целью этого параграфа является установление зависимостей между параметрами, определяющими положение тела (например, углами Эйлера), и силами, приложенными к телу. Эти зависимости дадут возможность решать основные задачи динамики для тела, имеющего одну неподвижную точку.
  Для получения этих зависимостей воспользуемся теоремой об изменении момента количеств движения (§ 9.3)
  dKt
  dt
  1По>
  (14.1)
  где Ко — момент количеств движения тела относительно неподвижной точки О тела, Ме0 — главный момент всех внешних сил относительно той же точки. Пусть неподвижная система координат Ox\ij\Z\ имеет начало в закрепленном точке тела. Свяжем жестко с телом подвижную систему координат Oxyz с началом в той же точке О (рис. 14.1). При движении тела его моменты инерции и центробежные моменты инерции в неподвижной системе координат будут переменными величинами, так как тело при своем движении изменяет свое положение относительно осей этой системы. В подвижной же системе координат, жестко связанной с телом, моменты инерции и центробежные моменты инерции являются величинами постоянными.
  Учитывая это обстоятельство, будем считать вектор момента количеств движения тела Ко определенным в подвижной системе координат, жестко связанной с телом. Тогда в соответ-
  284
------------ page 285 --------------
  ствии с зависимостью (13.21) уравнение (14.1) можно записать в виде
  dt
  ¦ + » х к0 = м%,
  где
  «о <***
  <ft
  rf/
  1 + -чг1 +
  dK,
  dt
  (14.2)
  (14.3)
  а К*, Ку, /Сг — проекции вектора Ко на оси системы координат Oxyz, i, /, Л — единичные векторы осей х, */, 2, о> — угловая скорость тела.
  Имея в виду формулу (14.3), а также известное равенство
  <оХКо =
  i / k
  (0Х (0у С02
  КХ Ку KZ
  = i (<uyKz — ®zKy) + / (С02/Сл; — ©Х/Сг) +
  + k{®xKy-*yKx), (14.4)
  перепишем уравнение (14.2) в проекциях на оси подвижной системы координат
  dKz dt
  + Wy-"uK*)-M'*
  (14.5)
  где (o.t, о)у и coz — проекции угловой скорости тела на оси подвижной системы координат Мех, Меу и Мег — главные моменты всех внешних сил относительно тех же осей (см. § 9.9).
  Если подвижную систему координат Oxyz выбрать таким образом, чтобы координатные оси ху у и z были главными осями инерции для точки О, то все центробежные моменты инерции будут равны нулю, и согласно (13.9)
  КХ = Лс®*» Ку = lytoyj KZ — Iz®Z-
  Уравнения (14.5) примут следующий вид:
  (14.6)
  da*
  х dt da,,
  у dt da)
  
  '."w+V,-и*.».-**-
  (H.7)
  285
------------ page 286 --------------
  Уравнения (14.7) называются динамическими уравнениями Эйлера. Присоединяя к ним кинематические уравнения Эйлера (том I, § 14.2)
  <ох = Ф sin 6 sin ф + 6 cos ф, фу = -ф sin 0 cos ф — б sin ф, <ог = ф cos 6 + ф,
  (14.8)
  получаем полную систему уравнений, необходимую для решения задач динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.
  Если задается закон движения тела, т. е. задаются утлы Эйлера как функции времени, то уравнения (14.7) и (14.8) позволяют определить силы, под действием которых происходит заданное движение.
  Если же задаются действующие на тело силы, т. е. можно считать известными проекции главного момента всех внешних сил Мех, МеуУ Мег> то уравнения (14.7) и (14.8) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений первого порядка для определения углов Эйлера как функций времени.
  Иногда при решении конкретных задач бывает выгодно вводить подвижную систему координат, не связанную жестко с телом. Пусть такая система координат Охчуч^ имеет также начало в неподвижной точке тела. В этой системе координат уравнения (14.5) запишутся в виде
  UK*
  dt dKx
  + (»^-»**J-*i.
  5Г+КЛ,-^Л2) = ^>
  dK?
  dt
  ¦KA,^A) = ^
  (14.9)
  где (uX2, (o^2, co2, — проекции угловой скорости подвижной системы координат на собственные оси.
  Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляет значительные математические трудности. Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи, а именно, случай вращения динамически симметричного тела вокруг неподвижной точки по инерции (случай Эйлера) и случай движения под действием силы тяжести, когда тело имеет относительно неподвижной точки ось динамической симметрии, а центр тяжести лежит на этой оси (случай Лагранжа).
  286
------------ page 287 --------------
  § 14.2. Движение твердого симметричного тела, имеющего одну неподвижную точку, по инерции (случай Эйлера)
  В этом параграфе будет рассмотрен наиболее простой случай движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, а именно, случай движения по инерции.
  Если главный момент всех сил, приложенных к твердому телу, относительно неподвижной точки тела равен нулю, т. е. М* =0 (Мех = Меу = Mez = 0), то динамические уравнения Эйлера (14.7) примут вид
  Iy-ar+Vx-lz)<ux<*z = 0,
  lz -jf- + {Iy - Ix) (Оу(дх = 0.
  (14.10)
  Умножая первое из этих уравнений на [хых, второе — на /у(оу, третье —на /2со2 и складывая затем уравнения между собой, получим
  d®Y d<au n d(u-
  или
  отсюда
  * * (ptf + /2©2 + /2ю2) = 0;
  2 dt \ хх ' у и z z) *
  Это уравнение представляет собой первый интеграл уравнений движения (14.10) и означает, что модуль момента количеств движения сохраняет постоянную величину во все время движения. Конечно, этот интеграл можно получить и непосредственно из теоремы об изменении момента количеств движения. Так как Ме = 0, то
  #-«
  и, следовательно, Ко = const. Учитывая равенства (10.8) Кх — Лс0>х> Ку = /yCOy, Kz = /г0)2, найдем
  Умножая теперь уравнения (14.10) соответственно на сох, о)у и о)2 и проделывая аналогичные выкладки, получим еще один первый интеграл.
  'X + 7Х + К<*1 = 2Л = const,
  хх У У <с «6
  где h — постоянная энергии.
  267
------------ page 288 --------------
  Механический смысл этого интеграла состоит в том, что кинетическая энергия тела во все время движения остается постоянной величиной. Найденный первый интеграл можно также получить из закона сохранения полной механической энергии Т + П = h (П = 0, так как тело движется по инерции).
  Определение углов Эйлера даже в этом простом случае является довольно сложной математической задачей. Поэтому обратимся к частному случаю, когда
  т. е. рассмотрим тело, у которого ось z представляет собой ось динамической симметрии.
  Уравнения (14.10) при этом будут:
  -^ + Uz - 1У) <оущ = 0,
  I*
  dt dm и
  ly ~7f Ь (/* - h) <0*(D2 = 0,
  lv dt
  d(dz dt
  = 0.
  (14.12)
  Из третьего уравнения следует, что
  <°z = <uz-) = const. (14.13)
  Имея в виду, что момент количеств движения Ко твердого
  тела имеет постоянный модуль и направление, неподвижную
  ось Z\ направим по вектору Ко (рис. 14.2). При таком выборе
  направления оси Z\ проекции вектора Ко на оси подвижной системы координат Oxyz будут равны
  Кх =/Со sin 9 sin cp, \
  Ку = Ко sin 6 cos ф, \ (14.14)
  /Сг =/Со cos 0. J С другой стороны,
  Кх = 1х®х> I
  Ку = 1у<»у> \ (14.15)
  Kz = Iz<*z- )
  Сравнивая выражения для К2 в формулах (14.14) и (14.15) и учитывая равенство (14.13), найдем
  К0 cos 0 = /г(о20, откуда
  ХГ = const-
  Рис. 14.2.
  COS 0 = COS 0О =
  288
------------ page 289 --------------
  Таким образом, угол нутации 8 является постоянной величиной
  е = 90. (14.16)
  Кинематические уравнения Эйлера (14.8) теперь принимают вид
  <о* = i|?sine0sin<p, ]
  <o1/ = ij)sin босоэф, | (14.17)
  со20 = Ф cos 90 + ф. J Из соотношений (14.14) и (14.15) находим
  Ко sin 0 sin ф = 1х(ьх, Ко sin 0 cos ф = 1Х&У или, учтя формулы (14.16) и (14.17),
  Ко sin 0О sin ф = /хф sin 0O sin ф, Ко sin 0O cos ф = Ixty sin 0O cos ф.
  Отсюда и
  Таким образом,
  -°. = п = const. (14.18)
  ф « nt + ф0,
  где ф0 — значение угла ф в момент времени t — 0. Из третьей формулы уравнений (14.17) имеем
  ф = (ог3 — /2COS0o = Ai! = const (14.19)
  и, следовательно,
  Ф = nxt + ф0,
  где фо — начальное значение угла ф.
  Итак, решением дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, в рассматриваемом случае будет
  0 = 0О, 1
  ф = лг + ф0, [ (14.20)
  ф = /1,* + ф0. '
  Произвольные постоянные 0о, фо, фо, п и П\, входящие в решение (14.20), связаны между собой соотношением (14.19), т. е.
  сого — ncos0o = п{.
  Это значит, что решение (14.20) содержит в выбранной системе координат только четыре независимые между собой произвольные
  Ю Н. В. Бутеннн и др., т. 2 289
------------ page 290 --------------
  Рис. 14.3.
  постоянные интегрирования. Однако направление вектора момента количеств движения, с которым мы связали систему координат Ox\y\Z\, постоянно, и определяется в произвольной координатной системе двумя независимыми произвольными постоянными. Поэтому решение (14.20) является общим решением уравнений (14.12). Движение, описываемое уравнениями (14.20), называется регулярной прецессией. При этом движении ось симметрии тела z описывает круговой конус с углом раствора 2Э0, равномерно вращаясь вокруг постоянного направления вектора момента количеств движения Ко с угловой скоростью *ф = п\ одновременно само тело равномерно вращается вокруг оси симметрии z с угловой скоростью ф = «1. На рис. 14.3 показаны неподвижная ось 2\ (с ней совпадает вектор Ко), ось симметрии тела г, и направления вращений.
  § 14.3. Геометрическая интерпретация Пуансо
  для движения твердого тела, имеющего одну
  неподвижную точку, по инерции
  При отсутствии динамической симметрии решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции описывается эллиптическими функциями. Мы проведем лишь качественный анализ, данный Пуансо.
  Б соответствии с формулой (12.20), уравнение эллипсоида инерции, построенного для точки О в подвижных осях Oxyz (точка О — неподвижная точка тела), жестко связанных с телом, имеет вид
  I'х
  Ч/У+/2г2-1.
  (14.21)
  Пусть точка Р с координатами jc, yt z будет точкой пересечения мгновенной оси вращения тела с эллипсоидом инерции (рис. 14.4). Обозначая через р радиус-вектор точки Р, проводимый из неподвижного полюса О, будем иметь
  р « xl + y} + zk,
  где i, /, k — единичные векторы осей системы координат Oxyz.
  Так как вектор угловой скорости а* направлен по мгновенной оси вращения, то
  р "~ о ' отсюда
  14.4.
  х,
  <*>г-
  (14.22)
  290
------------ page 291 --------------
  Рассматриваемое движение тела происходит по инерции, поэтому кинетическая энергия тела является постоянной величиной, и на основании формулы (13.11)
  °' ™ \>'w - "xwх т 1Х jTy "•" /угш2 '
  Подставляя сюда выражения (14.6) и (14.22), получим
  ^(Ixx* + Iyy2 + Izz2)=Vi.
  Так как координаты *, у, z точки Я должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции (14.21), то
  со-р/гЛ, (14.24)
  т. е. длина радиуса-вектора р точки Р пропорциональна величине угловой скорости тела.
  Отметим, что из формулы (14.23) вытекает
  °*--|г. (,4-25>
  т. е. проекция угловой скорости тела на направление момента количеств движения в рассматриваемом случае является постоянной величиной.
  Проведем теперь через точку Р касательную плоскость к эллипсоиду инерции. Уравнение этой плоскости имеет вид
  lxxx' + lyytf + lzzz' - 1, (14.26)
  где *', у\ z'— текущие координаты касательной плоскости, a x,y,z— координаты точки Р.
  Используя формулы (14.6) и (14.22), преобразуем выражение (14.2)
  или
  *b-f Cx'i+V"'+ '/*)•
  Тогда, вводя радиус-вектор текущей точки касательной плоскости r = x'i + y'j -f z%
  представим уравнение (14.26) в виде
  ?V = 1- 04.27)
  Уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору момента количеств движения и находящейся на постоянном расстоянии от неподвижной точки тела, как известно из аналитической геометрии, имеет вид
  -g--r = dy (14.28)
  где г — радиус-вектор текущей точки плоскости, a d— расстояние от начала координат.
  Эта плоскость будет касаться эллипсоида инерции в точке Я, если выполняется равенство
  со ,, .
  9 °
  10* 291
------------ page 292 --------------
  вытекающее из соотношений (14.27) и (14.28). Отсюда, принимая во внимание (14.24), получим
  а = —zz— = const.
  (14.29)
  Следовательно, касательная плоскость, проведенная в точке Р к эллипсу сойду инерции, перпендикулярна к вектору * момента количеств движения и находится на постоянном расстоянии d, определяемой формулой (14.29) от неподвижной точки тела. Отсюда следует, что эта плоскость будет неподвижной .по отношению к неподвижной системе координат, так как вектор Ко является постоянным вектором. Эллипсоид инерции касается этой плоскости в точке Р, находящейся на мгновенной оси вращения, поэтому скорость точки касания равна нулю.
  Таким образом, движение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно представить как качение без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной плоскости, перпендикулярной к моменту количеств
  движения, и находящейся на постоянном расстоянии от центра эллипсоида
  (рис. 14.5).
  § 14.4. Устойчивость вращения твердого тела вокруг главных осей инерции
  Предположим, что твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, вращается по инерции с постоянной угловой скоростью Q вокруг некоторой оси, совпадающей с одной из главных осей инерции. Не нарушая общности, будем считать, что ось вращения совпадает с главной осью инерции z. Тогда
  (0^ = 0, (0^ = 0, (o2 = Q = const.
  Эти значения проекций угловых скоростей можно рассматривать как решение динамических уравнений Эйлера (14.10).
  Выясним, будет ли такое вращение тела устойчивым, т. е. изменится ли оно, если сообщить телу произвольное, но достаточно малое изменение вектора угловой скорости (например, небольшим ударом по телу), или это движение в основном сохранится, вызвав только очень малые колебания оси вращения z.
  Итак, пусть вектор угловой скорости Q тела, вращающегося равномерно вокруг оси z, получил небольшое возмущение, в результате которого проекции угловой скорости изменили свои значения и сделались равными
  ©* = ©!, С0у=(02, C02 = Q + G)j,
  причем в начальный момент возмущения о)Ь си и о)3 малы по сравнению с Q. Внесем эти значения о)х, щ и со2 в уравнения
  292
------------ page 293 --------------
  Эйлера (14.10) и сгруппируем члены:
  /* ^Г + Uг - 1у) ЙС02 + (/, - 1у) С02(03 = 0,
  /У^Г + (/х-^О®1 + (/х-/.)®1®з-0.
  Предположим, что во все время движения соь о>2 и о)з остаются малыми по сравнению с Q. Пренебрегая тогда их произведениями (члены второго порядка малости), получим
  /*-^+(/2-/„)Q<o2 = 0, 1у^ + (1х-1г)йщ = 0,
  '* dt u-
  Из третьего уравнения следует, что ыз = юзо, а первые два уравнения легко приводятся к виду
  ¦SL+-57(/.-/J(/,-/J».-o.
  Если (1Х — /2) (/у — Л) > 0, то coi = (Од; и 0)2 = о)у выражаются через тригонометрические функции и во все время движения остаются малыми величинами (так как их начальные значения были малы).
  Если же (1Х — /z) (ly — /z)< 0, то coi = оз* и сог = о)?/ выражаются через показательные функции и с течением времени принимают сколь угодно большие значения.
  Следовательно, условие устойчивости вращения тела по инерции вокруг главной оси инерции z сводится к неравенству
  (/,-/*)(/,-/*)> о,
  то есть
  1Х>1„ /,>/„ или 1х</„ 1У<1Ж. (14.30)
  Таким образом, вращение вокруг главной оси инерции устойчиво, если момент инерции относительно этой оси является наибольшим или наименьшим из трех главных моментов инерции. Заметим, что проведенный анализ математически недостаточно строг, так как точные уравнения заменялись приближенными, но можно показать (мы не будем останавливаться на этом), что полученные результаты остаются верными и при строгом рассмотрении.
  293
------------ page 294 --------------
  § 14.5. Движение твердого тела, имеющего
  неподвижную точку, под действием силы тяжести
  (случай Лагранжа)
  Второй практически важный случай движения твердого тела с одной неподвижной точкой (случай Лагранжа) соответствует следующим условиям:
  1) эллипсоид инерции для неподвижной точки тела является эллипсоидом вращения (fx =/у)\
  2) центр тяжести тела лежит на оси г, которая является осью симметрии эллипсоида инерции, и называется осью динамической симметрии тела.
  Введем две системы координат с общим началом в неподвижной точке О тела. Оси подвижной системы Oxyz направим по главным осям инерции тела,
  а неподвижную систему координат выберем так, чтобы ось гх была направлена вверх (рис. 14.6).
  В этом случае Лагранжа можно указать три первых интеграла движения.
  Во-первых, имеет место интеграл энергии
  Г + П=*/|. (14.31)
  Так как кинетическая энергия тела с одной неподвижной точкой равна
  Рис. 14.6.
  Т-±1х(*1 + »%+±!&
  то, используя равенства (14.8), можно записать
  Т = 1[х (О2 + ф2 sin2 6j + у /г (ф cos 9 + ф)2.
  Потенциальная энергия выражается формулой
  П = Mgz]C = Mgzc cos 8.
  Таким образом, интеграл энергии (14.31) записывается в виде
  у /.г (G2 + Ф2 si"2 е) + -9* !2 W cos е + Ф)2 + Mg*c cos е - Л.
  (14.32)
  Во-вторых, интеграл момента количеств движения относительно оси Zi (сила Mg параллельна оси z\)
  Проекция момента количеств движения на ось z\ равна сумме проекций на эту ось составляющих момента количеств движения по осям подвижной системы координат Oxyz, т. е.
  /\, ¦¦= К sin G sin ф + К sin 0 cos ф + К cos 0.
  (у = /;,10„ И Kz — /гСОг, а С0Х, (j}y И
  •удем иметь K>t ¦- /хф sin2 0 -f Iz (ф cos 9 + ф) cos 9
  Так как Кх — Л-(•>.*. К:, = /;,io„ и /(. = /2сог, а сох, coj, и оь определяются по формулам (14.8), то будем иметь
  и, следовательно,
  291
  /Л-ф sin2 0 + /г (ф cos 0 + ф) cos 0 = с\.
  (14.33)
------------ page 295 --------------
  В-третьих, интеграл момента количеств движения относительно оси г (линия действия силы Mg пересекает ось z)
  Кг в с2> т. е.
  h<*z - /z (Ф cos 9 + ф) - с2. (14.31)
  Интегралы (14.32) — (14.34) могут быть получены и непосредственно из динамических уравнений Эйлера*).
  Используя интегралы (14.33) и (14.34), исключим из интеграла энергии (14.32) фиф.
  Из формулы (14.34) найдем
  фсозв + ф--^- 04.35)
  'г
  Формулу (14.33) перепишем в виде
  .l... С1-/г(фсо8 8 + ф)со5е плол\
  Ч> ~ 7 г-5"5 • (14.36)
  fx sin2 8 v '
  Подставляя теперь выражения (14.35) и (14.36) в интеграл энергии, будем иметь
  1 / Q2 , (С1 ~~ С2 COS б)2
  ? '*в + 2/, sin'8 + ^с cos в - сз-
  где
  1 4
  Полученное уравнение перепишем в виде
  /2 8 2 sin2 8 = - (с, - с2 cos в)2 - 2MgzcIx sin2 8 cos 9 + 2czlx sin2 9.
  Оно представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка относительно 8. Для его исследования введем замену
  и =я cos 8; тогда и = —8 sin 8 я, следовательно,
  12хи2 - - (с, - с2и)2 - 2Mgzc/x (и - и3) + 2с3/х (1 - и2).
  Вводя обозначение
  / (и) - - (с, - с2м)2 - 2Л^2с/% (и - и3) + 2/Л (1 - "2). (Н.37)
  •будем иметь
  /2й2-/(и), (14.38)
  откуда
  Г л.»
  (14.39)
  J I'M")
  Время / выражается через м эллиптическим читегралом, а следовательно, и будет эллиптической функцией f. Зная и как функцию /, мы тем самым ¦определяем угол нутации 8 как функцию времени /. Используя уравнения (14.35) и (14.36), определяем затем фиф как функции времени. faKiiM образом, поставленная задача приводится к квадратурам.
  *) Суслов Г. К., Теоретическая механика. Госгехиздат, 1944.
  295
------------ page 296 --------------
  Мы не будем проводить операции интегрирования, а постараемся выяснить характер движения, исходя из свойств функции f(u). Согласно равенству (14.38) функция f(u) 2> 0. Поэтому в некоторой области значений ы, заключенных между —1 и +1 (так как и = cos 9), функция f(u) должна быть положительна. Учитывая так же, что
  /(-оо)--во. /(-1)--(с,+<?«)* «1 /(+1)- - (сг -с2)2<0, /(+ оо) = + со,
  мы заключаем, что кубическое уравнение f(и) —0 имеет три вещественных корня, «1, «2, и3 (щ < и? < и3), а график функции f(u) имеет вид, изображенный на рис. 14.7. Таким образом, для действительного движения и заключено между щ и «2-
  Так как и = cos G, то угол нутации 9 при движении тела будет изменяться в пределах
  92<9<9Ь (14.40)
  где 9i = arccos щ, 92 = arccos u2.
  Для наглядного представления о характере движения тела" построим сферу единичного радиуса с центром в неподвижной точке тела. Отложим на оси z единичный вектор, конец которого назовем апексом. Очевидно, что апекс будет все время находиться на поверхности построенной нами сферы. В силу условия (14.40) апекс все время будет находиться в полосе между двумя параллелями, соответствующими углам 9i и 92 (рис. 14.8). Вид траектории апекса в этой полосе зависит от скорости прецессии -ф.
  Рис 14.7.
  *>
  Приведем без доказательства три возможных случая движения апекса.
  1. Скорость прецессии ф сохраняет знак и не обращается в нуль. В этом случае траекторией апекса будет волнистая кривая, касающаяся граничных параллелей (рис. 14.8,а).
  2. Скорость прецессии -ф сохраняет знак, но обращается в нуль. Очевидно, что \|? может быть равной нулю лишь при 9 « 9i или 9 = 92 (доказывается, что только при 9 = 92), иначе *ф изменило бы знак во время движения. Траекторией апекса будет кривая с точками возврата (сферическая циклоида). Вид траектории показан на рис. 14.8,6.
  3. Скорость прецессии *ф меняет знак во время движения. В этом случае траекторией апекса будет кривая с петлями (рис. 14.8, в).
  Рассмотрим случай, когда движение будет регулярной прецессией (G = 90 — const, ф = const и *ф = const). Это будет иметь место при щ = и2 >= и0 (т. е. корни уравнения f{u) =0 кратны), или
  0j = 02 = 9о,
  296
------------ page 297 --------------
  так как в этом случае
  i Сх — С2 COS 0О ,
  /ж sin2 0О
  ф в -т?— /г cos 90 ¦¦ «1 «• const. '-г
  Уравнение /(ы) =0 будет иметь кратные корни, если одновременно Г ("о) = 0 или
  с2 (с, - с2и0) - IxMgzc (l - 3iig) - 2Ixc3u0 - 0. (14.41)
  Этому уравнению должны удовлетворять начальные условия, чтобы осуществлялось регулярное прецессионное движение.
  Условие (14.41) можно упростить. Действительно, при регулярной прецессии 9 = 6о — const, -ф = п = const, ф «= П\ = const. Следовательно, при t *= 0 будем иметь
  9 я 90, 0 — 0, ф — л, ф-Л1.
  Тогда произвольные постоянные d, Сг и с3 будут
  cl e 1хп О - «о) + 1г (пи0 + ftl) "О» с2 — /* (я«0 + «О.
  Сз" 1/'7,С2"°П +^с»о-7/У0-^)-^с»о- Подставляя эти значения для ci, Сг и с3 в уравнение (14.41), получим
  /^(/«o+«i)/l(1-|lS)-/*A,^c(1-«?)-"^2||o(l-ao)-"a
  После деления на /л(1 — «о) и замены wo — cos 9o будем иметь
  (1Х - 1г) п* cos 0О - 1гппх + М gzc «0. (14.42)
  Это уравнение представляет собой условие существования регулярной прецессии в случае Лагранжа.
  Отметим, что при движении по инерции при !х — 1УФ 1г тело всегда совершает регулярную прецессию, а в случае Лагранжа только при начальных условиях, удовлетворяющих условию (14.42). При этом при движении по инерции ось прецессии совпадает с неизменным направлением вектора момента количеств движения, а в случае Лагранжа ось прецессии вертикальна.
------------ page 298 --------------
  ГЛАВА XV ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
  § 15.1. Элементарная теория гироскопов
  В современной технике под гироскопом *) понимают твердое тело, которое может вращаться вокруг оси симметрии с угловой скоростью, значительно превышающей скорость вращения самой оси симметрии.
  Примером гироскопа может служить волчок, имеющий неподвижную точку О (рис. 15.1).
  \С
  Рис. 15.1. Рис. 15.2.
  Наиболее простым гироскопическим прибором является гироскоп в кардановом подвесе (рис. 15.2). Ротор вращается вокруг своей оси симметрии АА\ причем ось вращения установлена в подшипниках, укрепленных во внутреннем кольце, которое может свободно вращаться вокруг оси ВВ'\ Вращение внутреннего кольца присходит в подшипниках, укрепленных в наружном кольце. Наконец, наружное кольцо может свободно вращаться вокруг оси СС в неподвижно укрепленных подшипниках. Таким образом, ротор может совершать три независимых друг от друга вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точ-
  *) Слово «гироскоп», буквально означающее «указатель вращения», было введено в 1852 году французским физиком Фуко, который назвал так построенный им прибор для демонстрации суточного вращения Земли.
  298
------------ page 299 --------------
  ке — центре ротора, которая при движении ротора остается неподвижной.
  Приведенные примеры гироскопов —волчок и гироскоп в кардановом подвесе — представляют примеры гироскопов € тремя степенями свободы, так как для описания их движения необходимо иметь три независимых между собой параметра.
  Если же, например, у гироскопа в кардановом подвесе закрепить наружное кольцо, то ротор гироскопа будет иметь возможность вращаться только вокруг своей оси симметрии и оси внутреннего кольца, т. е. будет иметь две степени свободы. Такой гироскоп называется гироскопом с двумя степенями свободы.
  Гироскоп обладает рядом специфических свойств, позволяющих широко использовать его в технике, особенно в различных системах навигационного оборудования. Целью настоящей главы является выяснение этих основных свойств гироскопа.
  В данном параграфе будет рассмотрена наиболее простая теория гироскопов, так называемая элементарная теория гироскопов, основанная на ряде упрощающих допущений. В последующих параграфах будут изложены некоторые вопросы прикладной теории гироскопов, являющейся базой современного гироскопического приборостроения.
  Перейдем к рассмотрению основного допущения элементарной теории гироскопов.
  Пусть однородное тело вращения совершает быстрое вращение вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью coi, а эта ось в свою очередь вращается с угловой скоростью ©г. На основании теоремы о сложении вращений твердого тела получаем, что абсолютная угловая скорость о> равна геометрической •сумме угловых скоростей wi и ©2, т. е.
  О) = (01 + 0)2.
  Пусть в системе координат Охуг ось z направлена по оси динамической симметрии тела (рис. 15.3). Тогда оси этой системы координат будут для тела главными осями инерции, и, следовательно, проекции момента количеств движения на оси
  *, у И 2 будут
  Кх = 1х®х = 1хЩх>
  К у = ly<*y e 1у<*2у*
  где /х, 1У и /2 — соответствующие моменты инерции тела.
  Рис 15.3.
  299
------------ page 300 --------------
  Таким образом, мы можем назвать три непараллельные направления: направление угловой скорости собственного вращения оь направление абсолютной угловой скорости со и направление вектора момента количеств движения тела.
  Для современных гироскопов угловая скорость wi собственного вращения ротора достигает 3000 сек~х и более, в то время как угловая скорость W2 оси гироскопа в наиболее неблагоприятных случаях не превышает 0,001 сек~х. Следовательно, toj ^> о>2 и Kz ^> КХу Kz ^> Ку. Имея в виду это обстоятельство, в элементарной теории гироскопов главный момент количеств движения тела (кинетический момент) относительно неподвижной точки принимают равным
  /С = /2*>ь (15.1)
  то есть предполагается, что момент количеств движения направлен по оси динамической симметрии гироскопа*). Следует, конечно, помнить, что соотношение (15.1) является приближенным и будет тем более точным, чем coi больше сог-
  Для изучения движения гироскопа воспользуемся теоремой об изменении момента количеств движения
  %-*. (15.2)
  где Ме — главный момент всех внешних сил относительно неподвижной точки.
  Производная от вектора К по времени представляет собой «скорость» и конца этого вектора **), т. е.
  и, следовательно, равенство (15.2) может быть записано в виде
  и = Ме. (15.3)
  Полученная формула представляет собой теорему Резаля: скорость конца вектора момента количеств движения (кинетического момента) равна главному моменту всех внешних сил.
  Согласно равенству (15.1) вектор кинетического момента направлен по оси собственного вращения тела. Это значит, что с помощью зависимости (15.3) мы можем следить за движением оси собственного вращения гироскопа. Формула (15.3) позволяет
  *) Здесь II далее в обозначениях кинетического момента и момента сил для краткости опущен индекс, указывающий относительно какого центра вычисляется момент. Во всех случаях, если не оговорено противное, будем предполагать, что моменты взяты относительно неподвижной точки.
  **) Слово «скорость» взято нами в кавычки, так как размерность вектора и не совпадает с размерностью обычной скорости точки (размерность вектора К не равна размерности радиуса-вектора). В дальнейшем, помня условность этого слова, мы опускаем кавычки.
  300
------------ page 301 --------------
  находить закон движения гироскопа по заданному моменту внешних сил и по заданному закону движения гироскопа определить момент сил, под действием которых происходит это движение.
  Рассмотрим основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы.
  Рассмотрим сначала случай Ме = 0. Это имеет место, когда точка подвеса (точка опоры) совпадает с центром масс гироскопа *) (астатический или уравновешенный гироскоп).
  Если Ме = 0, то согласно формуле Резаля (15.3)
  а = 0 и
  К = const.
  Иначе говоря, ось уравновешенного быстро вращающегося трехстепенного гироскопа сохраняет неизменным свое направление в пространстве.
  Если теперь на уравновешенный трехстепенной гироскоп подействовать кратковременной силой, то благодаря тому, что скорость и не будет равна нулю только в промежутке времени действия этой кратковременной силы, ось гироскопа почти не изменит своего направления. Таким образом, ось свободного быстро вращающегося гироскопа нечувствительна к мгновенным ударным нагруз- -Кг>у кам [в действительности ось гироскопа начнет (TZ^^J „ совершать колебания малой амплитуды с боль- ^^jR^ *>& шой частотой (нутационные колебания), но Ме в элементарной теории гироскопов этими колебаниями пренебрегают].
  Приложим теперь к гироскопу силу Р, как это показано на рис. 15.4. Если гироскоп не Рпс- 15-4-
  вращается, то под действием силы Р ось гироскопа будет перемещаться в сторону действия силы. Если же скорость собственного вращения гироскопа достаточно велика, то действие силы Р вызовет совершенно другое движение оси гироскопа. Действительно, момент Ме силы Р относительно неподвижной точки будет направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через линию действия силы и точку О, т. е. перпендикулярно к плоскости рисунка на нас. Согласно теореме Резаля конец вектора К приобретет скорость
  В результате ось гироскопа начнет движение в направлении момента М1\ т. е. перпендикулярно к линии действия приложенной силы.
  *) Такой трехстепенной гироскоп часто называется свободным гироскопом.
  301
------------ page 302 --------------
  Такая же картина будет наблюдаться и у гироскопа в кар- дановом подвесе, если к внутреннему кольцу приложить силу F (рис. 15.5). Момент этой силы F направлен по оси внутреннего кольца, и, следовательно, ось гироскопа начнет совершать вращение вокруг оси наружного кольца.
  Движение оси гироскопа называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси — угловой скоростью прецессии.
  Найдем модуль угловой скорости прецессии со2- Согласно формуле v = со X г для скорости точки твердого тела в его вра- щ щательном движении скорость и конца
  -*- ' вектора К определяется равенством
  и = сд2 X К.
  М* Учитывая, что и = Меу К = Iz(ol, найдем U Ме = щХК. (15.4)
  Отсюда
  *2~ |^„пА > (15-5)
  Рис. 15.5.
  /га>, sin 9 •
  где 0 — угол между осью гироскопа г и вектором угловой скорости прецессии (d2 (на рис. 15.4 угол 6 = л/2, но в общем случае он отличен от прямого).
  Из всего сказанного следует, что под действием внешних сил ось быстро вращающегося трехстепенного гироскопа начинает прецессировать. Скорость и конца вектора кинетического момента /С, направленного по оси симметрии гироскопа, равна по модулю и совпадает по направлению с моментом относительно точки подвеса внешних сил. Угловая скорость прецессии, определяемая равенствами (15.4) и (15.5), пропорциональна моменту внешних сил Меу обратно пропорциональна кинетическому моменту />(oi гироскопа и синусу угла между осью гироскопа и вектором угловой скорости прецессии. Это свойство гироскопа часто называют законом прецессии оси гироскопа.
  Применим закон прецессии к анализу движения под действием силы тяжести быстро вращающегося волчка. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести Р и реакция R опоры О. Момент реакции R относительно точки О равен нулю, а модуль момента силы тяжести относительно опоры О определяется равенством
  Af-Pa sine,
  где а — расстояние от точки О до центра тяжести С волчка, а 0 — угол между осью волчка и вертикалью (рис. 15.6).
  Так как момент Mr всегда перпендикулярен к вертикальной плоскости, проходящей через ось волчка г, то скорость и конца
  302
------------ page 303 --------------
  вектора К горизонтальна. Следовательно, ось волчка описывает вокруг вертикали круговой конус.
  Найдем угловую скорость а>2 прецессии оси волчка. Угол между осью z и вектором юг равен 8 (см, рис. 15.6). Поэтому согласно формуле (15.5) будем иметь ,
  <а2 =
  Ра 1гщ
  Если центр тяжести гироскопа в кар- дановом подвесе будет удален от точки О по оси вращения на расстояние а, то наружное кольцо будет совершать прецессионное движение с угловой скоростью юг, определяемой последней формулой.
  Перейдем к рассмотрению задачи, когда движение оси гироскопа задано и требуется определить момент сил, под действием которых осуществляется это движение.
  Пусть гироскоп вращается с постоянной по величине угловой скоростью cot вокруг своей оси симметрии, а эта ось в свою очередь вращается с угловой скоростью ©2 вокруг какого-либо фиксированного направления.
  Например, ротор, показанный на рис. 15.7, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, подшипники которой закреплены в рамке, вращающейся с угловой скоростью о)2 вокруг оси вращения.
  Момент внешних сил Afe, под действием которых ось гироскопа пре- цессирует с угловой скоростью ©2, определяется равенством (15.4). Этот момент создается силами Q и Q', приложенными к валу гироскопа со стороны подшипников А и В.
  На основании третьего закона Ньютона можно утверждать, что на подшипники А а В со стороны гироскопа будут действовать силы F и F', равные по модулю и противоположно направленные силами Q и Q'.
  Главный момент этих сил относительно неподвижной точки равен по величине и противоположен по направлению моменту Ме. Такой момент называется моментом гироскопической реакции или просто гироскопическим моментом.
  Гироскопический момент МГ равен
  Л!г - - ЛГ =/,(«! X ©г). (15.6)
  Рис. 15.7.
  303
------------ page 304 --------------
  Рис. 15.8.
  Силы (F, F'), момент которых относительно точки О равен гироскопическому моменту, стремятся совместить ось гироскопа с осью прецессии.
  Отметим, что тело, на которое действует гироскопический момент, может под действием этого момента совершать движение. Например, пусть наружная рамка гироскопа в кардановом
  подвесе жестко укреплена на каком- либо основании (рис. 15.8). Пусть угловая скорость ротора равна cdi и направлена так, как указано на рис. 15.8. Сообщим теперь основанию угловую скорость о)2- Силы F, F\ момент которых относительно неподвижной точки равен возникшему гироскопическому моменту Мг, будут поворачивать внутреннее кольцо в направлении, указанном на рис. 15.8 стрелкой, т. е. в направлении кратчайшего пути совмещения вектора o>i (оси гироскопа) с вектором юг (угловой скоростью вынужденной прецессии).
  Это дает возможность сформулировать следующее правило (правило Грюэ — Жуковского): при сообщении оси гироскопа принудительной прецессии ось гироскопа стремится кратчайшим путем установиться параллельно оси принудительной прецессии таким образом, чтобы направления векторов coi и ©2 совпали. При сообщении оси собственного вращения гироскопа или оси какой-либо быстро вращающейся части машины принудительной прецессии возникают гироскопические давления на подшипники, в которых укреплена ось, если эти подшипники не имеют возможности двигаться вместе с осью.
  Пусть ротор (маховик) вращается с угловой скоростью o)i вокруг оси АВУ закрепленной в подшипниках А и В (рис. 15.9).
  Если вес ротора Р, то статические давления на подшипники будут равны Я/2 для случая, когда ротор находится на равных расстояниях от подшипников (см. рис. 15.9). Если теперь сообщить ротору принудительную прецессию вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 0)2, то появится гироскопический мо-
  I г 1
  1 Г
  i 1
  4* о\
  1/7 ^S
  4 м' 1
  
  Рис.
  ¦~i-\
  
  1 BW ~<*i
  1*
  J г
  \р
  15.9.
  мент
  Мг= М<°1 X <02),
  где \г — момент инерции ротора относительно собственной оси вращения.
  304
------------ page 305 --------------
  Гироскопический момент, приложенный к оси, согласно правилу Грюэ — Жуковского будет стремиться повернуть ось так, чтобы векторы ©i и ©2 стали параллельными. Но этому препятствуют подшипники А и В, Сила Q, приложенная к подшипнику Л, и Q', приложенная к подшипнику В, образуют пару сил, момент которой равен гироскопическому моменту.
  Так как векторы Ш| и (о2 в рассматриваемом случае взаимно перпендикулярны, то величина гироскопического момента равна
  Мг = /га>1йь.
  Направлен гироскопический момент перпендикулярно к плоскости рисунка на нас. Момент пары сил (Q, Q') по величине равен Qa, следовательно,
  Qa = /2cd,(o2, откуда
  Q = $ = ]j<^t (15.7)
  Силы Q и Q' и представляют собой гироскопические давления на подшипники.
  В рассматриваемом случае в подшипнике В статическое давление и гироскопическое давление имеют различные направления, а в подшипнике А—
  одинаковое направление. Г Л- n JL---~T&'~"!m
  Задача 77. Определить макси- ^\:'S~ ~~~^ ~~В ^
  мальные гироскопические давле- ~"^* "~* ния на подшипники быстроходной j-*- I -*-j
  турбины, находящейся на кораб-
  ле, подвергающемся гармонической "ис« 15.10.
  килевой качке с амплитудой 9° и
  периодом 15 сек, считая, что ось ротора турбины параллельна продольной оси корабля. Ротор, имея вес 200 кГ и радиус инерции 0,8 м, делает 18 000 об/лшн\ расстояние между подшипниками равно 1 м.
  Рассмотрим рис. 15.10. При килевой качке изменяется угол дифферента корабля. Закон этого изменения имеет вид
  9 = Dsin-y4 где по условию задачи
  D-9° = -|j-, Т-\5сек.
  Принудительная прецессия ротора происходит вокруг оси, перпендикулярной к диаметральной плоскости корабля, т. е. к плоскости симметрии корабля, проходящей через его киль.
  Угловая скорость принудительной прецессии равна
  6 = —y~ cos ~f L
  Максимальная величина этой угловой скорости
  й>2 = umax = —jr~'
  305
------------ page 306 --------------
  Так как ось вращения ротора и ось принудительной прецессии взаимна перпендикулярны, то максимальное значение гироскопического момента будет
  200 где / — 0,64 «* 13,06 кГмсек2 — момент инерции ротора, а
  е
  2л-18000 60
  «600 псек~
  ©2 е
  2я2 20-15
  15
  Согласно формуле (15.7) максимальные давления на подшипники равны
  /ojWa 13,06-600л
  Q = Q>.
  I
  15
  1610 кЛ
  Гироскопический момент направлен по вертикали вверх или вниз в зависимости от знака 0. Силы Q и Q', приложенные к подшипникам, расположены в горизонтальной • плоскости, перпендикулярно диаметральной плоскости корабля. Эти силы периодически меняют свое направление на противоположное.
  Из приведенного примера следует, что гироскопические давления могут достигать очень больших значений, значительно превосходящих статические давления.
  § 15.2. Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе
  Изложенная в предыдущем параграфе элементарная теория гироскопов, основана на пренебрежении нутационными колебаниями оси гироскопа. Рассмотрим теперь более общую тео
  рию.
  Сначала выведем дифференциальные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе (рис. 15.2) с учетом массы наружной и внутренней рамок.
  Пусть неподвижная система координат Ox\y\Z\ имеет начало в неподвижной точке О. Ось Z\ направим по оси вращения наружного кольца (рис. 15.11). Начало подвижной системы координат Охуг возьмем также в точке О и свяжем эту систему координат с внутренним кольцом. Ось х направим по оси вращения ротора. Ось у — по оси вращения внутреннего кольца, а ось г — перпендикулярно осям х и у, таким образом, чтобы система Охуг образовала правую систему координат. Отменим, что линией пересечения подвижной плоскости Оху и неподвижной Ох\ух является ось у.
  Положение ротора можно определить следующими тремя углами: углом Ф поворота ротора вокруг оси х, углом О, т. е. углом между неподвижной осью г\ и осью г, углом поворота внутреннего кольца вокруг оси у и, наконец, углом ф —углом поворота наружного кольца вокруг оси Z\. Угловая скорость ф< направлена по оси дс, угловая скорость bj — по оси у и угловая скорость фА?1 — по оси 2i (рис. 15.12) *).
  Рис. 15.11.
  *) Векторы i, /\ ft —единичные векторы осей Охуг, а векторы <ь /i, k{ — единичные векторы осей Ох\у\г\.
  306
------------ page 307 --------------
  Найдем теперь проекции угловой скорости внутреннего кольца и ротора на оси подвижной системы координат. Для внутреннего кольца, которое совершает вращение вокруг осей z\ и у, имеем
  ®х=ij) cos f — + G) ¦- — ifr sin Ф,
  ©г = tj> cos <h
  (15.8)
  Обозначая через p, q и г проекции угловой скорости ротора на оси дг, у и 2, получим
  р = <р — г|> sin Ф, </ = О, г = яр cos О. (15.9)
  Проекция скорости наружного кольца на ось г\ равна
  «С, - -Ф-
  Мы не будем вводить систему координат, жестко связанную с ротором, так как ротор представляет собой симметричное тело относительно оси х и поэтому любая ось в плоскости уг для ротора будет главной осью инерции. Однако для вывода уравнений движения ротора можно воспользоваться формулами (14.10). Будем только помнить, что введенная при выводе формул (14.10) система координат Ох2у2*2 в рассматриваемом случае является системой координат Oxyz. Проекции момента количеств движения ротора на оси ху у и z согласно формул (13.9) и (15.9) будут
  Кх = 1хР = 1Х (ф - ф sin #), Kz e 1гГ e ly'ty cos О,-
  (15.10)
  где /* — момент инерции ротора относительно его оси вращения, 1у~1гф1х — экваториальные моменты инерции ротора.
  Для внутреннего кольца проекции момента количеств движения имеют такой вид:
  к*
  'V>,~V>>
  ^-/>2-/?+cosG,
  (15.11)
  где \х> 1Ч и 1г ¦— моменты инерции внутреннего кольца соответственно относительно осей х, у и 2. Наружное кольцо вращается только вокруг оси z{ a для него имеем
  <-/?* (15.12)
  где /^ — момент инерции наружного кольца относительно ее оси вращения.
  307
------------ page 308 --------------
  Перейдем к составлению уравнений движения ротора вокруг оси х*). На основании первой формулы (14.5) имеем
  *!к + %Кг-ыгку = мех.
  Используя соотношения (15.8) и (15.10), получим
  1хА.{у-Ъ sin ft) + Н cos ft (/г - ly) - М%
  где Мех — момент всех внешних сил, приложенных к ротору, относительно оси х» Так как lz = Iyt то
  /я-^ (<р-ф sin *)-Ai;. (15Л3)
  Вокруг оси у вращается как ротор, так и внутреннее кольцо. Для ротора согласно второму уравнению (14.5)
  аг?- + ^Кх~<»хКг = М'\ (15.14)
  dt
  ,е где Му — момент всех сил, действующих на кольцо, относительно оси у.
  Для внутреннего кольца dKf
  „е где Му — момент всех сил, действующих на кольцо, относительно оси у.
  Складывая почленно уравнения (15.14) и (15.15), получим
  ji (*»+К)+°>* (**+*i) - w* (*« + **)-К
  где М * = Му + Му — момент всех внешних сил, действующих на ротор и внутреннее кольцо, относительно оси у.
  Используя соотношения (15.8), (15.10) и (15.11), имеем
  {ly + /?)*+¦ cos ft (lxp - lx^ sin ft) + ф2 sin ft cos ft (ly + Q = Mey или
  (ly + ly) ft + /xp+ cos ft - (lx - ly - Q ф2 sin ft cos ft = Mey. (15.16)
  Перейдем теперь к составлению уравнения движения относительно оси Z\. Во вращении вокруг оси z\ участвуют ротор, внутреннее и наружное кольца. Так как ось z\ неподвижна, то для ротора будем иметь
  dKz
  dt 2»'
  Кг = Кг cos ft - Кх sin ft
  — проекция момента количеств движения ротора на ось z\\ M^ — сумма моментов всех сил, действующих на ротор, относительно оси г\.
  *) Николаи Е. Н., Теория гироскопов, Гостехиздат, 1948. 308
------------ page 309 --------------
  Таким образом,
  -^ (Kz cos Ъ - Кх sin Ф) - Mjt. (15.17)
  Для внутреннего кольца уравнение движения относительно оси Z\ имеет вид
  т=Л,";к- (15-18)
  где
  K'Zl = Кг cos* - Кх sin О (15.19)
  — проекция момента количеств движения внутреннего кольца на ось гг.М®* — момент всех сил, действующих на внутреннее кольцо, относительно оси Z\. Для наружного кольца имеем
  dK"
  -^ = Л!«;*, (15.20)
  где Af"'K— момент всех сил, действующих на наружное кольцо, относительно
  ОСИ Z\.
  Складывая почленно уравнения (15.17), (15.18) и (15.20) и учитывая равенства (15.12) и (15.19), получим
  it [(к*+Оcos *-(**+О ™ *+Ы - К'
  где М| — момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему (ротор, внутреннее и наружное кольца), относительно оси г\\ /" — момент инерции наружного кольца.
  Принимая во внимание равенства (15.10) и (15.11), перепишем полученное уравнение в виде
  ¦ж К1 у+''*)+cos2 * - ('*" -'**sin *)sin *+1"М=м*.
  или
  [(ly + Q cos2 d + Ix sin2 fl +/"] $ - Ixp sin # - 1хрЬ cos # -
  - 2 (ly + l'z - Ix) $Ъ sin ft cos fl = Mez{ Учитывая уравнение (15.13), найдем [(ly + Q cos2 0 + Ix sin2 Ф + /"] -ф - /xpd cos Ф -
  - 2 (ly + l'z- Ix) t|dO sin fl cos fl = M*{ + Л1* sin Ф. (15.21)
  Таким образом, дифференциальные уравнения движения гироскопа в карда- новом подвесе имеют вид:
  1ХР = М% 1
  {/у + 1'у)Ъ + v* cos *-(/;_ /^ _ /;) ^ sin о cos о = Aij, J 'П)
  [i1 у + Q cos2 * + 7jc sin2 * + 7"J ¦ - 7хР^ cos * ~
  - 2 {ly + l'z - /?) if* sin * cos * - Af|t + AfJ sin ft.
  309
------------ page 310 --------------
  Решение этих уравнений представляет собой большие математические трудности.
  Предположим, что М*«0; это значит, что полезный момент, вращающий ротор вокруг его оси, уравновешивается моментом сил трения. Тогда
  р — <р — tjisinO«G) = const.
  Для современных гироскопов угловая скорость ф собственного вращения ротора значительно больше угловых скоростей рамок, следовательно, можно принять со « ф. Кроме того, предположим, что угол О во все время движения остается малым» и примем sin О = О, cos 0—1. Также пренебрегаем всеми членами, содержащими произведения угловых скоростей ф и О и их квадраты. Уравнения (15.22) при этом примут вид
  ЛО + / соф - М' \
  \ (15.23)
  *¦-/,©*-«;,, j
  где A = ly + l'4,B = Iy + l'2 + ll.
  Уравнения (15.23) называют техническими уравнениями гироскопа. Введем величину Н = /д.о), часто называемую кинетическим моментом гироскопа. Тогда уравнения (15.23) примут вид
  .... (15.24)
  Дф - НЬ = Ме2Г J
  § 15.3. Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе
  Рассмотрим сначала случай, когда Му — О, М\ — 0. Уравнения (15.24) при этом будут
  Л* + Я* = М (15.25)
  ?ф-#О«0. J
  Исключая из этих уравнений ф и ф, получим
  m .
  Характеристическое уравнение этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
  И2
  откуда находим корни характеристического уравнения
  АВ
  а, =»0, а2«iy -?g , а8--/|/ -
  Общее решение уравнения запишется следующим образом: О =» С| + С2 cos r.. + С3 sin
  Vab Vab
  где Си Сг и Сз — постоянные интегрирования. 310
------------ page 311 --------------
  Так как согласно уравнениям (15.25)
  А а
  А — — С2 ¦ г .- sin , + С3 r cos _
  /лв т^Ж /лв Клв
  V =» — С2 cos — С3 —— sin ¦
  ЛВ /ЛВ ЛВ /AS" '
  то
  : я/_ я/ - . т \
  ф « —- (С2 cos + С3 sin . ,
  В \ VAB VJB I
  откуда, интегрируя, получим
  ¦ - т/"— fc, sin —Щ=г - С3 cos -ДМ + С4, г В \ VAB }ГаВ )
  где С4 — постоянная интегрирования. Пусть при / = 0 (начальный момент) А = О, ф = О, Ф = 40, ф = ф0. Тогда уравнения для определения постоянных, интегрирования будут иметь вид:
  сх + с2 = о, с3 г = К
  у.
  Улв
  -g С3 + С4 == 0, -g- С2 — фо,
  следовательно,
  В : ^ В : „ V^TF д „ Л
  Cl = — ^ Фо» ^2—-^"Фо» С3 = jz А0, ^4—jj
  Внося эти значения для Сь С2, С3 и С4 в общее решение, получим частное решение:
  а в I /• Я/ \ , J^4B" А . Я/
  А = фо [ I — cos - Ч А0 sin _ ,
  Я *° \ ГЛВ / Я /ЛВ
  ф = фо sin Н А0 (1 — cos . .
  Я ^ЛВ Я \ >^ЛВ /
  Из этого решения следует, что ось гироскопа будет совершать колебательное движение около положения А = ft Фо» Ф = -тг^о- Частота.
  п п
  Н
  k= г =• называется частотой нутации. Период нутационных колебаний
  у АВ
  '-/#
  Если ф0 = 0, то
  Vab
  а У АВ А . Я/ k Л , /, Я/ \
  А = - A0Sin-^=zr, ф = A0(l—COS =-)•
  Я 1ГЛВ Я I V АВ )
  Таким образом, сообщение кольцам гироскопа угловых скоростей приводит их, а следовательно, и ось гироскопа в колебательное движение.
  311
------------ page 312 --------------
  Рассмотрим еще случай, когда к внутреннему кольцу гироскопа приложена постоянная сила Р (рис. 15.13). В этом случае Меу — аР, Л1| -«О и уравнения движения принимают вид
  АЬ + #ф - аР, В$ - НЬ = 0.
  (15.26)
  Общее решение этих уравнений складывается из общего решения однородных уравнений (15.25) и какого-либо частного решения уравнений (15.26). Частное решение будем искать в виде
  Подставляя эти решения в уравнения (15.26), получим
  НМ2 = аР, -ЯМ^О,
  откуда
  М} = 0, M2zsi-j7-*
  Таким образом,
  $ = Cl+C2cos-^+Czsin-?L=,
  Vab Vab
  sin -_r-^- — C3cos _,._- ) +
  ¦-/?(«¦
  Vab
  Vab
  Пусть начальные условия будут при /=»0:
  d-0, ф-0, fl«60, * = -фо-
  Так как
  А г> Н . Ht . ~ Н Ht
  У=* — С2 . sin + С, cos-
  ¦ = 1/ — (С2 cos -—- + С3 -7=- sin —==г) 4- ,
  > в v Vab Vab Vab Vab I н
  то уравнения для определения постоянных интегрирования имеют вид 0-С1+С2, ^о-Сз^,
  0--l/"— Сз + С„ ф0 = -1/Ас2-Д^ + -^.,
  * в у К в /лв я
  откуда
  В • ВаР _ В ¦ ВаР
  V ЛВ л
  ^ X
  ^3 в ~П v0, С4 в "ТТ" Фо
  312
------------ page 313 --------------
  и, следовательно,
  я Vab
  А В /. flPW, Я/ \ , v « фо И 1 — cos ) +
  я V я / \ Vab I
  и ч/лГ(В • аЯВ\ . Я/ ^ А а I. Ht \ , а/>
  гЬ = Т/ — I — ib0 sin > Н fl0 [ 1 — cos —. ) Л i
  г в \н т я2 / /лв я \ VM J я
  Пусть О0 = 0, tj>0 = 0; тогда аРВ
  О-
  Я2
  (,.,
  *~-
  Я2
  я
  1^ АВ
   аР sin ¦ Н /.
  I/ Я D ?Г
  Я
  (15.27).
  Из уравнений (15.27) следует, что внутреннее кольцо будет совершать нутационные колебания около положения
  ft*-
  аРВ Я2
  а на равномерное вращение наружного кольца с угловой скоростью аР/Н накладываются нутационные колебания.
  Очевидно, что чем больше Я — кинетический момент гироскопа, тем будут меньше амплитуды нутационных колебаний. При больших Я нутационные колебания являются колебаниями очень высокой частоты с пренебрежимо малой амплитудой. В связи с этим во многих случаях нутационными колебаниями пренебрегают и считают, что
  е = о, *-¦?<.
  Поэтому говорят, что ось гироскопа совершает чисто прецессионное движение с угловой скоростью г|> = аР/Н (§ 15.1).
------------ page 314 --------------
  ГЛАВА XVI МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ
  § 16.1. Метод кинетостатики
  Так же как и для одной материальной точки (см. § 5.7), дифференциальным уравнениям движения материальной системы можно придать форму уравнений статики. Этот метод часто применяется в инженерных расчетах, особенно при определении динамических реакций опор твердого тела.
  Рассмотрим материальную точку Mk системы. Обозначим массу этой точки через тку ее ускорение — через wk и равнодействующие всех активных сил, приложенных к точке, и реакций связей соответственно — через Fh и /?ь. Тогда основному уравнению динамики (второму закону Ньютона), написанному для каждой точки системы
  mkwk = Fk + Rk (k= 1, 2, ..., п),
  можно придать вид уравнения статики
  Ffe + *ft+/fe = 0 (?=1,2, ..., п\ (16.1)
  где сила инерции /* определена равенством (см. § 5.7)
  Jk=-mkwk. (16.2)
  Складывая почленно все уравнения (16.1), получим
  k=-l fc=l k=l
  п
  Первая сумма S'* равна главному вектору F всех ак-
  п
  тнвных сил, приложенных к системе; вторая сумма 2 Rk рав- на главному вектору R реакций связей, и последняя сумма 314
------------ page 315 --------------
  л
  2 Ik — главному вектору J сил инерции. Таким образом, можем написать
  F + * + / = 0, (16.3)
  т. е. в каждый момент времени сумма главных векторов активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся материальной системы равна нулю.
  Выберем произвольный полюс О и проведем из него к точке Мь радиус-вектор rv Умножая каждое из уравнений (16.1) векторно на соответствующее rh слева и складывая все произведения, получим
  п п п
  2 rk XF* + 2 rk X Rk+ 2 rk X /* = 0. ft=] ft=l fe-1
  Первая сумма равна главному моменту М0 всех активных, сил, приложенных к системе; вторая сумма равна главному моменту Мо всех реакций связей системы, а последняя — главному моменту Мо сил инерции, причем все моменты должны быть вычислены относительно выбранного полюса О.
  Следовательно, будем иметь
  Мо + Мй + М'о-О, (16.4)
  т. е. в каждый момент времени сумма главных моментов активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся материальной системы равна нулю.
  При вычислении главных векторов F и R и главных моментов Мо и Мо активных сил и реакций связей нужно учитывать только внешние силы, так как главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.
  Двум векторным уравнениям (16.3) и (16.4) соответствует шесть уравнений в проекциях на оси декартовых координат:
  Fx + R*
  Fy + Rl
  Fz + R
  Мх + Mi
  Му + М*
  Мг + М§
  . + /,
  /"•" •'у
  г + Jz
  + м'х
  + М'у
  + м'г
  = 0,
  = 0,
  = 0,
  = 0,
  = 0,
  = 0.
  За оси координат можно выбрать любую систему декартовых осей, как неподвижных, так и перемещающихся произвольным образом в пространстве, следует только каждый раз
  315
------------ page 316 --------------
  определять соответствующие проекции главного вектора J и главного момента М0 сил инерции.
  Движение твердого тела вполне определяется этими шестью уравнениями кинетостатики, точно так же как равновесие твердого тела вполне определяется соответствующими шестью уравнениями (тремя уравнениями проекций и тремя уравнениями моментов). Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить соответствующие уравнения кинетостатики для каждого тела в отдельности.
  Из всего сказанного следует, что применение метода кинетостатики для твердого тела требует прежде всего умения вычислить главный вектор и главный момент его сил инерции. Зная их проекции на выбранные оси координат, следует составить уравнения кинетостатики (они отличаются от уравнений равновесия твердого тела только тем, что к активным силам и реакциям связей присоединены силы инерции) и затем определить неизвестные величины.
  Покажем теперь, что уравнения (16.3) и (16.4) представляют математическую запись теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы соответственно.
  В самом деле, главный вектор всех сил инерции равен
  п п п
  ^=2/*== -2m*Wfe== ~"л2т***'
  так как wk = -^*-. Но сумма 2jmbVk== ^vc есть количество движения Q материальной системы. Следовательно,
  /---^--AfwCf (16.6)
  т. е. главный вектор всех сил инерции точек материальной системы равен производной по времени от количества движения материальной системы, взятой с противоположным знаком. Главный момент всех сил инерции равен
  п п
  MJ0=2irkXJk=-2jrkX mkwk.
  k=i fe=i
  dvk dvk
  !Г> а r*Xm*~dT " dt
  M>0=-^> (16.7)
  Так как wk = -^, a rk X mk -?• = -=r- (rk X mkvk\ то
  dt
  n
  где K0 ^ 2 *"k X tnkvk — момент количеств движения материаль- ной системы.
  316
------------ page 317 --------------
  Таким образом, главный момент всех сил инерции равен производной по времени от момента количеств движения материальной системы, взятой с противоположным знаком.
  Заменяя в уравнении (16.3) главный вектор сия инерции выражением (16.6), а в уравнении (16.4) главный момент сил инерции выражением (16.7), получим соответственно теоремы об изменении количества движения и момента количеств движения материальной системы.
  § 16.2. Главный вектор и главный момент сил инерции для твердого тела
  На основании выражения (16.6) главный вектор сил инерции для твердого тела может быть найден по формуле
  /=*-Мшс> (16.8)
  т. е. главный вектор сил инерции для твердого тела равен силе инерции его центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела (этот вывод справедлив для любой материальной системы).
  Перейдем к вычислению главного момента сил инерции для твердого тела.
  Рассмотрим сначала случай, когда тело движется произвольным образом. Выбирая за полюс центр масс С тела, на основании формулы (16.7), имеем
  м! dKc
  Пусть система координат Cxyz жестко связана с телом. Тогда в соответствии с формулой (14.2) можно записать
  я tr Mh=--sf--<uXKc (16.9)
  и, следовательно,
  w/ d%Cx , „ „ ч i
  Мех = Jt {ЪуКсг - <»zKcy)>
  MCy = -n*- - («>2Kcx " ®xKcz)>
  dt
  j dKC9 Mcz = jf- - (<»xKcy-*yKcx)-
  (16.10)
  Подставляя в эти выражения значения проекций момента количеств движения, вычисленных для неподвижной точки (13.8),
  %Сх — 1х®х — 1ху<йу — Ixz®z> КСу = — IXy®x + 1у<йу — Iyz®z> Kqz = — hz®x — Iyz®y + Iz®z>
  317
------------ page 318 --------------
  (16.11)
  получим
  Мех = — Ixex + 1ху (sy — (oxcoz) + Ixz (ez + (oxa>y) -
  -',.«-•S)-C-/,)w
  Mcj, = — Ivey + 1уг (ъг — <Ав<ьх) + Iux (ex + v>v<az) -
  -'«K-«»;)-(',-'>a.
  Эти формулы определяют главный момент сил инерции для твердого тела в общем случае его движения. Если тело имеег неподвижную точку, то за полюс следует выбрать эту точку^
  Из формул (16.11) легко получаются все частные случаи.
  Случай плоского движения твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии. Если ось z перпендикулярна к плоскости материальной симметрии, совпадающей с плоско* стью движения, то
  'xz ~ ' уг ^> е* &у "»
  ©* = ©„
  0.
  Теперь из формул (16.11) найдем, что
  (16.12)
  Случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
  Выберем в качестве полюса произвольную точку на оси вращения, ось z совместим с осью вращения, а оси х я у скрепим с вращающимся телом. Векторы е и со направлены по оси вращения z и, следовательно, их проекции на оси х и у равны нулю:
  со* = <Оу = 0, ех = гу = 0.
  Подставив эти значения в формулы (16.11) и принимая во внимание, что сог = ±са, получим проекции главного момента сил инерции для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
  MJX = Ixzez - /^сй2»
  My = Iyzez + /%гсэ2,
  § 16.3. Определение динамических реакций опор движущегося тела
  При движении несвободного твердого тела реакции связей Rh складываются из статических I?" и добавочных динамических /?? составляющих.
  (16.13)
  318
------------ page 319 --------------
  Аналогичным равенствам удовлетворяют главные векторы и главные моменты реакций связей
  *Г*?*\ 1 <•«¦¦«>
  Статические составляющие реакций вызываются действием на тело только активных сил F*. Поэтому они должны удовлетворять шести уравнениям статики:
  #>, + *?-<>. Fy + RlT = Ot FZ + RC2T = 0, )
  » п n \ <l6I5>
  Мх + М*ст = 0, Afy + M*CT-0, Мг + М*ст = 0. j
  Подставим в уравнения кинетостатики значения проекций главного вектора R и главного момента Af? реакций связей, определенных равенствами <16.15):
  Fy + Rc; + R$ + Jy = 0, Мх + MRX ст + М* д + м? = О,
  Учитывая теперь равенства (16.15), которым удовлетворяют статические реакции, получим уравнения для определения добавочных динамических реакций опор движущегося твердого тела:
  tf? + /x = 0, AfJA + Afi-0, |
  R* + Jy = 0, M*A + MJy = Ot j. (16.16)
  /?д + lz = О, М * д + М[ - 0.
  Конечно, в частных случаях движения твердого тела число уравнений сократится, например, при плоскопараллельном движении их число будет равно трем.
  § 16.4. Задачи на определение динамических реакций
  Задача 78. Груз веса Р скользит вниз по наклонной эстакаде, свободно лежащей на Земле. Вес эстакады G, коэффициент трения скольжения между грузом и эстакадой f, угол наклона равен а (рис. 16.1, а). При каких условиях эстакада не начнет движение?
  В главе VIII эта задача была решена с помощью теоремы об изменении количества движения материальной системы. Решим теперь эту же задачу, используя метод кинетостатики. Для этого рассмотрим сначала отдельно движение груза — см. рис. 16.1,6. Так как груз скользит вниз по наклонной пло-
  Р скости, то сила инерции — до, где w — ускорение груза, направлена вверх
  319
------------ page 320 --------------
  Применяя к грузу уравнения статики, найдем
  р
  Р sin а — Fx w «¦ О, ЛЛ — Р cos а » 0.
  S
  Из второго уравнения найдем нормальное давление Nlt а затем из первого уравнения найдем силу инерции груза (напомним, что /^ =* /Л^)
  р Ni^Pcosat — до » P (sin а — / cos а).
  Рассмотрим теперь систему, состоящую из груза и эстакады (рис. 16.1,6). Внешними, силами, для. этой системы будут: сила тяжести Р груза, сила тя- у . жести G эстакады, сила нормального
  ' давления земли N и сила трения F
  между землей и эстакадой. Присоединим к этим силам силу инерции
  до груза и составим два уравне-
  ф р
  ния статики:
  Р
  F w cos a = 0,
  ё
  N-G-P + — до sin а *= 0. S
  V7777.
  Рис. 16.1. Отсюда найдем силу трения F и нормальное давление N:
  Р Р
  F «= — a; cos a, N = G + P ш sin a
  g S
  Р или, учитывая найденное ранее значение силы инерции — до,
  F - P (sin a — / cos a) cos a,
  N *=G + P — P (sin a — / cos a) sin a = G + P (cos a + f sin a) cos a.
  Эстакада будет находиться в покое, если сила трения F меньше своего предельного значения, равного foN:
  Р (sin a — / cos a) cos a < /0 [G -Ь Р cos a (cos a -f / sin a)].
  Отсюда найдем условие, которому должен удовлетворять коэффициент трения покоя f0t чтобы при движущемся грузе эстакада оставалась в покое:
  f ^ Я (sin a — f cos a) cos a '° G -f P (cos a -f- / sin a) cos a '
  Сравнивая решение этой задачи методом кинетостатики с решением, в котором использовалась теорема об изменении количества движения материальной системы (стр. 157), мы видим, что оба метода приводят практически к одинаковым уравнениям.
  Задача 79. Электромотор, установленный на горизонтальной балке, поднимает с помощью троса груз весом Р. Радиус барабана, укрепленного на оси мотора, равен г, а момент инерции барабана вместе с ротором равен /. Пре-
  320
------------ page 321 --------------
  небрегая весом троса, определить динамические реакции опор А и В балкиг если груз поднимается с ускорением w. Линейные размеры указаны на рис. 16.2. Предполагается, что плоскость рисунка является плоскостью материальной симметрии движущихся частей.
  Груз поднимается с ускорением и;. Его сила инерции, равная по модулю р — w, направлена вниз. Угловое ускорение вращающихся чэстей направлено по
  у\
  ходу часовой стрелки, следовательно, главный момент сил инерции направлен согласно формуле (16.12) против хода часовой стрелки и равен по модулю /е (на рис. 16.2 знак минус у силы инерции груза и у момента сил инерции барабана не показан, так как их направления указаны на рисунке). Главный вектор сил инерции барабана равен нулю, ибо его центр масс неподвижен. Вводим динамические реакции опор. Активные силы не учитываем и, считая условно барабан и груз неподвижными, составляем уравнения равновесия для сил инерции и добавочных динамических реакций. Мы составим два уравнения моментов (главный момент сил инерции можно рассматривать как момент некоторой пары) и одно уравнение для проекций сил. Имеем
  [
  М}=1е
  | у
  га
  г*— д —*•
  ?
  fh
  b=d_.
  
  w
  ф
  \
  j-t-
  
  ,
  
  
  */
  В
  w-w
  
  
  
  
  
  
  
  X
  
  
  
  Рис. 16.2.
  2 MiB = 0, /e - Y\b + — w (b - a) = 0,
  *s-o.
  (16.17)
  Учитывая, что e = w/r, легко теперь найдем
  **-a гИ7 + 7(»-в,]т. «Hit-tH- <"»«>
  Конечно, эту задачу можно решить, применяя общие теоремы динамики. Действительно, считая, что внешние силы состоят только из добавочных динамических реакций (это допущение можно делать только в том случае, если закон движения системы известен), применим теорему об изменении момента количеств движения системы относительно оси вращения маховика и теорему об изменении количества движения в проекции на оси х и у.
  Обозначим скорость подъема груза через v% а угловую скорость барабана через (о. Очевидно, что (о = v/r. Момент количеств движения Кг всей системы относительно оси вращения барабана (ось z направлена на читателя) и проекции количества движения на оси х и у будут
  *,__(,в+?„)__(1+?г),.
  Ц Н. В. Бутенин и др., т. 2
  821
------------ page 322 --------------
  Применяя упомянутые теоремы, получим
  -(т+Тг)^"У5(в+г) + ^(6~а~г) + АГ5с'
  где с —расстояние между осью вращения барабана и осью х.
  Учитывая, что --jr- ¦- w и решая эти уравнения относительно Х%, Y\
  и R%, получим (16.18).
  Задача 80. В одной из конструкций лесовалочной машины конец А дерева АВ перемещается с помощью захвата Е с постоянной скоростью v0 по горизонтальной направляющей, причем ствол дерева, поперечными размерами
  которого пренебрегаем, все время опирается на каток К. Вес дерева Gy его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно к стволу, равен /, расстояние АС — /, превышение катка К над горизонтальной направляющей равно И (рис. 16.3). Определить добавочные динамические составляющие реакции катка К и захвата ? в зависимости от угла <р.
  Воспользуемся методом кинетостатики. Отбросим активные силы (вес дерева) и введем добавочные динамические реакции опор (см. рис. 16.3). Так как движение является плоскопараллельным, то главный момент сил инерции будет определяться равенством (16.12):
  Рис. 16.3.
  МСг - - !Сг*г-
  Главный вектор сил инерции согласно формулы (16.8) равен / =
  G
  в- Wc; его проекции на оси х и у будут
  -Mwn =
  S
  / « хг,
  X от С
  >.~iu.
  У
  Предположим, что е2, хс и ус известны (мы найдем их несколько позднее). Примем центр масс С за центр приведения сил инерции и изобразим на рисунке составляющие их главного вектора Jx и /у и главный момент Mqz (предполагается, что Jx, Jy и М^ —положительны). Считая в соответствии с методом кинетостатики, что силы инерции и добавочные динамические реакции уравновешены, составим три уравнения равновесия этих сил:
  /* + *д - ЛГЯ sin <р - 0, )
  J У 4- КА + ЛГД cos ф = 0,
  ML + IJ cos ф - / / sin ф + N* -.— = 0.
  (16.19)
  322
------------ page 323 --------------
  (16.20)
  Из этих уравнений найдем динамические составляющие реакций N* - -^ (Jxl sin Ф - Jyl cos Ф - М'Сг),
  уд^_ (#д cos ф + Jy). Для полного решения задачи нам осталось найти xQt ус и е — ф, после чего сразу определяются Jx, Jy и Mqz. По условию задачи точка А перемещается равномерно по оси х со скоростью v0. Совместим начало координат О с начальным положением точки А. Тогда
  OA = v0t9 AK' = b-v0t. где Ь = О/С' = const. Имеем
  ¦ И
  Дифференцируя по времени, получим
  Ф = #Рр cos2 ф (6 - ©о*)2 * Отсюда найдем угловую скорость (Ь — v0t = Н ctg ф)
  ф--^-зт2ф. (16.21)
  Дифференцируя по времени еще один раз, найдем угловое ускорение е ~ ф,
  е = -7т- sin 2фф или, пользуясь равенством (16.21),
  е = -jp sin 2ф sin2 ф. (16.22)
  Координаты центра масс определяются формулами (см. рис. 16.2):
  ХС aV + 'cos (р' У с в* sin *• Дифференцируя два раза по времени, получим
  хс = — /ф sin ф — /ф2 cos ф, ус — /ф cos ф — /ф2 sin ф.
  Подставляя сюда значения ф и ф = е из равенств (16.21) и (16.22), после элементарных преобразований будем иметь
  2 2
  Хс= - 3 -^2" / Sin4 ф COS ф, ус= - -fF?l(\ -ЗС082ф)8Ш4ф.
  Теперь находим:
  G G og
  ^ = ~7ic=37F/sin4(pcos(p»
  G G vl
  Jy=~—yc = -- — l (\ -.3cos2 q>) sin* <pt
  МСг = — /e =• — / -TTj- sin 2ф sin2 ф. П* 323
------------ page 324 --------------
  Подставляя эти выражения для / , Jy и MJCz в равенства (16.20). определим добавочные динамические реакции ЛР, Хл и УА:
  ^д-2(-Т/8 + /)ж sin4q>cosq>.
  о? Г / G \ sin ф G 1
  Хд = -^-1 2 (— /2 + Л —^ - 3 — / sin4 ф cos ф,
  vl Г /G \ со82ф G 1
  уд--тЖтяНт+т/(1-3~1ф)]
  sin4 ф.
  (16.23)
  Эта задача также легко решается с помощью уравнений плоского движения твердого тела, которые выражают теоремы о движении центра масс и изменения момента количеств движения. Учитывая из внешних сил только одни динамические реакции (это можно делать только при известном законе движения), составим для рассматриваемого примера уравнения плоского движения (13.43):
  — хп - Хд - N* sin <
  — ус = Уд + N* cos ф,
  /ф
  q> = X4smq-Y4cosy + N (^р--ф
  (16.24)
  Эта система уравнений эквивалентна уравнениям кинетостатики (16.19). Действительно, первые два уравнения системы (16.19) в точности совпадают
  с первыми двумя уравнениями (16.24) их— *с. /«=» Ус), а третье
  уравнение системы (16.19) получается из уравнений (16.24) простой линейной комбинацией (первое уравнение умножается на — /втф, второе на — /соэф, а третье — на единицу; после сложения получим третье уравнение системы (16.19)).
------------ page 325 --------------
  ГЛАВА XVII
  ТЕОРИЯ УДАРА
  § 17.1. Основные определения
  При контакте двух тел в точке соприкосновения возникают силы взаимодействия F и F'. По третьему закону Ньютона эти силы имеют равные модули F, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Рассмотрим часто встречающийся случай, когда модуль F возникающих при контакте сил изменяется по закону, изображенному на рис. 17.1. До